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2022-2023学年北京市海淀区七年级（下）期末考试数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年北京市海淀区七年级（下）期末考试数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市海淀区七年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为( )
A. -π B. 5 C. 13 D. 17
3. 若x=2y=1是关于x，y的二元一次方程ax-y=3的一个解，则a的值为( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
4. 已知a
最高限速
小客车
120
大型客车
100
货车
90
最低限速
60
A. v⩽120 B. v=120 C. 60⩽v⩽120 D. v⩾60
6. 如图，直线AB 与CD 交于点O，OE⊥AB，若∠AOD=140∘，则∠COE的度数为( )
A. 40∘ B. 50∘ C. 60∘ D. 70∘
7. 不等式2x+1⩽5的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8. 将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，则下列方程中正确的是( )
A. x+5=2y B. x+5=y+2 C. x-5=2y D. x-5=y+2
9. 如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别为(-3,-2)和(1,-2)，则上述7个点中在第二象限的点有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 为了解北京市城乡居民可回收物投放情况和资源化利用情况，北京市统计局连续两年分别对全市16区的各3210名城乡居民开展调研，其中对于“被访者处理废弃电器及电子产品的方式(被访者回答时可以多选)”这一问题的答题统计如下图所示，图中的数据为选择该选项的人数占总调研人数的百分比：
根据上述信息，以下说法中不合理的是( )
A. 北京市城乡居民处理废弃电器及电子产品方式多样，呈现出多元化
B. 在2022年，将废弃电器及电子产品闲置在家的被访者较2021年明显减少
C. 与2021年相比，2022年“以旧换新”成为处理废弃电器及电子产品的最主要方式
D. 在2022年，有不足1000名被访者选择了“旧货交易、二次出售”的处理方式
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 16的算术平方根是 ．
12. 计算 3( 3-1)= ．
13. 如图，由∠B=∠DCE可以判定 // ，其理由是 ．
14. 在平面直角坐标系中，若点P(2,a)到x 轴的距离是3，则a 的值是 ．
15. 有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，那么这个两位数可以用含有a，b的式子表示为 ，如果将它个位和十位上的数对调，使得到的两位数比原来的两位数大，那么a，b的大小关系为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共55分）
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-5,4)，B(-1,2)，将线段AB 平移，得到线段CD (点A的对应点为点C ，点B 的对应点为点D )，线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，其中s⩾0，t⩾0．
(1)若点C 与点B 恰好重合，则s=________，t=________；
(2)若s+t=6，且平移后三角形BCD 的面积最大，则此时s=________，t=________．
17. 解下列方程组：
(1)y=2x3x+2y=7
(2)x-4y=132x+y=-1
18. 解不等式组：3(x-1)<2x+14x+12-1⩾x
19. 已知正实数a的两个平方根分別是x和x+y．
(1)若x=2，求y的值；
(2)若x-y=3，求a的值．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(0,1)．
(1)线段AB 的长为________，请选用合适的工具，描出点C(1+ 2,0)的位置；
(2)若点D 的纵坐标为1，且BD=2，请判断：点D 的位置________(填“唯一”或“不唯一”)，若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点D 的位置．
21. 某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品．
(1)A，B两种纪念品的单价各多少元？
(2)如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
22. 如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180∘．
(1)求证：AB//CD；
(2)连接CE ，恰好满足CE 平分∠ACD.若AB⊥BC，∠CED=35∘，求∠ACB的度数．
23. 某市在实施居民阶梯电价收费政策前，对居民生活用电情况进行了调查，下图是通过简单随机抽样调查获得的50个家庭去年的月均用电量直方图：(数据分为如下5组，80⩽x<160，160⩽x<240，240⩽x<320，320⩽x<400，400⩽x<480.)
