2023-2024学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．B．﹣C．﹣5D．5
2．（3分）“霜降见霜，谷米满仓”，2023年我国粮食再获丰收．据统计，去年秋粮的种植面积为13.1亿亩，比前年增加了700多万亩，奠定了增产的基础．将1310000000用科学记数法表示应为（ ）
A．13.1×108B．1.31×109
C．1.31×1010D．0.131×1011
3．（3分）下列各组有理数的大小关系中，正确的是（ ）
A．1＜﹣2B．﹣3＜4C．﹣5＜﹣6D．0＜﹣1
4．（3分）方程﹣2x＝1的解是（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3b﹣b＝3B．﹣5m+2m＝﹣3m
C．x2y﹣xy2＝0D．x3+2x2＝3x5
6．（3分）若3a＝2b+4，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．3a﹣4＝2bB．3a+1＝2b+5C．3ac＝2bc+4D．
7．（3分）如图，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4a cm，则线段CB的长度为（ ）
A．2a cmB．2.5a cmC．3a cmD．3.5a cm
8．（3分）已知有理数x，y在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．﹣x＜2B．|x|＜|y|C．xy＞0D．x+y＞﹣3
9．（3分）如图，在正方形网格中有A，B两点，点C在点A的南偏东60°方向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的（ ）
A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处
10．（3分）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为2a的正方体木块中，挖去一个棱长为a的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为S甲、S乙、S丙，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．
A．S甲＞S乙＞S丙B．S甲＞S丙＞S乙
C．S丙＞S乙＞S甲D．S丙＞S甲＞S乙
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）如果单项式﹣3xay4与5x3yb是同类项，那么a﹣b＝ ．
12．（3分）若关于x的一元一次方程2x+m＝0的解为正数，则m的一个取值可以为 ．
13．（3分）小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为45.7km，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为41.4km，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理： ．
14．（3分）有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有x名学生，则可列方程为 （只列不解）．
15．（3分）如图所示的网格是正方形网格，∠ABC ∠DEF（填“＞”，“＝”或“＜”）
16．（3分）记2x﹣1为M，3x﹣2为N．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当x＝2时，M＝2x﹣1＝3．若x和M，N的值如下表所示．
则a和c的值分别是：
①a＝ ；
②c＝ ．
三、解答题（本题共52分，第17-18题，每小题7分，第19-22题，每小题7分，第23-24题，每小题7分，第25-26题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（7分）计算：
（1）3×（﹣2）﹣（﹣5）+8；
（2）|﹣3|．
18．（7分）解下列方程：
（1）x+7＝3（x﹣1）；
（2）．
19．（4分）已知a﹣b＝3，求3（a﹣b）+4a﹣4b+18的值．
20．（4分）如图，已知∠MON，点A在射线OM上．
（1）请按照下列步骤画图（保留作图痕迹）．
①用圆规在射线ON上取一点B，使OB＝OA；
②在∠MON内部作射线OP，使∠BOP＞∠AOP；
③在射线OP上取一点C（不与点O重合），连接CA，CB；
（2）由图可知，CA CB（填“＞”“＜”或“＝”）．
21．（4分）如图，OC，OD是∠AOB内部的两条射线，∠AOC＝20°，∠BOD＝2∠COD，∠AOD与∠BOC互为补角，求∠COD的度数．
22．（4分）如图，点C，D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．
（1）求线段CD的长；
（2）若E是直线AB上一点，且AE＝CD，求线段EB的长．
23．（5分）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作，如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？
24．（5分）定义一种新运算“&”：当x＞y时，x&y＝；当x＝y时，x&y＝x+y；当x＜y时，x&y＝．例如：2&1＝．
（1）直接写出（﹣1）&7＝ ；
（2）已知2&x＝，求x的值；
（3）若关于x的方程a&（x+1）＝的解为x＝a2，则a的值为 ．
25．（6分）已知∠AOB＝α（0°＜α＜180°，且α≠120°），，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时．
①若α＝30°，则∠MON＝ ；
②猜想∠MON与∠BOC之间的数量关系为： ；
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，画出图形，并求∠MON的大小（用含α的式子表示）．
26．（6分）在数轴上，把原点记作点O，点A和点B分别表示的数为a，b（a＞b），我们称关于x的一元一次方程ax+b＝ab为线段AB的相关方程，将方程ax+b＝ab的解记为x＝c，c在数轴上对应的点为C，若点C在线段AB上，则称线段AB为美好线段，C为线段AB的美好点．
（1）若a＝2，b＝﹣1，则线段AB的相关方程为 ；线段AB是否是美好线段： （填“是”或“否”）；
（2）已知a＝0.5，若线段AB的美好点恰好是线段AB的中点，求点C表示的数；
（3）已知数组，，…，0.，，，…，，一共有4047个数，数组N：﹣10，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，一共有10个数．有理数a是数组M中的一个数，有理数b是数组N中的一个数，若线段AB为美好线段，且线段AB的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好点一共有 个．
2023-2024学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）.
