2022-2023学年山东省青岛市青岛第五十八中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022——2023学年第一学期期末模块考试

高一数学试卷

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号选项要求的，线上诚信考试，请将选出的答案标号（A、B、C、D）使用小程序提交.

1. 已知集合，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求得集合、，由此求得.

【详解】，

，

所以.

故选：B

2 记，那么

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】,

,从而，

，

那么，

故选B．

3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ）.

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．

【详解】解：不等式，

，解得，

故不等式的解集为：，

则其一个充分不必要条件可以是，

故选：．

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；

（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；

（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；

（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

4. 已知函数，记，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的性质，再比较的大小关系，从而利用单调性比较，，的大小关系.

【详解】是偶函数，并且当时，是增函数，

，

因为，，即

又因为在是增函数，所以.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数的性质，后面的问题迎刃而解.

5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】将分离常数为，由，可得，且，，再结合基本不等式求解即可.

【详解】由，

又，所以，且，，

所以，

当且仅当，即，时，等号成立，

故的最小值为6.

故选：A.

6. 已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（    ）

A. 4 B.  C. 9 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由对数函数解析式易知，则有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件.

【详解】由过定点，

∴，

∴，当且仅当，即时取等号．

故选：C．

7. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D；当时，，可排除C；由，可排除B.

【详解】函数，由，即且且，

故函数的定义域为，

由，

所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，可排除D；

当时，，，所以，可排除C；

由，，，即，可排除B.

故选：A.

8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接，

因为是的中点，

所以，

又，所以三点共线，

即，

又，

所以，

则，故，

所以.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.线上诚信考试，请将选出的答案标号（A、B、C、D）使用小程序提交.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 与为同一函数

B. 已知a，b为非零实数，且，则恒成立

C. 若等式的左、右两边都有意义，则恒成立

D. 关于函数有两个零点，且其中一个零点在区间

【答案】ABCD

【解析】

【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.

【详解】对于，因为函数与的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项正确；

对于，因为a，b为非零实数，且，所以，故选项成立；

对于，因

，故选项正确；

对于，因为函数的零点个数等价于与图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，且，

，所以函数有两个零点，且其中一个在上，故选项正确，

故选：.

10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ）

A.  B.

C. m的值可能是4 D. m的值可能是6

【答案】AD

【解析】

【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得，结合函数的单调性、奇偶性解不等式，求得的取值范围.

【详解】由题意可得，则．所以A选项正确.

的定义域为，

因为是偶函数，所以．

当时，单调递增．

因为是偶函数，所以当时，单调递减．

因为，所以，

所以，或，

解得或．所以D选项符合.

故选：AD

11. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A. 若为方程的两实数根，且，则

B. 若方程的两实数根都在，则实数的取值范围是

C. 若，，则实数的取值范围是

D. 若，，则实数的取值范围是

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B，结合二次方程的实根分布可求；对于C，由已知不等式分离参数可得，然后结合基本不等式可求；对于D，由已知结合二次函数的性质可求.

【详解】对于，因为为方程的两实数根，即是方程的两实数根，所以满足，

因为，

则，此时，故正确；

对于B，因为方程的两实数根都在，即方程的两实数根都在，

所以需满足，可得，故B正确；

对于C，因为，，则，

即，因为，则，故C错误；

对于D，因为图像开口向上，

，，都有，

所以，即，

解得，

故D正确.

故选：ABD.

12. （多选题）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

【答案】AC

【解析】

【分析】令转化为，采用数形结合法可求参数范围，结合选项即可求解.

【详解】令得，令，由画出图象得：

由图可知，要使恰有2个零点，则直线与要有两个交点，或，故AC都符合.

故选：AC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处，再拍照上传.

13. 函数的定义域为________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得，解得即可.

【详解】由题意，要使函数有意义，则，即，

解得，

所以

所以函数的定义域为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.

14. 已知函数，若实数满足，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据奇偶性定义可判断出为定义在上的偶函数，从而将所求不等式化为；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定在上单调递增，由偶函数性质可知在上单调递减，由此可得，解不等式即可求得结果.