(1)请补全直方图；
(2)根据直方图可以判断，在上面5个组中，月均用电量x(度)在_________范围内的家庭最多；
(3)为鼓励节约用电，需要确定一个用电量的标准，将原来单一的0.50元/度的电费标准改为按月均用电量分为三档，如下表所示：
档位
月均用电量x(度)
电费单价(元/度)
第一档
0⩽x⩽m
0.50
第二档
m
第三档
x>400
0.80
①根据表中信息，需要按第三档标准缴纳电费的家庭数约占总家庭数的百分比为________；
②抽样结果中，月均用电量x为240⩽x<320的9个家庭其月均用电量依次为245.5，257.3，273.2，279.8，296.5，300.1，312.3，313.0，318.2，根据上述信息，若要使约70％的家庭电费支出不受到影响，请写出一个合理的m值为_________．
24. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如不等式x>1和不等式x<3是“互联”的．
(1)请判断不等式x-1<2和x-2⩾0是否是“互联”的，并说明理由；
(2)若2x-a<0和x>0是“互联”的，求a的最大值；
(3)若不等式x+1>2b和x+2b⩽3是“互联”的，直接写出b的取值范围．
25. 如图，已知线段AB ，点C 是线段AB 外一点，连接AC ，∠CAB=α(90∘<α<180∘).将线段AC 沿AB 平移得到线段BD .点P 是线段AB 上一动点，连接PC ，PD ．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD=∠PCA+∠PDB；
(2)过点C作直线l//PD.在直线l上取点M ，使∠MDC=12∠CDP．
①当α=120∘时，画出图形，并直接用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系；
②在点P 运动的过程中，当点P 到直线l的距离最大时，∠BDP的度数是________(用含α的式子表示)．
26. 在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)，如果当|x1|>|x2|时，有|y1|⩾|y2|；当|x1|<|x2|时，有|y1|⩽|y2|，则称点P与点Q互为“进取点”.特别地，当|x1|=|x2|时，点P与点Q也互为“进取点”.已知点A(2,2)，点B(4,4)．
(1)如图1，下列各点：C(4,3)，D(-2,3)，E(-1,-3)，F(1,-1)，其中所有与点A 互为“进取点”的是________；
(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足|x|⩽4，|y|⩽4的所有整点中(如图2)：
①已知点P(x,y)为第一象限中的整点，且与点A ，点B 均互为“进取点”，求所有符合题意的点P 的坐标；
②在所有的整点中取n 个点，若这n 个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出n 的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】根据平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可．
【详解】解：解：A、B、C选项中的图通过平移无法得到，D选项中的图是通过平移得到．
故选：D．
【点睛】本题注意考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上被覆盖的数在3与4之间，逐项进行判断即可．
【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在3与4之间；
A.-π<0，不在3与4之间，故A错误；
B.2< 5<3，不在3与4之间，故B错误；
C.3< 13<4，在3与4之间，故C正确；
D.4< 17<5，不在3与4之间，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，估算无理数的大小，解题的关键是估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间．
3.【答案】D
【解析】
【分析】将这组值代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将x=2y=1代入ax-y=3得：2a-1=3，
解得：a=2，故 D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵a
-a>-b，故选项 C正确；
如a=-2,b=1时，满足ab2，故选项 D错误
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】根据题意已知小客车的最高限速和所有车辆的最低限速，易得出小客车的速度范围．
【详解】解：由题意小客车的最高限速为120 千米/小时，而所有车辆的最低限速为60 千米/小时，
∴v⩾60v⩽120,
因此小客车的速度范围是60⩽v⩽120．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案．
【详解】解：∵∠AOD=140∘，
∴∠AOC=180∘-140∘=40∘，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90∘，
∴∠COE=90∘-40∘=50∘，故 B正确．
故选：B．
【点睛】主要考查了邻补角和垂线的定义，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：2x+1⩽5，
移项得：2x⩽4，
解得：x⩽2，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
8.【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的长减少5cm=宽变成现在的2倍，列出方程即可．