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．B．﹣C．﹣5D．5
【分析】根据倒数的意义进行解答即可．
【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：B．
【点评】本题考查的是倒数，熟知乘积是1的两数互为倒数是解答此题的关键．
2．（3分）“霜降见霜，谷米满仓”，2023年我国粮食再获丰收．据统计，去年秋粮的种植面积为13.1亿亩，比前年增加了700多万亩，奠定了增产的基础．将1310000000用科学记数法表示应为（ ）
A．13.1×108B．1.31×109
C．1.31×1010D．0.131×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1310000000＝1.31×109．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．（3分）下列各组有理数的大小关系中，正确的是（ ）
A．1＜﹣2B．﹣3＜4C．﹣5＜﹣6D．0＜﹣1
【分析】正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此进行判断即可．
【解答】解：1＞﹣2，则A不符合题意；
﹣3＜4，则B符合题意；
由5＜6可得﹣5＞﹣6，则C不符合题意；
0＞﹣1，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握比较有理数大小的方法是解题的关键．
4．（3分）方程﹣2x＝1的解是（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【分析】方程两边同除以﹣2即可．
【解答】解：﹣2x＝1，
方程两边同除以﹣2，得x＝﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3b﹣b＝3B．﹣5m+2m＝﹣3m
C．x2y﹣xy2＝0D．x3+2x2＝3x5
【分析】根据合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3b﹣b＝2b，故A不符合题意；
B、﹣5m+2m＝﹣3m，故B符合题意；
C、x2y与﹣xy2不能合并，故C不符合题意；
D、x3与2x2不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键．
6．（3分）若3a＝2b+4，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．3a﹣4＝2bB．3a+1＝2b+5C．3ac＝2bc+4D．
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．3a＝2b+4，
等式两边都减4，得3a﹣4＝2b，故本选项不符合题意；
B．3a＝2b+4，
等式两边都加1，得3a+1＝2b+5，故本选项不符合题意；
C．3a＝2b+4，
等式两边都乘c，得3ac＝2bc+4c，故本选项符合题意；
D．3a＝2b+4，
等式两边都除以3，得a＝b+，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7．（3分）如图，D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4a cm，则线段CB的长度为（ ）
A．2a cmB．2.5a cmC．3a cmD．3.5a cm
【分析】因D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，可得AD＝BD＝AB，AC＝CD＝AD，已知AB＝4a cm，可得BC．
【解答】解：∵D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，
∴AD＝BD＝AB，AC＝CD＝AD，
∵AB＝4a cm，
∴AD＝BD＝2a cm，AC＝CD＝a cm，
∴BC＝BD+CD＝3a cm，
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离，关键是计算正确．
8．（3分）已知有理数x，y在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A．﹣x＜2B．|x|＜|y|C．xy＞0D．x+y＞﹣3
【分析】观察数轴得﹣3＜x＜﹣2，0＜y＜1，进一步判断出﹣x＞2，|x|＞|y|，xy＜0，x+y＞﹣3，由此解答即可．
【解答】解：由数轴得，﹣3＜x＜﹣2，0＜y＜1，
∴﹣x＞2，|x|＞|y|，xy＜0，x+y＞﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，相反数，有理数加法，有理数的乘法，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，在正方形网格中有A，B两点，点C在点A的南偏东60°方向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的（ ）
A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可判断．
【解答】解：点C在点A的南偏东60°方向上，且点C在点B的东北方向上，则点C可能的位置是图中的C3处．
故选：C．
【点评】本题考查方向角，关键是掌握方向角的定义．
