山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一上学期期中测试 数学 Word版含解析

这是一份山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高一上学期期中测试 数学 Word版含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．C．D．4
4．若，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（ ）．
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各式化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若一个函数的定义域与值域相同，则称这个函数为同域函数，则下列函数为同域函数的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知是定义在上的函数；对于任意实数满足，当时，，则（ ）
A．
B．
C．方程有3个实数根
D．若，则或
三、填空题
12．若函数的定义域为，则函数的定义域是 .
13．若不等式的解集为，则的值为
14．，若在定义域内单调递增，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
15．求值：
(1)；
(2).
16．已知集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
17．中山市翠亨新区现有一人工智能企业，生产制造人形机器人.每月的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元?
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元?附：利润售价销量成本.
18．已知函数.
(1)求的定义域，并求，的值；
(2)观察（1）中的函数值，请猜想具有的两个性质，并选择其中一个加以证明；
(3)解不等式：.
19．对于定义域为的函数，如果存在区间，使得函数在x∈时，值域是，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数函数在x∈时值域是，则称为的“完美区间”.
(1)证明：函数在定义域里存在“完美区间”；
(2)如果二次函数在(0，+∞）内存在“2倍美好区间”，求出a,b；
(3)是否存在实数，使得函数()在区间单调，且为的“k倍美好区间”，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．在中，，求的取值范围．
参考答案
1．D
【详解】，，
则.
故选：D
2．A
【详解】因为，所以或，
则可以推出，但不能推出．
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
3．D
【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即，
所以，则.
故选：D.
4．C
【详解】由在上单调递减可知，，即
由在上单调递增可知，，即，
综上所述，.
故选：C.
5．D
【详解】由函数，
当时，根据函数与函数在上单调递增，
则函数在的单调递增，故排除BC；
当时，，故排除A，则D正确.
故选：D.
6．A
【详解】由可得；
若，则不等式解集为空集；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为2、3，则；
若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，
则这两个整数为；所以；
综上或，
故选：A
7．A
【详解】因为恒成立，所以.
又因为，，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，所以.
故选：A.
8．C
【详解】由题意，函数，可得为奇函数，且在上单调递增，
由恒成立，即恒成立，
又由，
所以，即，
把不等式的恒成立转化为“对任意的，恒成立”．
当时显然不成立，
当时，则满足，解得．
故选C．
9．AC
【详解】对于A，，A正确，
对于B，，B错误，
对于C，因为，， ，，
所以，C正确，
对于D，因为，
，
所以，D错误，
故选：AC.
10．ABD
【详解】对于A，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，A选项正确；
对于B，因为的定义域与值域均为，所以是同域函数，B选项正确；
对于C，对于函数，其定义域为，当时，，所以不是同域函数，C选项错误；
对于D，因为，由得，
所以的定义域与值域均为，所以是同域函数，D选项正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】对于A：令,则，所以，故A正确；
对于B：令，，
所以，令，所以，
所以，所以为奇函数，故B错误；
对于C：令，所以，所以，
当时，所以，则，
当时，，所以，，又，
所以为奇函数，且定义域为，所以，又，
所以方程有3个实数根，故C正确；
对于D：由，，
又，若，则，
当时，所以，则，满足题意，
当时，，所以，，不满足题意，
当时，，，
又为奇函数，所以，满足题意，
当时，，
由为奇函数，所以，不满足题意，
所以，若，则或，故D正确，
故选：ACD.
12．
【详解】因为函数的定义域为，
则对于函数，令，解得，
所以函数的定义域是．
故答案为：
13．
【详解】因为不等式的解集为：，得：，
即方程的两个根为和，
由根与系数的关系得，，
解得：，，所以：.
故答案为：.
14．
【详解】解：由于函数在和上递减，在的上递增，
∵在定义域内单调递增；
∴,解得；
∴实数a的取值范围为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）
；
（2）
.
16．(1)，
(2)或.
【详解】（1）当时，，
，
或，
.
（2），，
则当时，，解得，满足题意；
当时，，解得，
综上，实数的取值范围为或.
17．(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元
(2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号，
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得（舍去）或，
所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）由，得，即函数定义域为，
则，
；
（2）猜想性质1：为奇函数；
证明：函数定义域为，
则，故为奇函数；
猜想性质2：函数在定义域上单调递减，
证明：取，
则
，
因为，故，
则，故，
即，
故在定义域上单调递减.
（3）由（2）知为奇函数，故即，
又在定义域上单调递减.，
故，解，即，
解，即，
解
得，
故的解集为.
19．(1)证明见解析
(2)，.
(3)存在，
【详解】（1）在与上均为增函数，若存在完美区间，则有，即为的两根．
即的根，故，即存在“完美区间”.
（2）若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为
当时，易得在区间上单调递减，
则，两式相减可得，得，
则，即，因为，解得，.
（3）
，图象如图所示，令，解得或，
（ⅰ）当时，，由，两式相除，，
，
，可得,与a,b范围矛盾，即实数不存在
（ⅱ）当时，，由可得，，即，
，由，即，解得，
又，，，
由，可得，
综上，符合条件的k的取值范围为.
20．
【详解】因为，，
所以，所以，，，
因为，所以，且，且，
所以
因为，且，且，
所以，且，且
所以，且，
令，
所以，
令，易知在上是增函数，
所以在上单调递增，
所以，
故，