2024年高考数学试题分类汇编 专题08 函数的图象与性质

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A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即a的范围是.
故选：B.
2．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
3．（新课标全国Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
4．（新课标全国Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
5．（全国甲卷数学（理）（文））函数在区间的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
6．（新高考北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误，
故选：A.
7．（新高考天津卷）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
8．（新高考天津卷）下列函数是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；
对B，设，函数定义域为，
且，则为偶函数，故B正确；
对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误；
对D，设，函数定义域为，因为，，
则，则不是偶函数，故D错误.
故选：B.
9．（新高考天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：B
10．（新高考上海卷）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（ ）
A．存在是偶函数B．存在在处取最大值
C．存在是严格增函数D．存在在处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.
【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,
则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数满足集合，
当时，则，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，则B正确；
对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；
对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；
故选：B.
11．（新高考北京卷）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
12．（全国甲卷数学（理）（文））已知，，则 ．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
13．（新高考天津卷）若函数有唯一零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
14．（新高考上海卷）已知则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为：.
15．（新高考上海卷）已知，，且是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数.
【详解】因为是奇函数，故即，
故，
故答案为：.
16．（新高考上海卷）若．
(1)过，求的解集；
(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．
【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去），
而在上为增函数，故，
故即，
故的解集为.
（2）因为存在使得成等差数列，
故有解，故，
因为，故，故在上有解，
由在上有解，
令，而在上的值域为，
故即.
2024高考模拟试题汇编
一、单选题
1．（2024·河南·三模）设函数的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ）
A．1B．C．0D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可得的图象关于点中心对称且关于直线轴对称，进而得的周期为4，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，则.
因为为偶函数，所以，
所以的图象关于直线轴对称.
由，得，
所以，则，
则的周期为4，
，则.
故选：D
【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
（3）的一个周期为，
（4）的一个周期为.
可以类比三角函数的性质记忆以上结论.
2．（2024·山东·三模）函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可.
【详解】依题意，函数的定义域为，
，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足；
当时，，则，AD不满足，C满足.
故选：C
3．（2024·湖北·三模）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解.
【详解】，
故选：A
4．（2024·河北·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设，则，
所以为奇函数，
设，可知为偶函数，
所以为奇函数，则B，C错误，
易知，所以A正确，D错误．
故选：A.
5．（2024·湖北·一模）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为，
对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D；
对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C；
对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B.
故选：A.
6．（2024·河北·一模）已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直线与函数的图象有5个交点，可得是奇函数，可得只需直线与曲线有2个交点即可，即方程有2个实数根，利用导数即可求解.
【详解】由题意得，则直线与函数的图象有5个交点.
显然，直线与的图象交于点.
又当时，；
当时，；
当时，，所以是奇函数，
则必须且只需直线与曲线有2个交点即可，
所以方程有2个实数根.令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以.
又当趋近于0时，,所以；
当趋近于时，，
所以必须且只需.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法.
7．（2024·浙江·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数的图象，如图所示：