10．（3分）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为2a的正方体木块中，挖去一个棱长为a的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为S甲、S乙、S丙，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．
A．S甲＞S乙＞S丙B．S甲＞S丙＞S乙
C．S丙＞S乙＞S甲D．S丙＞S甲＞S乙
【分析】甲型号玩具配件在棱长2a的正方体木块的表面积基础上增加了2个边长为a的正方形面的面积，
乙型号玩具配件在棱长2a的正方体木块的表面积基础上没有增加边长为a的正方形面的面积，
丙型号玩具配件在棱长2a的正方体木块的表面积基础上增加了4个边长为a的正方形面的面积，
进行比较．
【解答】解：S甲＝24a2+2a2＝26a2，
S乙＝24a2，
S丙＝24a2+4a2＝28a2，
∴S乙＜S甲＜S丙，
故选：D．
【点评】本题考查了几何体表面积，关键是计算正确进行比较．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）如果单项式﹣3xay4与5x3yb是同类项，那么a﹣b＝ ﹣1 ．
【分析】根据同类项的定义可得：a＝3，b＝4，然后把a，b的值代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：∵单项式﹣3xay4与5x3yb是同类项，
∴a＝3，b＝4，
∴a﹣b＝3﹣4＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
12．（3分）若关于x的一元一次方程2x+m＝0的解为正数，则m的一个取值可以为 ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，再根据方程的解是正数得出﹣＞0，求出m＜0，再在范围内取一个数即可．
【解答】解：解方程2x+m＝0，得x＝﹣，
∵关于x的一元一次方程2x+m＝0的解为正数，
∴﹣＞0，
∴m＜0，
取m＝﹣2．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，能求出﹣＞0是解此题的关键．
13．（3分）小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为45.7km，小明用地图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为41.4km，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理： 两点之间线段最短 ．
【分析】由两点之间线段最短，即可得到答案．
【解答】解：用所学数学知识说明其中的道理：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【点评】本题考查线段的性质：两点之间线段最短，关键是掌握两点之间线段最短．
14．（3分）有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有x名学生，则可列方程为 3x+18＝4x﹣22 （只列不解）．
【分析】等量关系：书本数＝每人分3本，则剩余18本＝每人分4本，则还缺22本．
【解答】解：根据题意，得：
3x+18＝4x﹣22．
故答案为：3x+18＝4x﹣22．
【点评】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，列方程的关键是找出题目中的相等关系．
15．（3分）如图所示的网格是正方形网格，∠ABC ＞ ∠DEF（填“＞”，“＝”或“＜”）
【分析】依据图形即可得到∠ABC＝45°，∠DEF＜45°，进而得出两个角的大小关系．
【解答】解：由图可得，∠ABC＝45°，∠DEF＜45°，
∴∠ABC＞∠DEF，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
16．（3分）记2x﹣1为M，3x﹣2为N．我们知道，当这两个代数式中的x取某一确定的有理数时，M和N的值也随之确定，例如当x＝2时，M＝2x﹣1＝3．若x和M，N的值如下表所示．
则a和c的值分别是：
①a＝ 4 ；
②c＝ 1 ．
【分析】①将x＝2代入N中计算即可；
②利用当x＝c时的值相同得到关于c的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：①当x＝2时
N＝3x﹣2＝3×2﹣2＝4．
故答案为：4；
②由题意得：当x＝c时，M＝N＝b，
∴2c﹣1＝b，3c﹣2＝b，
∴2c﹣1＝3c﹣2，
∴c＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将x值准确代入代数式解析运算是解题的关键．
三、解答题（本题共52分，第17-18题，每小题7分，第19-22题，每小题7分，第23-24题，每小题7分，第25-26题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（7分）计算：
（1）3×（﹣2）﹣（﹣5）+8；
（2）|﹣3|．
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣6﹣（﹣5）+8＝7，
（2）原式＝12×+（﹣6）÷3＝3+（﹣2）＝1．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