【详解】的定义域为，，

为定义在上的偶函数，

；

当时，单调递增，在上单调递增；

又在上单调递减，在上单调递增，

图象关于轴对称，在上单调递减；

则由得：，即，解得：，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

15. 已知，关于该函数有下列四个说法：

①的最小正周期为；

②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．

以上四个说法中，正确的有为______．

【答案】②

【解析】

【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．

【详解】解：因为，所以的最小正周期为，故①不正确；

因为，令，而在上递增，

所以在上单调递增，故②正确；

因为，所以，，

所以，故③不正确；

由于，

所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④不正确．

故答案为：②．

16. 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【解析】

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.

【详解】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解，根据特殊点求解.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.线上诚信考试，请将答案填写在答题卡相应位置处，再拍照上传.

17. 完成下列计算，保留应有过程.

（1）；

（2）已知，且，则；

（3）计算

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用两角和差余弦公式和辅助角公式可化简分子为，由此可得结果；

（2）根据，结合同角三角函数平方关系可求得结果；

（3）根据指数运算法则直接化简整理得到结果.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

，，

.

【小问3详解】

原式，

，，

即.

18. 设，函数的最小正周期为，且．

（1）求和的值；

（2）在给定坐标系中作出函数在上的图像；

（3）若，求的取值范围．

【答案】（1），   

（2）作图见解析    （3）

【解析】

【分析】（1）利用最小正周期和解即可；

（2）利用列表，描点画出图像即可；

（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.

【小问1详解】

∵函数的最小正周期，∴．

∵，

且，∴．

【小问2详解】

由（1）知，列表如下：

在上的图像如图所示：

【小问3详解】

∵，即，

∴，

则，

即．

∴的取值范围是

19. 已知，不等式的解集是.

（1）求的解析式；

（2）不等式组的正整数解仅有2个，求实数取值范围；

（3）若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）结合根与系数关系求得，；

（2）根据不等式组的正整数解仅有2个，可得到，即可求解；

（3）对进行分类讨论，结合函数单调性求得的取值范围.

【小问1详解】

因为，不等式的解集是，

所以2，3是一元二次方程的两个实数根，

可得，解得，所以；

【小问2详解】

不等式，即，

解得，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，

可得到，解得，则实数取值范围是，；

【小问3详解】

因为对于任意，，不等式恒成立，所以，

当时，恒成立；

当时，函数在，上单调递减，所以只需满足，解得；

当时，函数在，上单调递增，所以只需满足（1），解得，

综上，的取值范围是.

20. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）若，求B；

（2）求的最小值．

【答案】（1）；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；

（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．

【小问1详解】

因为，即，

而，所以；

【小问2详解】

由（1）知，，所以，

而，

所以，即有，所以

所以

．

当且仅当时取等号，所以的最小值为．

21. 已知函数在区间上是单调函数.

（1）求实数的所有取值组成的集合；

（2）试写出在区间上的最大值；

（3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数的单调性列式可解得结果；

（2）由（1）知，或，分类讨论并根据二次函数的单调性求出最大值可得解；

（3）求出，将问题转化为当时，恒成立，然后对分类讨论求出的最大最小值代入可解得结果.

【详解】（1）对称轴为，所以或，所以

（2）由（1）知，或，

当时，函数在上递减，所以；

当时，函数在上递增，所以，

所以.

（3）由得，，

所以，

问题转化为当时，恒成立.

①当时，为递减函数，所以，

由解得.与矛盾.

②当时，在上递减，在上递增，

因为，所以，

由解得，则，

③当时，在上递减，在上递增，在上递增，

因为，所以，

由解得，

综上可知：。

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

①若在上恒成立，则；

②若在上恒成立，则；

③若在上有解，则；

④若在上有解，则；

22. 截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.

【主题一】【科学抗疫，新药研发】

（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（    ）（参考数据：，）

A. 5.32h B. 6.23h C. 6.93h D. 7.52h

【主题二】【及时隔离，避免感染】

（2）为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a平方米，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．

【答案】（1）C    （2）当时，时总价最低；当时，时总价最低

【解析】

【分析】（1）利用已知条件，求解指数不等式得答案．

（2）根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.

【小问1详解】

解：由题意得，，

设该药在病人体内的血药含量变为时需要是时间为，

由，得，

故，．

该新药对病人有疗效的时长大约为．

故选：C．

【小问2详解】

解：由题意，正面长米，故总造价，即.

由基本不等式有，当且仅当，即时取等号.

故当，即，时总价最低；当，即时，由对勾函数的性质可得，时总价最低；

综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.