安徽省合肥市第八中学2026届高三上学期周测（14）数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 设集合 ，集合 ，且 ，则实数 a 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解集合 A，因为 ，所以 ，讨论集合 为空集和非空两种情况，分别解出 的范围即可.
【详解】解：集合 ，
因为 ，所以 ，
当集合 时， ，解得： ；
当集合 时， 解得： ，
所以 的范围是
故选：D.
【点睛】本题考查已知集合的关系求参数的范围，属于基础题.
易错点睛：集合之间的包含关系注意集合为空集的情况.
2. 设 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接把 化简，然后求其共轭复数即可.
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【详解】 ，则
故选：C
【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题
3. 若幂函数 的图象过点 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出函数解析式并确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】设幂函数 ，由 ，得 ，解得 ， ，
函数 在定义域 上单调递增，
不等式 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：D
4. 展开式中 的系数为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中 的系数．
【详解】因为 ，则 展开式中含 的项为 ；
展开式中含 的项为 ，故 的系数为 ，
故选：C．
5. 数列 是等比数列， ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
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【答案】A
【解析】
【分析】
分析出 ，再结合等比中项的性质可求得 的值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，
由等比中项的性质可得 ，因此， .
故选：A.
6. 不透明盒子中装有除颜色外完全相同的 2 个红球、2 个白球，现从盒子里随机取 2 个球．记事件 ：至
少一个红球，事件 ：一个红球一个白球，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与 互斥 D. 与 独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件 ：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个白球，有两个红球；事件 ：
一个红球一个白球，根据事件的基本关系理解 发生， 一定发生， 发生， 不一定发生即可判断和
事件，积事件，互斥关系，独立关系．
【详解】解：现从盒子里随机取 2 个球．记事件 ：至少一个红球，则存在两种情况，有一个红球和一个
白球，有两个红球；
A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． ，故 与 不互斥，故选项错误，不符合题意；
D． ，即 发生， 一定发生， 发生， 不一定发生，故 与 不独立，故选项错误，
不符合题意；
故选：B．
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】利用余弦的和角公式化简得 ，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.
【详解】由已知知： ，
化简得
，
令 ，则 ， ，
所以
.
故选：D
8. 已知 ，则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】 ， ，即 ，
，
下面比较 与 的大小，构造函数 与 ，
由指数函数 与幂函数 图像与单调性可知，
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当 时， ；当 时，
由 ，故 ，故 ，即 ，
所以 ，
故选：A
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求）
9. 下列关于向量的说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则
B. 若单位向量 ， 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为
C. 若 与 不共线，且 ，则
D. 若 且 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项.
【详解】A：当 时，若 ， ，则 与 不一定平行，A 错误；
B：向量 在向量 上的投影向量为 ，B 正确；
C：若 与 不共线，且 ，则 ，C 正确；
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D： ，则 ，又 ，
则 ，显然 不能确定，D 错误；
故选：BC.
10. 四棱锥 的底面为正方形， ， ， ， ，动点 在线段
上，则（ ）
A. 直线 与直线 为异面直线
B. 四棱锥 的体积为 2
C. 在 中，当 时，
D. 四棱锥 的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据异面直线的定义判断 A，根据锥体体积公式判断 B，由条件确定点 的位置，结合锥体体积
公式，判断 C，确定四棱锥 的外接球的半径，结合球的表面积公式判断 D.
【详解】对于 A，因为 平面 ， 平面 ，
点 不在直线 上，
所以直线 与直线 为异面直线，A 正确；
对于 B，因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 ， ，四边形 为正方形，
所以四棱锥 的高 ，底面面积为 ，
所以四棱锥 的体积 ，B 错误，
对于 C，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 为直角三角形，又 ，
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所以 ，又 ， ， ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以点 到平面 的距离为 ，
所以 ，C 正确，
对于 D，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，故 为直角三角形，
同理可证 为直角三角形，
取 的中点 ，则 ，
所以四棱锥 的外接球的外接球的球心为 ，
所以四棱锥 的外接球的半径为 ，
所以四棱锥 的外接球得表面积 ，D 正确，
故选：ACD.
11. 已 知 定 义 在 上 的 奇 函 数 连 续 ， 函 数 的 导 函 数 为 .当 时 ，
，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A. 当 时， B. 在 上有且只有 1 个零点
C. D. 在 上为增函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先根据原不等式进行化简，构造一个新函数，判断新函数的单调性、奇偶性等性质，然后逐一
判断每个选项正确与否.
【详解】 ，
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即 ，
因为 时 ，所以 .
即 ，即 在 单调递增，
又 为奇函数且在 上连续， 为偶函数且恒正，
故 为奇函数在 上连续，且单调递增，
对于选项 A：
时， ，所以 A 错误.
对于选项 B：
为奇函数在 上连续，且单调递增，
所以 仅一解为 ， 在 上恒成立，
故 在 上有且只有 1 个零点为 ，故 B 正确.
对于 C：
因为 在 上单调递增，
则 ，所以 C 正确.
对于选项 D：
因为 为奇函数且连续，
所以 为 上的奇函数且连续，故只需考虑 在 上的单调性，
当 时， 且 ， 且
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故 ，则 在 上单调递增，
故 在 上为增函数，所以 D 正确.
故选： .
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 在对某中学高一年级学生身高调查中，采用按比例分配的分层随机抽样，只知道抽取了男生 32 人，其
平均数和方差分别为 170 和 1.76，抽取了女生 18 人，其平均数和方差分别为 165 和 4.76，据此估计高一年
级全体学生的身高方差为________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题意，利用分层抽样的总体均值和方差公式，进行计算，即可求解.
【详解】根据分层抽样的均值和方差的计算公式，可得：
总体均值为： ，
总体方差为：
，
故答案为：
13. 已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据 与 之间的关系即可求解.