18．（7分）解下列方程：
（1）x+7＝3（x﹣1）；
（2）．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x+7＝3（x﹣1），
x+7＝3x﹣3，
x﹣3x＝﹣3﹣7，
﹣2x＝﹣10，
x＝5；
（2），
2（x﹣1）＝5﹣x﹣12，
2x﹣2＝5﹣x﹣12，
2x+x＝5﹣12+2，
3x＝﹣5，
x＝﹣．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
19．（4分）已知a﹣b＝3，求3（a﹣b）+4a﹣4b+18的值．
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a﹣b＝3，
∴3（a﹣b）+4a﹣4b+18
＝3（a﹣b）+4（a﹣b）+18
＝7（a﹣b）+18
＝7×3+18
＝21+18
＝39．
【点评】本题考查整式的化简求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
20．（4分）如图，已知∠MON，点A在射线OM上．
（1）请按照下列步骤画图（保留作图痕迹）．
①用圆规在射线ON上取一点B，使OB＝OA；
②在∠MON内部作射线OP，使∠BOP＞∠AOP；
③在射线OP上取一点C（不与点O重合），连接CA，CB；
（2）由图可知，CA ＜ CB（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）观察图形可知AC＜BC
故答案为：＜．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
21．（4分）如图，OC，OD是∠AOB内部的两条射线，∠AOC＝20°，∠BOD＝2∠COD，∠AOD与∠BOC互为补角，求∠COD的度数．
【分析】设∠COD＝x°，则∠BOD＝2x°，从而可得∠BOC＝3x°，∠AOD＝（x+20）°，然后根据补角定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设∠COD＝x°，
∵∠BOD＝2∠COD，
∴∠BOD＝2x°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝3x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝（x+20）°，
∵∠AOD与∠BOC互为补角，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴x+20+3x＝180，
解得：x＝40，
∴∠COD的度数为40°．
【点评】本题考查了余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
22．（4分）如图，点C，D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．
（1）求线段CD的长；
（2）若E是直线AB上一点，且AE＝CD，求线段EB的长．
【分析】（1）先求BC，因D为线段BC的中点，可得线段CD；
（2）分情况讨论．
【解答】解：（1）BC＝AB﹣AC＝10，
∵D为线段BC的中点，
∴CD＝BD＝BC＝5；
（2）∵AE＝CD，
∴AE＝5，
若E在A的左侧，则EB＝EA+AB＝17，
若E在A的右侧，则EB＝AB﹣AE＝7，
∴线段EB的长为17或7．
【点评】本题考查了两点间的距离，关键是计算正确．
23．（5分）故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、有现代科学理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作，如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？
【分析】设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作，根据每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，把完成某件文物的修复工作看作“1”．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作，
由题意得：×16×10+×（16+x）×（30﹣10）＝1，
解得：x＝12，
答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（5分）定义一种新运算“&”：当x＞y时，x&y＝；当x＝y时，x&y＝x+y；当x＜y时，x&y＝．例如：2&1＝．
（1）直接写出（﹣1）&7＝ ；
（2）已知2&x＝，求x的值；
（3）若关于x的方程a&（x+1）＝的解为x＝a2，则a的值为 ．
【分析】（1）﹣1＜7，根据对应运算“&”的定义计算即可；
（2）分x＞2，x＝2，x＜2三种情况分别计算即可；
（3）分a＞x+1，a＝x+1，a＜x+1三种情况分别计算即可．
【解答】解：（1）∵﹣1＜7，
∴（﹣1）&7＝﹣+7＝，
故答案为：．
（2）当2＞x时，2&x＝2+＝，解得x＝；
当2＝x时，2&x＝2+x＝，解得x＝2；
当2＜x时，2&x＝+x＝，解得x＝（舍去）；
综上，x＝或2．
（3）①当a＞x+1时，a&（x+1）＝a+＝a2﹣a+4，将x＝a2代入并整理，得a2﹣5a+7＝0，该方程无解；
