安徽省合肥市第一中学2026届高三上学期1月月考数学试卷含解析（word版）

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这是一份安徽省合肥市第一中学2026届高三上学期1月月考数学试卷含解析（word版），文件包含安徽省合肥一中2025-2026年高三1月数学原卷版docx、安徽省合肥一中2025-2026年高三1月数学解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知复数满足，其中为虚数单位，则
A. 1 B. 2C. D.
3.双曲线过点，其两条渐近线的夹角为，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的偶函数,且 ,当时, ,则
A. -1 B. 1 C. 3 D. 7
5.已知 ,则
A. B. C. -2 D.
6.已知正方形的边长为为边的中点，为边上一点，当时，
A. B. C. D.
7.在体积为的三棱锥中, ,平面平面 , ,若点都在球的表面上,则球的表面积为
A. B. C. D.
8.已知直线 ,若曲线上存在点与关于直线对称，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知随机变量，若，，则
A. B.
C. D.
10.已知抛物线的焦点为，点关于原点的对称点为，第一象限内的点，在上,且 ,则
A. 点的坐标为 B.
C. 直线的斜率为 D. 直线关于轴对称
11.在中,内角的对边分别为 ,则下列说法正确的是
A. B. 若为等腰三角形，则
C. 当时, D. 当时,
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知等比数列的各项均为正数,若 ,则该等比数列的公比为________.
13.已知函数恰有一个极小值点和一个极大值点 ,设点 , ，则直线的斜率为_______.
14.现有 10 个外表相同的袋子,里面均装有 10 个除颜色外其他无区别的小球,第 , 个袋中有个红球, 个白球. 现将这些袋子混合后,任选其中一个袋子, 并且从中连续取出三个球 (每个球取出后不放回). 则第三次取出白球的概率为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.2025 年 12 月, 某校语文教师对学生提出 “12 月读一本书”的要求, 每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各 100 人，整理得到列联表如下.
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关?
(2)已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取 3 人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望.
参考公式: ,其中 .
参考数据:
16.已知函数 .
(1)求的单调性;
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
17.如图，在四棱锥中，，为等边三角形，四边形为直角梯形, .
(1)证明: ;
(2)若直线与平面所成的角为 . 求平面和平面所成角的余弦值.
18.已知椭圆，四点，，，
中恰有三点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率不为 0 的直线与椭圆相交于两点.
(i) 若为原点,求面积的最大值;
(ii) 点 ,设点是线段上异于的一点,直线的斜率分别为 , 且 ,求的值.
19.已知数列的前项和为 ,且满足 .
(1)求的通项公式；
(2) 当时,已知的导函数为其中 . 令 .
(i) 设 ,证明: ;
(ii) 证明: 对任意 ,有 .《红楼梦》
《三国演义》
男生
30
70
女生
60
40
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828