2022-2023学年山东省青岛市青岛第五十八中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省青岛市青岛第五十八中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由补集的定义求出，再由并集的定义得答案.

【详解】∵全集，集合

∴，又

∴.

故选：C.

2．命题p：“，”的否定形式为（    ）

A．，  B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】全称命题”” 的否定形式””.

【详解】∵全称量词的否定为存在量词，

∴，．

故选:D．

3．集合是的子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的子集中无“孤立元素”且包含有四个元素的集合个数是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】用列举法列出符合题意的集合，即可判断；

【详解】解：，

其中不含“孤立元素”且包含有四个元素的集合有：

，，，，，共个，

那么中无“孤立元素”的4个元素的子集的个数是个．

故选：B．

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智书》一书中首先用“=”作为等号以后，后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式性质结合作差法分析判断.

【详解】对A：∵，则，且

∴，则，即，A正确；

对B：∵，且

∴，B正确；

对C：

∵，则

∴，则，C错误；

对D：∵，则

又∵，则

∴，D正确；

故选：C.

5．若函数是定义上的偶函数，则（    ）

A．1 B． C． D．3

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义，对定义域内的任意实数，，且定义域关于原点对称，求出，的值，再计算的值.

【详解】∵是定义在上的偶函数，

∴，即

∴，

又定义域关于原点对称，∴，

∴，，

∴，

∴.

故选：D.

6．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得，由此可得结果.

【详解】由得：，

，，，

（当且仅当时取等号），

当恒成立时，.

故选：D.

7．设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由奇函数可求得的解析式，由可分段构造不等式组，求得，从而可知当时，；分别在，和三种情况下，根据分段函数解析式构造不等式组求得结果.

【详解】为上的奇函数    且

当时，

由得：或

，即时，

当时，，解得：

当时，，符合题意；

当时，，解得：

综上所述：

故选：A

8．对于实数，规定表示不大于的最大整数，例如，那么不等式成立的充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，解一元二次不等式，并求出x的范围，再利用充分不必要条件的意义求解作答.

【详解】不等式，因此或或，

于是得或或，即，显然，而选项A，C，D所对集合均不真包含于，

所以不等式成立的充分不必要条件是，B是.

故选：B

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．函数与函数是同一个函数

B．函数的最小值为2

C．某班中身高较高的同学能够组成一个集合

D．方程有实根的充要条件为

【答案】AD

【分析】利用函数相等的性质判断A，利用基本不等式的性质判断B，利用集合的定义判断C，利用一元二次方程与判别式的关系判断D，即可得到答案.

【详解】对于A，函数，所以，函数与函数有相同的定义域和解析式，所以，它们是同一个函数，故A对.

对于B，对于函数，设，则变为，当且仅当，即时成立，与不符，故B错.

对于C，某班中身高较高的同学不满足确定性原则，故C错

对于D，方程有实根的充要条件为，化简得，得，故D对

故选：AD

10．下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再逐项判断作答.

【详解】函数满足“对任意，，且，都有”，则有函数在上单调递增，

函数在上单调递减，A不是；

函数在上单调递增，B是；

函数在上单调递增，C是；

函数在上单调递增，D是.

故选：BCD

11．下列说法正确的序号是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．一次函数满足，则函数的解析式为

C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D．若集合中至多有一个元素，则

【答案】AC

【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可；

对B，设，则可得，建立方程组求解即可；

对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；

对D，分别讨论、解的个数即可

【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，A对；

对B，设一次函数，则，

∵，，解得或，函数的解析式为或，B错；

对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，

，，，，，C对；

对D，集合中至多有一个元素，方程至多有一个解，

当时，方程只有一个解，符合题意；

当时，由方程至多有一个解，可得，解得，

或，D错.

故选：AC

12．已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．不等式的解集是

C．不等式的解集是

D．

【答案】BCD

【分析】根据给定的解集，结合一元二次不等式的解法确定a的符号，并用a表示b，c，再逐项判断作答.

【详解】因关于的不等式的解集是或，则是一元二次方程的二根，且，

则有，即，且，A不正确；

不等式化为：，解得，即不等式的解集是，B正确；

不等式化为：，即，解得，

因此不等式的解集是，C正确；

，D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．已知集合，全集，则图中阴影部分表示的集合为___________.

【答案】

【分析】求出集合，由图可知图中阴影部分表示的集合为，从而可求得答案.

【详解】由图可知图中阴影部分表示的集合为，

由，得，

所以，

所以或，

因为，

所以，

故答案为：

14．若函数 对于上任意两个不相等实数 ，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据题中条件判断函数的单调性，结合分段函数的性质列出相应的不等式组，即可求得答案.