【详解】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
x-5=2y，故 C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系．
9.【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标中点的位置直接进行判断即可．
【详解】解：根据图形可知，点A、G在第二象限内，
∴7个点中在第二象限的点有2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系的象限分布．
10.【答案】D
【解析】
【分析】根据图表信息逐项判断即可．
【详解】解：北京市城乡居民处理废弃电器及电子产品方式多样，呈现出多元化，故选项A合理；
在2022年，将废弃电器及电子产品闲置在家的被访者较2021年明显减少，故选项B合理；
与2021年相比，2022年“以旧换新”成为处理废弃电器及电子产品的最主要方式，故选项C合理；
在2022年，被访者选择了“旧货交易、二次出售”的处理方式有3210×39.4％≈1265>1000，故选项 D不合理．
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图得出合理的信息是本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵(±4)2=16
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12.【答案】3- 3
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： 3( 3-1)= 3× 3- 3=3- 3．
故答案为：3- 3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算，准确计算．
13.【答案】AB
CD
同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定即可．
【详解】解：∵∠B=∠DCE，
∴AB//CD，理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：AB,CD，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行是本题的关键．
14.【答案】±3
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得a 的值．
【详解】因为点P(2,a)到x 轴的距离是3，
所以|a|=3，
解得a=±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
15.【答案】10b+a
a>b
【解析】
【分析】根据这个两位数个位上的数为a，十位上的数为b，列出代数式即可；根据得到的两位数比原来的两位数大，得出10a+b-(10b+a)>0，整理得出a>b．
【详解】解：∵这个两位数个位上的数为a，十位上的数为b，
∴这个两位数是10b+a；
将它个位和十位上的数对调后，可以表示为10a+b，要使得到的两位数比原来的两位数大，则10a+b-(10b+a)>0，
∴a-b>0，
即a>b．
故答案为：10b+a；a>b．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式．
16.【答案】(1)4， 2；
(2) 0 ，6．
【解析】
【分析】(1)根据点C 与点B 恰好重合，得到线段AB 向右平移4个单位，向下平移2个单位到线段CD，从而得出s=4，t=2；
(2)根据线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，s⩾0，t⩾0，得出AB 只能向右平移或向下平移，根据无论如何平移，线段CD的长度不变，得出当CD上的高最大时，△BCD面积最大，根据点B距离CD最远时，△BCD面积最大，根据s+t=6，结合图形，得出当AB 向下平移6 个单位时，水平位置不动时，点B距离CD最远，△BCD面积最大，即可得出答案．
【详解】解：(1)∵点C 与点B 恰好重合，
∴线段AB 向右平移4个单位，向下平移2个单位得到线段CD，
∴线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，
∴ s=4，t=2；
故答案为：4；2；
(2)∵线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，s⩾0，t⩾0，
∴ AB 只能向右平移或向下平移，
∵无论如何平移，线段CD的长度不变，
∴当CD上的高最大时，△BCD面积最大，
即点B距离CD最远时，△BCD面积最大，
∵s+t=6，
∴当AB 向下平移6 个单位时，水平位置不动时，点B距离CD最远，△BCD面积最大，如图所示：
此时s=0，t=6，
故答案为：0；6．
【点睛】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律．
17.【答案】(1)解：y=2x①3x+2y=7②
把①代入②，得3x+4x=7，
x=1，
把x=1代入①，得y=2，
故原方程组的解为x=1y=2；
(2)解：x-4y=13①2x+y=-1②
①+②×4，得x=1，
把x=1代入②，得y=-3，
故原方程组的解为x=1y=-3．
【解析】
【分析】(1)用代入消元法解方程组；
(2)用加减消元法解方程组．
【点睛】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是本题的关键．
18.【答案】【详解】解：解不等式3(x-1)<2x+1，得x<4，
解不等式4x+12-1⩾x，得x⩾12，