【详解】因为 ①，
所以 ②，
所以①-②得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
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故答案为：
14. 若曲线 与函数 的图像有两个不同的交点，则实数 b 的取值范围是________；
【答案】
【解析】
【分析】作出曲线 的图象和直线 ，根据直线与圆的位置关系，结合图形观察可知它
们有两交点的情形计算即可.
【详解】由 可得 ，即该曲线为单位圆的下半部分，
作出曲线 的图象和直线 ，如图，
当直线 过点 时，将 ， 代入得 ；
当直线 与半圆相切时，圆心到直线的距离 ，即 ，
即 （舍去）或 ，
∴曲线 与函数 图像有两个不同的交点时，
的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题（共 5 小题，共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知 ， ， 分别为锐角 三个内角 ， ， 的对边，且 ．
（1）求角 的大小
（2）求 的取值范围．
【答案】（1） ;
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（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得 ，再求 即可；
（2）在 中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得 ，然后结合三角函数的值域的
求法求解即可.
【小问 1 详解】
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ；
【小问 2 详解】
根据正弦定理得 ，
由（1）得 ， ，
， 为锐角，所以 ， ，
其中 ， ，即 ，
综上可知， 的取值范围是 ．
16. 近年来，我国新能源汽车进入快车道，自 2015 年以来，产销量已经连续八年增长，位居全球前列.近期
国务院出台了新能源汽车系列政策，促进了新能源汽车产业的发展.某市一家知名品牌的新能源汽车企业近
5 个月的产值数据统计如下表：
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月份 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月
月份代 1 2 3 4 5
产值 （百亿元） 16 20 27 30 37
（1）求出 关于 的经验回归方程，并预测明年 3 月份该企业的产值；
（2）该企业依据市场调研，为满足消费者的购买需求，设计并生产了 三种类型新能源汽车，这三
种类型的销量比依次为 ，销售价格依次为 15 万，25 万，40 万.若该新能源汽车的某 4S 店
每天销售 2 台，设销售额为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
参考公式： ；
参考数据： .
【答案】（1） ，62.4 百亿元.
（2）分布列见解析，50（万元）.
【解析】
【分析】（1）先依次求出 以及 ，最后求出 即可得线性回归方程，代入 即可预测；
（2）随机变量 的可能取值为 ，求出对应的概率即可得分布列，结合期望公式即可求
解期望.
【小问 1 详解】
.
所以 ，
所以 关于 的经验回归方程为 ，
当 时， ，
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故明年 3 月份该企业的产值约为 62.4 百亿元.
【小问 2 详解】
由题设随机变量 的可能取值为 ，
，
，
.
随机变量 的分布列如下表：
30 40 50 55 65 80
0.09 0.30 0.25 0.12 0.20 0.04
（万元）.
17. 如图，在四棱锥 中， ，底面 是边长为 的菱形，
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若平面 与平面 所成角的正切值为 2，点 满足 ，求直线 与平面 所成
角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，易得 ， 进而可得线面垂直，然后根
据面面垂直判定定理即得；
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（2）建系，求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可.
【小问 1 详解】
连接 交 于点 ，连接 ，
因为 是菱形，所以 ，
又因为 为 的中点， ，所以 ，
又 面 ，且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
过 作 交 于点 ，面 面 ，
面 面 面 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
所以 为 交点， 为等边三角形，所以 H 为 的重心，设 DH 与 AB 交点为 M，
连接 ，则 为二面角 的平面角，
因为 ，在 中 ，解得 ，
因为 ，所以 ，所以 平面 ，
以 为原点， 所在直线为 轴建立如图坐标系，
则 ，
，
设平面 的法向量为 ，
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则 ，即 ，令 ，可得：
即 ，又 ，
设平面 和直线 所成的角为 ，则 ，
所以
18. 已知椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，短轴长为 ，且经过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 （不与 轴重合）与 交于 两点，直线 与直线 的交点分别为
，记直线 的斜率分别为 ，证明： 为定值．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，将点 代入椭圆的方程可求得 的值，进而可得椭圆的方程；
（2）设 ， ， ， ， ，联立直线 和椭圆的方程，可得 ，
， 直 线 的 方 程 为 ， 令 ， 得 ， 同 理
，由斜率公式计算即可．
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，再将点 代入 得 ，
解得 ，故椭圆 的方程为 ；
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【小问 2 详解】
由题意可设 ，
由 可得 ，
易知 恒成立，所以 ，
又因为 ，
所以直线 的方程为 ，令 ，则 ，故 ，
同理 ，
从而 ，
故 为定值．
19. 已知 ，
（1） 时，证明： ；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数 ，总有 ．
【答案】（1）证明见解析
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（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造 ，利用导数研究函数的单调性、最值计算即可；
（2）设 ，借助端点效应，分类讨论并根据隐零点计算即可；
（3）根据（2）的结论得出 ，利用放缩法累加即可证明.
【小问 1 详解】
构造 ，当 时， ，
．
可知 ， ， 单调递增；
， ， 单调递减．
则 ，故 ，即 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
依题意 ，设 ，
则 ，
且有 ， ．
（i）当 ， 时，显然 中 ， 则 恒成立；
（ii）当 ， 时， ，则 单调递增， ，
单调递增， ．
（iii）当 ， 时， ，则 单调递增， ，
，则必然存在一个 ，使得 ，
且有 时， ， 单调递减，
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此时 ，不满足恒成立条件．
综上所述， ．
【小问 3 详解】
由（2）中结论，有当 时， ，对任意的 恒成立，
取 可得， ，对任意的 恒成立，
即 ，变形可得
分别令 ， ， ， ，可得 ，
，……，
累加可得 证毕．
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