②当a＝x+1时，即a＝a2+1，
将a＝a2+1等号两边同时平方并整理，
得a4+a2+1＝0，该方程无解，
∴a＝a2+1无解；
③当a＜x+1时，a&（x+1）＝+x+1＝a2﹣a+4，将x＝a2代入并整理，得+1＝﹣a+4，解得a＝，
∵x+1＝a2+1＝（）2+1＝，＜，
∴a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
25．（6分）已知∠AOB＝α（0°＜α＜180°，且α≠120°），，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）当射线OC在∠AOB的内部时．
①若α＝30°，则∠MON＝ 15° ；
②猜想∠MON与∠BOC之间的数量关系为： ∠MON＝∠BOC ；
（2）当射线OC在∠AOB的外部时，画出图形，并求∠MON的大小（用含α的式子表示）．
【分析】（1）①先求出∠AOC＝α，再根据角平分线的定义得到∠COM＝α，∠CON＝α，则∠MON＝∠COM+∠CON＝＝15°；
②同（1）①求解即可；
（2）分如图2和图3两种情况，先求出∠AOC，再求出∠COM，∠CON的度数，进而根据角之间的关系可得出答案．
【解答】解：（1）①∵∠AOB＝α，，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC＝α，
∠CON＝∠BOC＝α，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝＝15°；
故答案为：15°．
②同（1）①得∠MON＝，
∴∠MON＝∠BOC．
故答案为：∠MON＝∠BOC．
（2）如图2所示，当射线OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB＝α，，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC＝，
∠CON＝∠BOC＝α，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝；
如图3所示，当射线OC在∠AOB的外部时，
∵∠AOB＝α，，
∴∠AOC＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC＝360°﹣，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC＝180°﹣，
∠CON＝∠BOC＝α，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝180°﹣．
【点评】本题主要考查了几何图形中的角度的计算，角平分线的定义，解决本题关键是灵活运用这些知识点．
26．（6分）在数轴上，把原点记作点O，点A和点B分别表示的数为a，b（a＞b），我们称关于x的一元一次方程ax+b＝ab为线段AB的相关方程，将方程ax+b＝ab的解记为x＝c，c在数轴上对应的点为C，若点C在线段AB上，则称线段AB为美好线段，C为线段AB的美好点．
（1）若a＝2，b＝﹣1，则线段AB的相关方程为 2x﹣1＝﹣2 ；线段AB是否是美好线段： 是 （填“是”或“否”）；
（2）已知a＝0.5，若线段AB的美好点恰好是线段AB的中点，求点C表示的数；
（3）已知数组，，…，0.，，，…，，一共有4047个数，数组N：﹣10，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，一共有10个数．有理数a是数组M中的一个数，有理数b是数组N中的一个数，若线段AB为美好线段，且线段AB的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好点一共有 46 个．
【分析】（1）由题意和美好线段的定义可得答案；
（2）由线段AB的美好点恰好是线段AB的中点，得x＝+，将a＝代入计算可得 b＝，即可求出点C表示的数；
（3）根据一元一次方程的定义求出a≠0，再解得b＜0＜a，分两种情况b＝﹣10或b＝﹣1，当b＝﹣10时，解得0.91＜a＜1；当b＝﹣1时，解得0.61＜a＜1，即可得美好点数．
【解答】（1）解：由题意可知线段4B的相关方程为
2x﹣1＝﹣2，
解得：x＝，
∵，
∴线段AB是美好线段；
故答案为：2x﹣1＝﹣2；是．
（2）由题意可知：x＝，
∴，
解得：b＝，
∴x＝，
∴点C表示的数是；
（3）∵ax+b＝ab是关于x的一元一次方程，
∴a≠0，
解方程ax+b＝ab，
解得：x＝b﹣，
即c＝b﹣，
∵点C在线段AB上，
∴b＜c＜a，即b＜b﹣＜a，
∴b＜b，
解得：，
∵b＜a，
∴b＜0＜a，
∴b＝﹣10或b＝﹣1，
因为美好点在数轴的正半轴上，即c＞0，
所以b﹣，
当b＝﹣10时，c＝﹣10+，
即﹣10+＞0，
解得：a＜1，所以0＜a＜1，
b﹣＜a，即﹣10+＜a，
解得：a＞0.91，
所以0.91＜a＜1，
所以a可取，，，⋯，共8个；
当b＝﹣1时，c＝﹣1+，所以﹣1+＞0，
解得：a＜1，
所以0＜a＜1，
b﹣，
即﹣1+，
解得：a＞0.61，
所以0.61＜a＜1，
所以a可取，，，⋯，共38个，
8+38＝46，
∴美好点一共有46个；
故答案为：46．
【点评】本题考查了定义新运算，一元一次方程的解，数轴上的点，解题的关键是根据题意列出方程．x的值
2
c
M的值
3
b
N的值
a
b
x的值
2
c
M的值
3
b
N的值
a
b