故原不等式组的解集为12⩽x<4．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键．
19.【答案】(1)解：正实数a的两个平方根分別是x和x+y，
∴x+x+y=0，
y=-2x，
若x=2，则y=-4；
(2)解：联立x-y=3y=-2x，得x=1y=-2,
∴a=12=1．
【解析】
【分析】(1)先根据平方根的定义，得x+x+y=0，再化简即可；
(2)联立x-y=3y=-2x，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
20.【答案】(1) 2；
(2)不唯一；
【解析】
【分析】(1)根据两点间距离公式求出AB 的长即可；连接AM ，以点A为圆心，AM 为半径画弧，交x轴于一点，该点即为点C；
(2)根据点D 的纵坐标为1，且BD=2，且B点坐标为0,1，得出点D的坐标为-2,1或2,1，即可得出点D的位置不唯一．
【详解】(1)解：线段AB 的长为 12+12= 2；
如图：连接AM ，以点A为圆心，AM 为半径画弧，交x轴于一点，该点即为点C．
∵AM= 12+12= 2，
∴AC= 2，
∴OC=OA+AC=1+ 2，
即点C坐标为为(1+ 2,0)；
故答案为： 2．
(2)解：∵点D 的纵坐标为1，且BD=2，且B点坐标为0,1，
∴点D的坐标为-2,1或2,1，
∴点D的位置不唯一，如图所示：
故答案为：不唯一．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式．
21.【答案】(1)解：设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据题意得：
10x+4y=4005x+10y=400,
解得：x=30y=25,
答：A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元．
(2)解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为20-m件，根据题意得：8⩽m<20，
∵30>25，即A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，
∴购买的A纪念品越少花费越少，
∴当购买A 纪念品8件，B 纪念品购买20-8=12(件)时，花费最少，
则最少花费为30×8+25×12=540(元)，
答：最少花费为540元．
【解析】
【分析】(1)设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品列出方程组，解方程组即可；
(2)设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为20-m件，根据题意得出8⩽m<20，根据A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，得出购买的A纪念品越少花费越少，根据m的取值范围得出当购买A 纪念品8件，B 纪念品购买12 件时，花费最少，求出最少花费即可．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组．
22.【答案】(1)证明：∵AC//DE，
∴∠D+∠ACD=180∘，
∵∠D+∠BAC=180∘，
∴∠BAC=∠ACD，
∴AB//CD；
(2)解：∵AC//DE，
∴∠ACE=∠CED=35∘，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=70∘，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90∘，
∵AB//CD，
∴∠BCD=180∘-∠B=90∘，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90∘-70∘=20∘．
【解析】
【分析】(1)根据平行线的性质得出∠D+∠ACD=180∘，根据∠D+∠BAC=180∘，得出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判断得出AB//CD；
(2)根据平行线的性质得出∠ACE=∠CED=35∘，根据角平分线的定义得出∠ACD=2∠ACE=70∘，根据垂直定义得出∠B=90∘，根据平行线的性质得出∠BCD=180∘-∠B=90∘，最后求出∠ACB=∠BCD-∠ACD=20∘即可．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
23.【答案】(1)
(2)160⩽x<240；
(3)① 10% ；
② 300(答案不唯一)．
【解析】
【分析】(1)用电量为320⩽x<400的家庭数为50-11-19-9-5=6，补全直方图即可；
(2)观察直方图即可；
(3)①月均用电量400⩽x<480有5人，即可得出结果，②50×70％=35，即m的值在第5个数296.5 与第6个数300.1之间，即可得出结果．
【详解】(1)解：用电量为320⩽x<400的家庭数为50-11-19-9-5=6，补全直方图如图：
(2)解：用电量为80⩽x<160的家庭数为11，
用电量为160⩽x<240的家庭数为19，
用电量为240⩽x<320的家庭数为9，
用电量为320⩽x<400的家庭数为6，
用电量为400⩽x<480的家庭数为5，
故月均用电量x(度)在160⩽x<240范围内的家庭最多，
故答案为：160⩽x<240
(3)解：①月均用电量400⩽x<480有5人，
需要按第三档标准缴纳电费的家庭数约占总家庭数的百分比为550×100％=10％，
故答案为：10%．
②50×70％=35，即m的值在第5个数296.5 与第6个数300.1之间，
故m的值为300(答案不唯一)．
【点睛】本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24.【答案】(1)解：是，理由如下：
