山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高三上学期期末数学试卷及解析（word版）

这是一份山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高三上学期期末数学试卷及解析（word版），文件包含山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题解析docx、山东省青岛第五十八中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U={x∣−20 ,即得 m>0 ,
故双曲线的离心率为 e=m+m+1m=2+1m ,
由于 m>0 ,故 2+1m>2 ,故 e∈2,+∞ .
故选: C
7. 若 csα+csβ=12,csα−β=−14 ,其中 α,β∈0,π ,则 sinα+sinβ= ( )
A. 52 B. 62 C. 54 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】将 sinα+sinβ 和 csα+csβ=12 平方后相加,结合 csα−β 的值,建立方程求解.
【详解】: α,β∈0,π ,则令 sinα+sinβ=tt>0 ①,
∵csα+csβ=12 ②,
由 12+22 得 2+2csα−β=t2+14 ,
又 csα−β=−14,∴t2=54 .
∴t=52 .
故选: A.
8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式: i=12k+1−1i−12ai=2a1−2a2+⋯+2a2k−1−2a2k+2a2k+1 ,其中 a11e ,
则 f′x=ex−11+lnx−1xlnx+12x>1e ,
而 ux=1+lnx−1x 在 1e,+∞ 单调递增,且 u1=0 ,
所以当 x∈1e,1 时, f′x0,fx 单调递增,
故 fxmin=f1=1 ,
而当 x→1e 时, fx→+∞ ; 当 x→+∞ 时, fx→+∞ ,
所以 a=f1=1 .
故答案为: 1
14. 如图, 有一款合成 2048 游戏. 游戏规则如下: 在一个 4 * 4 的方格中, 游戏开始时, 方格中会随机出现两个数字小方块, 只能是 2 或 4 . 手指向一个方向 (上、下、左、右) 滑动, 所有含有数字的小方块都会向这个方向移动到不能移动为止, 滑动过程中相同数字的两个小方块相撞时数字会相
加, 称为一次合并运算. 每次滑动时, 空白处会随机刷新出一个含有数字 (只能是 2 或 4) 的小方块. 当界面中最大数字是 2048 时，最少合并运算的次数为_____.
【答案】 511
【解析】
【分析】要合并运算次数最少, 则每次均出现数字 4 时, 合并次数最小, 据此主算即可.
【详解】由题意可知算式 1024+1024=2048 只需出现 1 次,而算式中有 2 个 1024,
故算式 512+512=1024 需出现 21 次,
算式 256+256=512 需出现 22 次, ⋯⋯ 以此类推,算式 4+4=8 需出现 28 次,
故每次出现的都是数字 4 ，最少合并运算的次数是 1+2+22+⋯+28=1×1−291−2=29−1=511 . 故答案为: 511 .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 sinC+π6=b+c2a .
(1)求 A ；
(2)若 △ABC 的外接圆半径为 23 ，且 sinB=2sinC ，求 △ABC 的面积.
【答案】( 1 ) A=π3
(2) 63
【解析】
【分析】(1) 由正弦定理边化角, 再结合辅助角公式即可求解;
(2)由正弦定理求得 a ，再由余弦定理求得 b,c ，结合面积公式求解.
【小问 1 详解】
由 sinC+π6=b+c2a
可得: 2sinAsinC+π6=sinB+sinC ,
即 2sinA32sinC+12csC=sinA+C+sinC ,
即 3sinAsinC=csAsinC+sinC ,
又 sinC≠0 ,
所以 3sinA−csA=1 ,
所以 2sinA−π6=1 ,即 sinA−π6=12 ,
又 A∈0,π ,
所以 A−π6=π6 ,
所以 A=π3 .
【小问 2 详解】
由 (1) 可得: asinA=a32=2R=43 ,
所以 a=6 ,
又 sinB=2sinC ,可得: b=2c ,
由 csA=b2+c2−a22bc=12 ,
解得: c=23,b=43 ,
所以 S△ABC=12bcsinA=12×23×43×32=63 .
16. 已知 fx=x2−m+2x+mlnx,m∈R .
(1)若 f1=0 ，求不等式 fx≤x2−1 的解集；
( 2 )若函数 y=fx 满足在 0,+∞ 上存在极大值，求 m 的取值范围；
【答案】(1) [1,+∞)
(2) m>0 且 m≠2 .
【解析】
【分析】(1) 先求出 m ,从而原不等式即为 x+lnx>1 ,构建新函数 sx=x+lnx,x>0 ,由该函数为增函数可求不等式的解;
(2)求出函数的导数，就 m≤0,00 ,则 s′x=1+1x>0 ,故 sx 在 0,+∞ 上为增函数,
而 x+lnx≥1 即为 sx≥s1 ,故 x≥1 ,
故原不等式的解为 [1,+∞) .