将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点；
当时，直线与函数的图象没有交点；
当时，直线与函数的图象有三个交点；
所以直线与函数的图象不可能有两个交点．
故选：C．
8.(2024·河南·三模）函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．
【详解】由易得f（﹣x）+f（x）＝0，
∴f（x）是奇函数；
当x=1时，排除A，
当x＞0时，，函数在上单调递减，
故可排除Ｂ，Ｄ
故选Ｃ
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
9．（2024·江西·三模）若，，，则正数大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.
【详解】由，则为与交点的横坐标，
由，则为与交点的横坐标，
由，即，则为与交点的横坐标，
作出，，，的图象如下所示，
由图可知，.
故选：B
10.（2024·河南·三模）现有4个幂函数的部分图象如图所示,则下列选项可能成立的是( )
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
【答案】AB
【分析】根据幂函数的性质可以逐项判断求解
【详解】对于幂函数,若函数在上单调递增,则,若函数在上单调递减,则,所以,D选项错误；
当时,若的图象在的上方,则,若的图象在的下方,则,
所以,,,C选项错误；
因为当时,指数越大,图象越高,所以,
综上,,AB选项正确.
故选:AB
11．（2024·安徽·三模）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的性质有，可比较，然后再与2比较大小，可得结果.
【详解】依题意，，故；而，
故，
故选：D.
二、多选题
12．（2024·山东·三模）已知函数，则（ ）
A．是上的增函数B．函数有且仅有一个零点
C．函数的最小值为D．存在唯一个极值点
【答案】BD
【分析】对于A：求导，代特值检验即可；对于B：分、和三种情况，结合函数值的符号分析判断零点；对于C：分、和三种情况，可得，即可判断；对于D：根据的单调性，结合零点存在性定理分析可知，使，进而判断的单调性和极值.
【详解】对于选项A：因为，则，
当时，则， 可得，
即，所以不是上的增函数，故A错误；
对于选项B：因为，
当时，，可知是的零点；
当时，，可知在内无零点；
当时，，则，
可得，可知在内无零点；
综上所述：函数有且仅有一个零点，故B正确；
对于选项C：当时，；
当时，；
当时，则，，可得，
综上所述：，所以不是函数的最小值，故C错误；
对于选项D：因为，，
所以的符号决定于，
显然是上的增函数，
又因为当时，；
当时，，
所以，使，
所以在上为减函数，在上为增函数.
所以有唯一极小值点. 故D正确.
故选 ：BD.
13．（2024·河南·三模）定义在上的函数满足，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．单调递增
【答案】BCD
【分析】利用赋值法可求及，故可判断各项的正误，也可以由题意得，结合条件推出的解析式，进而即可求解判断ABCD四个选项.
【详解】法1：令，则，
令，则，
若或，
若，则即，
由的任意性可得不恒成立，故不成立，故，
故A错误，B正确.
令，则，
故为奇函数，且，它为上的增函数，
故CD正确.
法2：由条件，得
，
由的任意性得为常数，
故代回去得：
，
所以由的任意性只能，即，为增函数，
所以，为奇函数，
故A错，BCD对.
故选：BCD.
14．（2024·湖南·二模）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，，
则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，
而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，
则，于是，，，BC正确，A错误；
，即，D错误.
故选：BC

15．（2024·河南·三模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．
D．的单调递增区间为
【答案】ABC
【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出利用对数运算法则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D.
【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确；
对C，，C正确；
对D，因为，所以，外层函数为增函数，
，令，所以函数定义域为，
内层函数，在上单调递增，上单调递减，
所以的单调递增区间为不是D错误.
故选：ABC
16．（2024·广东·二模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为B．的图象在处的切线斜率为
C．D．有两个零点，且
【答案】BCD
【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D．
【详解】由题意，，
对于选项A，易知且，故选项A错误，
对于选项B，因为，则，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，故选项C正确，
对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增，
因为，
，
所以，使得，
又因为，则，结合选项C，得，
即也是的零点，则，，故，故选项D正确，
故选：BCD.
17．（2024·山东·三模）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则（ ）
A．方程在上有三个根
B．
C．在上单调递增
D．对任意，都有
【答案】AC
【分析】根据正方形的运动，得到点B的轨迹，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.
【详解】分析正方形顶点的运动状态可知，
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；
当时，的轨迹是以为圆心，半径为的圆；
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆；
当时，的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，
作出函数的图象如下图所示：
由图知：函数的图象与直线在上有三个交点，
即方程在上有三个根，A正确；
函数的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，B错误；
函数在上单调递增，C正确；
由图象知：，，，D错误.
故选：AC.
三、填空题
18．（2024·山东·三模）已知函数，则 .
【答案】
【分析】利用已知的分段函数，可先求，再求即可.
【详解】因为，所以.
所以.
故答案为：.
19．（2024·河北·三模）定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 .
【答案】4
【分析】根据题意，推出函数的对称性和周期性，再利用作图即得.
【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，，
则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，
故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数.
根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）.
由图可知与的图象在上有4个交点.
故答案为：4.
【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的对称性和周期性应用，属于难题.
解题思路在于，根据函数的奇偶性，写出抽象函数满足的等式，据此推出函数的轴对称或中心对称特点，再利用条件推得函数的周期性，最后利用这些性质作图即得.
20．（2024·湖南·二模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个.
【答案】2
【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论.
【详解】设是关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为在上，
，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数，
于是，即，令，
由，得，即，于是只考虑即可，
求导得，显然函数在区间上单调递增，
而，，则存在使得，
当单调递减，单调递增，
而，，，
因此函数在区间，分别各有一个零点，
所以函数的“姊妹点对”有2个.
故答案为：2
【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键.