解不等式得2⩽x<3，
满足条件的整数有且只有一个2，所以这两个不等式是“互联”的。
(2)解：解不等式2x-a<0，得x
∴0
故a的最大值为4；
(3)12
【解析】
【分析】(1)解不等式得2⩽x<3，再根据“互联”的定义即可；
(2)根据题意得0
(2)见答案；
(3)解：若不等式x+1>2b和x+2b⩽3是“互联”的，
则满足2b-1
∴12
25.【答案】(1)证明：补全图形如图所示，作PQ//AC，
∵将线段AC 沿AB 平移得到线段BD ，
∴BD//AC,BD=AC，
∴PQ//BD，
∴∠PCA=∠CPQ,∠PDB=∠DPQ，
∴∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠PCA+∠PDB，
即∠CPD=∠PCA+∠PDB
(2)①点M 在直线CD的上方时，2∠BDM+∠BDP=360∘；
点M 在直线CD的下方时，2∠BDM-∠BDP=120∘；
②α-90∘．
【解析】
【分析】(1)作PQ//AC，根据平行线的性质证明即可；
(2)①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点P 到直线l的最大距离就是线段CD的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】(1)见答案；
(2)解：①分两种情况：
点M 在直线CD的上方时，如图所示：
由平移的性质得：AC//BD,CD//AB，
∴∠CDB=180∘-∠B=∠CAB=120∘，
∵∠MDC=12∠CDP，
∴∠MDC=∠BDM-∠BDC=∠BDM-120∘，
∴∠BDP=∠BDC-∠CDP=120∘-2∠MDC=120∘-2(∠BDM-120∘)，
整理，得2∠BDM+∠BDP=360∘；
点M 在直线CD的下方时，如图所示：
∠MDC=∠BDC-∠BDM=120∘-∠BDM，
∴∠BDP=∠BDC-∠CDP=120∘-2∠MDC=120∘-2(120∘-∠BDM)，
整理，得2∠BDM-∠BDP=120∘；
②作DE⊥l，如图所示：
∵l//PD，
∴点P 到直线l的距离就是线段DE 的长，
∵DE⩽CD，
∴点P 到直线l的最大距离就是线段CD的长，此时DP⊥CD，作PG⊥l于点G ，如图所示：
由平移的性质得：AC//BD,CD//AB，
∴∠CDB=180∘-∠B=∠CAB=α，
∵DP⊥CD，
∴∠CDP=90∘，
∴∠BDP=∠CDB-∠CDP=α-90∘
故答案为：α-90∘．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
26.【答案】(1)C、D、F；
(2)解：①∵P(x,y)为第一象限中的整点，点A(2,2)，点B(4,4)，
∴当1⩽x⩽2，1⩽y⩽2时，
|1|⩽|x|⩽|2|，|1|⩽|y|⩽|2|，
∴P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”，
当2⩽x⩽4，2⩽y⩽4时，
|2|⩽|x|⩽|4|，|2|⩽|y|⩽|4|，
∴P4(2,3)，P5(2,4)，P6(3,2)，P7(3,3)，P8(3,4)，P9(4,2)，P10(4,3)，均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”，
∴P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1) ，P4(2,3)，P5(2,4)，P6(3,2)，P7(3,3)，P8(3,4)，P9(4,2)，P10(4,3)均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”；
②31．
【解析】
【分析】(1)根据|2|<|4|，|2|<|3|，判定点A(2,2)，C(4,3)，互为“进取点”；根据|2|=|-2|，判定点A(2,2)，D(-2,3)互为“进取点”；根据|2|>|-1|，|2|<|3|，判定点A(2,2)，E(-1,-3)不互为“进取点”；根据|2|>|1|，|2|>|-1|，判定点A(2,2)，F(1,-1)互为“进取点”；
(2)①当1⩽x⩽2，1⩽y⩽2时，有P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，当2⩽x⩽4，2⩽y⩽4时，有P4(2,3)，P5(2,4)，P6(3,2)，P7(3,3)，P8(3,4)，P9(4,2)，P10(4,3)，均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”；
②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点0,0按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到4,4，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，加上x轴上3个点，n 的最大值为31．
【详解】(1)解：∵A(2,2)，C(4,3)，
∴|2|<|4|，|2|<|3|，
∴点A与点C互为“进取点”；
∵A(2,2)，D(-2,3)，
∴|2|=|-2|，
∴点A与点D互为“进取点”；
∵A(2,2)，E(-1,-3)，
∴|2|>|-1|，|2|<|3|，
∴点A与点E不互为“进取点”；
∵A(2,2)，F(1,-1)，
∴|2|>|1|，|2|>|-1|，
∴点A与点F互为“进取点”；
故答案为：C、D、F；
(2)解：①见答案；
②∵|x|⩽4，|y|⩽4，
∴0⩽|x1|⩽4，0⩽|y1|⩽4，0⩽|x2|⩽4，0⩽|y2|⩽4，
∵当|x1|<|x2|时，有|y1|⩽|y2|，则点x1,y1和点x2,y2互为“进取点”，
∴0⩽|x1|⩽3，1⩽|x2|⩽4，0⩽|y1|⩽4，0⩽|y2|⩽4，