【小问 2 详解】
fx 在 0,+∞ 有极大值即为有极大值点.
f′x=2x−m+2+mx=2x2−m+2x+mx=2x−mx−1x,
若 m≤0 ,则 x∈0,1 时, f′x0 ,
故 x=1 为 fx 的极小值点,无极大值点,故舍;
若 0n>0,Γ2:x2n+y2m=1 ,已知 Γ1 右顶点为 H2,0 ,且它们的交点分别为 P11,1,P2−1,1,P3−1,−1,P41,−1 .


(1)求 Γ1 与 Γ2 的标准方程；
(2)过点 P1 作直线 MN ，交 Γ1 于点 M ，交 Γ2 于点 N ，设直线 P3M 的斜率为 k1 ，直线 P3N 的斜率为 k2 ,求 k2k1 ; (上述各点均不重合)
(3)点 Q1 是 Γ1 上的动点，直线 Q1P1 交 Γ2 于点 Q2 ，直线 Q2P2 交 Γ1 于点 Q3 ，直线 Q3P3 交 Γ2 于点 Q4 ,直线 Q4P4 与直线 Q1P1 交于点 N ,求点 G 坐标,使直线 NG 与直线 NH 的斜率之积为定值. (上述各点均不重合)
【答案】(1) Γ1:x24+y243=1,Γ2:x243+y24=1 ;
(2) k2k1=9
(3) G65,0 .
【解析】
【分析】(1) 首先求出 m=4 ，再代入 P11,1 即可得到答案;
(2)设 Mx1,y1 ， Nx2,y2 ，计算得 kP1M⋅kP3M=y12−1x12−1 ，结合其在椭圆上，代入化简即可得 kP1M⋅kP3M=−13 ,同理 kP1N⋅kP3N=−3 ,则得到斜率比值;
(3)设直线 l1:y−1=k1x−1 ，联立椭圆方程得到 xQ2=k12−2k1−3k12+3 ，则得到 Q 的坐标，再计算得 k3=−1k1+2,k4==3k1+5k1+3 ,设 Nx,y ,计算化简得 yx−65⋅yx−2=5 ,则得到定点坐标.
【小问 1 详解】
由题意得, m=4 ,又因为 P11,1 在 Γ1 上,
代入 Γ1 得 14+1n=1 ，所以 n=43 ，则 Γ1:x24+y243=1,Γ2:x24+y24=1 .
【小问 2 详解】
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,则 kPM⋅kPM=y1−1x1−1y1+1x1+1=y12−1x12−1 ,
又因为 x124+y1243=1 ,所以 y12=431−x124=4−x123 ,
则 kP1M⋅kP3M=4−x123−1x12−1=−13 ,同理可得 kP1N⋅kP3N=−3 ,所以 k2k1=9 .
【小问 3 详解】
设直线 Q1Q2,Q2Q3,Q3Q4,Q4N 分别为 l1,l2,l3,l4 ,其斜率依次为 k1,k2,k3,k4 , 设直线 l1:y−1=k1x−1 ,联立 3x24+y24=1 得 k12+3x2+2k11−k1x+1−k12−4=0 , 即有 xQ2⋅xP1=k12−2k1−3k12+3 ,所以 xQ2=k12−2k1−3k12+3 ,代入直线方程得 yQ2=−k12−6k1+3k12+3 ,
则 k2=yQ2−1xQ2+1=−2k12−6k12k12−2k1=−k1+3k1−1 ,设 fx=−x+3x−1 ,
则经过 P1,P2 的两直线 l1,l2 之间斜率满足关系: k2=fk1 ,
将直线 l2,l3 绕原点顺时针旋转 π2 后也会经过 P1,P2 ,
所以两者斜率满足 −1k3=f−1k2 ,所以 k3=−1f−1k2=−1−k2−1+3k2=−1k1+2 ,
同理将直线 l3,l4 绕原点顺时针旋转 π 后也会经过 P1,P2 ,
所以两直线斜率满足 k4=fk3 ,
k4=−k3+3k3−1=−−1k1+2+3−1k1+2−1=3k1+5k1+3,
设 Nx,y ,则有 y−1x−1=k1,y−1x+1=k4 ,代入上式得: y+1x−1=3⋅y−1x−1+5y−1x−1+3 ,
得到 y2=5x2−16x+12=5x−6x−2 ,
所以 yx−65⋅yx−2=5 ,因此存在定点 G65,0 ,
使直线 GN 和直线 HN 的斜率之积为定值 5 .2
4
16
8
16
32
64
1024
512
256
128
X
1
2
3
P
9 14
2 7
114