2024年高考数学试题分类汇编 专题07 不等式

这是一份2024年高考数学试题分类汇编 专题07 不等式，共12页。试卷主要包含了实数满足等内容，欢迎下载使用。
1．（新课标全国Ⅰ卷）已知函数为的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
2．（全国甲卷数学（理）（文））若实数满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出可行域后，利用的几何意义计算即可得.
【详解】实数满足，作出可行域如图：
由可得，
即的几何意义为的截距的，
则该直线截距取最大值时，有最小值，
此时直线过点，
联立，解得，即，
则.
故选：D.
3．（新高考北京卷）已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误，
故选：A.
4．（新高考北京卷）若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值；
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
5．（新高考上海卷）已知则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.
【详解】方程的解为或，
故不等式的解集为，
故答案为：.
6．（全国甲卷数学（理）（文））实数满足．
(1)证明：；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
【详解】（1）因为，
当时等号成立，则，
因为，所以;
（2）
2024高考模拟试题汇编
一、单选题
1．（2024·河北·三模）已知正数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】在等式两边同时乘以，利用基本不等式可得出关于的不等式，进而可解得的最大值.
【详解】因为m，n为正数，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，在等式两边同时乘以，可得：
，
即，解得.
当且仅当时，即当时，取得最大值8.
故选：D.
2．（2024·山东·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D.
【详解】对于A，由，可得，故A错误；
对于B，由，，，可得，故B错误；
对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时，等号成立，
即，故D正确.
故选：D.
3．（2024·陕西·三模）若x，y满足约束条件则得取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出可行域，根据临界位置得到截距范围.
【详解】如图，阴影部分为可行域，联立，解得，即为原点，
联立，解得，即，
当直线经过坐标原点时，，
当直线经过点时，，
所以的取值范围是.
故选：C.
4．（2024·湖北·二模）若正数，满足：，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据条件等式及均值不等式求解即可.
【详解】因为，为正数，所以，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当，时，取等号.
故选：B.
5．（2024·安徽·二模）已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.
【详解】当时，，所以A错.
当a0时， ，所以B错.
当时，，所以C错.
若，则，则成立，所以D正确.
故选：D
二、多选题
6．（2024·湖北·二模）已知，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设，则，在单调递增，
所以，即，即，A正确；
令，，则，而，所以，B不正确；
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
则在时取得最小值，即，C正确；
设，则，所以在上是增函数，
所以由得，即，D正确.
故选：ACD
7．（2024·江苏·二模）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABCD
【分析】对于A，由换底公式即可判断；对于BC，由基本不等式即可判断；对于D，构造函数，利用导数可证得，由此即可判断.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，在这里，所以严格来说有，故B正确；
对于C，，在这里，所以严格来说有，故C正确；
对于D，，而，
定义，则，
从而单调递增，所以，
所以，故D正确.
故选：ABCD.
8．（2024·湖北·二模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．的最小值为2
C．D．的最小值为2
【答案】AD
【分析】利用不等式的性质及基本不等式，以此判断选项即可.
【详解】对于A，若，则，A正确;
对于B，或，因为不知道和的大小关系，B错误；
对于C，若，则，而
，但是与的大小不能确定，故C错误；
对于D，，当且仅当，即取等号，D正确.
故选：AD
9．（2024·江苏·三模）若正实数满足，则（ ）
A．
B．有序数对有6个
C．的最小值是
D．
【答案】AB
【分析】对于A，使用条件即可证明；对于B，设并证明整除，再验证的全部因子即可；对于C，直接证明即可否定；对于D，给出，作为反例即可否定.
【详解】对于A，由已知正实数满足，有，
，故A正确；
对于B，由于，，故是正整数，设，则，所以.
而，故整除，得.
验证知时，都满足条件，
所以符合条件的有序数对有6个，故B正确；
对于C，由于，且，，
从而，
当，时，等号成立，故C错误；
对于D，当，时，有，
故，从而.
但此时，故D错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是C选项中对基本不等式的适当运用.
10．（2024·湖南·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；
对于B，因，若取，，，，
则，，所以，故B错误；
对于C，因，若取，，，，
则，，所以，故C错误；
对于D，因为，则，又因则，
由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．
故选：AD．
11．（2024·广东·一模）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．存在，使得D．
【答案】ABD
【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论.
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确.
对于B，由及，得，所以.同理可得.
又，所以，所以，B正确.
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误.
对于D，由，得，所以.
因为，，所以，所以，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2024·江西·二模）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑，再结合基本不等式即可求解最小值.
【详解】由题，所以
，
当且仅当，即，即时等号成立.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离和配凑.
四、解答题
13．（2024·陕西·三模）已知函数，实数满足．
(1)解不等式；
(2)证明：对任意实数，使．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用“零点分段法”，即可求出结果；
（2）利用三角绝对不等式得到，再利用重要不等式得到，即可证明结果.
【详解】（1）因为，由，得到，
当时，得到，解得，
当时，，所以，
当时，得到，解得，
综上，不等式的解集为或.
（2）因为，
当且仅当时取等号，即时取等号，
因为，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以对任意实数，使.