安徽省合肥市第八中学2026届高三上学期周测（11）数学试卷（Word版附解析）

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一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
2. 已知为纯虚数，则（ ）
A. 3B. C. D.
3. 已知平面内有四点，若，则“三点共线”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 设等比数列前项和，若，，则（ ）
A. 16B. 31C. 32D. 63
6. 某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为6cm，上､下底面圆的半径分别为4cm和2cm.为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为（不考虑水杯材质和杯套的厚度）（ ）
A. B. C. D.
7. 的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
8. 已知、，且，则（ ）
A. B.
C. D. 无法确定、的大小
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 记等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 的公差为2B.
C. 最大值为35D. 的最小值为
10. 已知函数，其中，若的最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 在上单调递增
D. 若，且，则a的最大值为
11. 已知正四面体的棱长为2，点，分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若取得最小值，则
B 若，则平面
C. 若平面，则三棱锥外接球的表面积为
D. 直线到平面的距离为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同排法有________种．
13. 正三棱锥S－ABC的外接球半径为2，底边长AB＝3，则此棱锥的体积为_________
14. 已知是以为周期的上的奇函数，当，若在区间[−e, 3e]，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值范围是__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
16. 如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
（1）证明：MN∥平面A′ACC′；
（2）若二面角A′﹣MN﹣C为直二面角，求λ的值．
17. 世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
（1）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
18. 已知数列中，，，，数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）在（2）的条件下，设，求证：.
19. 已知函数.
（1）当时，讨论单调性；
（2）当时，若在上恒成立，求正整数的最大值；
（3）若在上有零点，求证：.
（参考数据：，，）