【详解】若函数对于上任意两个不相等实数，

不等式恒成立，

则函数在上单调递增，则，

解得：，故实数a的取值范围为,

故答案为：．

15．若函数在区间上单调递增，则的取值范围为_________．

【答案】

【分析】根据复合函数的单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为函数是实数集上的减函数，

所以由复合函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，

函数的对称轴为，且开口向下，所以有，

解得的取值范围为，

故答案为：．

16．已知函数是定义在R上的单调增函数，且对任意的实数x都有，则的最小值为_______．

【答案】4

【分析】利用单调性求得的解析式，然后由基本不等式求最小值．

【详解】∵是定义在R上的单调增函数，所以的解是唯一的，

恒成立，则是一个确定的常数，设，即，

所以一方面由已知得，另一方面，所以，

设，易知是增函数，又，所以由得，

所以，

，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值是4.

故答案为：4

四、解答题

17．化简或求值：

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将带分数化为假分数，小数化为分数，然后利用幂的运算法则求出代数式的值；

（2）根据对数的运算法则和性质即可得到结论

【详解】（1）原式

．

（2）原式．

18．不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：

(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式

(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.

【答案】(1)，证明见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；

（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.

【详解】（1）该不等式为

证明：因为，所以，于是.

（2）若按第一种方案采购，每次购买量为，则两次购买的平均价格为，

若按第二种方案采购，每次用的钱数是，则两次购买的平均价格为，

又 ，

所以当时，两种方案一样；

当时，第二种方案比较经济.

19．已知函数，.

（1）判断并证明在上的单调性；

（2）解不等式.

【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据定义法证明函数在上单调递减即可；（2）首先找到，然后根据函数的单调性将不等式化简得到，最后求解不等式即可.

【详解】设满足，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴在上单调递减.

（2）令，解得或－3，

∵，

∴，

∵在上单调递减，且，

∴，

∴解得，

即不等式解集为.

20．已知函数，且不等式的解集为

(1)解关于x的不等式

(2)已知，若对任意的，总存在，恰成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）先由题意得到解集为，根据不等式解集的特点可求得的值，将代入所求不等式得到，分类讨论，与三种情况，即可得到所求不等式的解集；

（2）由题意可知的值域是的值域的子集，故先利用二次函数的图像性质求得的值域，再对分类讨论，与三种情况，结合数轴法，即可求得的取值范围.

【详解】（1）因为，

所以可化为，即，

因为不等式的解集为，即是方程的两根，

将代入，得，故，

再由韦达定理得，故，

所以可化为，即，

当时，不等式解得，即其解集为；

当时，不等式为，显然不等式恒不成立，无解，即；

当时，不等式解得，即其解集为；

综上：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为.

（2）因为对任意的，总存在，恰成立，即成立，

所以的值域是的值域的子集，

由（1）得，

所以开口向上，对称轴为，故在上单调递增，

当时，；当时，；所以的值域为，

当时，在上单调递增，故，即，

所以由数轴法可得，解得，故；

当时，，不满足题意；

当时，在上单调递减，故，即，

所以由数轴法可得，解得，故；

综上：或，即.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

21．已知函数为奇函数；

(1)求实数的值；

(2)求的值域；

(3)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据函数的奇偶性直接可得的值；

（2）根据指数型复合函数的单调性直接可得值域；

（3）由（2）函数的值域，列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）由函数是定义域为的奇函数，

则，

即，即，

所以，即在上恒成立，

解得；

（2）由（1）得，

则，

又函数单调递增，且，

所以，，

所以，

即函数的值域为；

（3）由无实数解，

即无实数解，

又，

所以或，

即（不成立），或，

又，所以，

即.

22．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：

①定义域均为，且在上是增函数；

②为奇函数，为偶函数；

③（常数是自然对数的底数，）．

利用上述性质，解决以下问题：

(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；

(2)证明：对任意实数，为定值；

(3)已知，记函数，的最小值为，求．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可得出关于、的等式组，即可求得这两个函数的解析式；

（2）利用指数的运算性质可证得结论成立；

（3）设，可得出，问题转化为求函数，的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得的表达式.

【详解】（1）解：由性质③知，所以，

由性质②知，，，所以，

即，解得，.

因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.

（2）证明：由（1）可得：

.

（3）解：函数，设，

由性质①，在是增函数知，当时，，

所以原函数即，，

设，，

当时，在上单调递减，此时．

当时，函数的对称轴为，

当时，则，在上单调递减，此时，

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，

此时．

当时，即时，在上单调递减，此时．

综上所述，.

【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：

（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；

（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；

（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.