当x⩾0，y⩾0时，x1取值0，1，2，3，x2取值1，2，3，4，y1、y2取值0，1，2，3，4，
∵任意两个整点都互为“进取点”，
∴把点0,0按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到4,4，(方法不唯一)
∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图，
∴n的最大值为n=3+7×4=31．
【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则．
2022-2023学年北京市海淀区七年级（下）期末考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1. 下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为( )
A. -π B. 5 C. 13 D. 17
3. 若x=2y=1是关于x，y的二元一次方程ax-y=3的一个解，则a的值为( )
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
4. 已知a
最高限速
小客车
120
大型客车
100
货车
90
最低限速
60
A. v⩽120 B. v=120 C. 60⩽v⩽120 D. v⩾60
6. 如图，直线AB 与CD 交于点O，OE⊥AB，若∠AOD=140∘，则∠COE的度数为( )
A. 40∘ B. 50∘ C. 60∘ D. 70∘
7. 不等式2x+1⩽5的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8. 将一个长方形的长减少5cm，宽变成现在的2倍，设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，则下列方程中正确的是( )
A. x+5=2y B. x+5=y+2 C. x-5=2y D. x-5=y+2
9. 如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别为(-3,-2)和(1,-2)，则上述7个点中在第二象限的点有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
10. 为了解北京市城乡居民可回收物投放情况和资源化利用情况，北京市统计局连续两年分别对全市16区的各3210名城乡居民开展调研，其中对于“被访者处理废弃电器及电子产品的方式(被访者回答时可以多选)”这一问题的答题统计如下图所示，图中的数据为选择该选项的人数占总调研人数的百分比：
根据上述信息，以下说法中不合理的是( )
A. 北京市城乡居民处理废弃电器及电子产品方式多样，呈现出多元化
B. 在2022年，将废弃电器及电子产品闲置在家的被访者较2021年明显减少
C. 与2021年相比，2022年“以旧换新”成为处理废弃电器及电子产品的最主要方式
D. 在2022年，有不足1000名被访者选择了“旧货交易、二次出售”的处理方式
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11. 16的算术平方根是 ．
12. 计算 3( 3-1)= ．
13. 如图，由∠B=∠DCE可以判定 // ，其理由是 ．
14. 在平面直角坐标系中，若点P(2,a)到x 轴的距离是3，则a 的值是 ．
15. 有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，那么这个两位数可以用含有a，b的式子表示为 ，如果将它个位和十位上的数对调，使得到的两位数比原来的两位数大，那么a，b的大小关系为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共55分）
16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-5,4)，B(-1,2)，将线段AB 平移，得到线段CD (点A的对应点为点C ，点B 的对应点为点D )，线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，其中s⩾0，t⩾0．
(1)若点C 与点B 恰好重合，则s=________，t=________；
(2)若s+t=6，且平移后三角形BCD 的面积最大，则此时s=________，t=________．
17. 解下列方程组：
(1)y=2x3x+2y=7
(2)x-4y=132x+y=-1
18. 解不等式组：3(x-1)<2x+14x+12-1⩾x
19. 已知正实数a的两个平方根分別是x和x+y．
(1)若x=2，求y的值；
(2)若x-y=3，求a的值．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(0,1)．
(1)线段AB 的长为________，请选用合适的工具，描出点C(1+ 2,0)的位置；
(2)若点D 的纵坐标为1，且BD=2，请判断：点D 的位置________(填“唯一”或“不唯一”)，若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点D 的位置．
21. 某博物馆有A，B两种不同的文创纪念品，花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品．
(1)A，B两种纪念品的单价各多少元？
(2)如果想购买两种纪念品共20件，其中A纪念品不少于8件，最少花费多少元？请说明理由．
22. 如图，已知AC//DE，∠D+∠BAC=180∘．
(1)求证：AB//CD；
(2)连接CE ，恰好满足CE 平分∠ACD.若AB⊥BC，∠CED=35∘，求∠ACB的度数．
23. 某市在实施居民阶梯电价收费政策前，对居民生活用电情况进行了调查，下图是通过简单随机抽样调查获得的50个家庭去年的月均用电量直方图：(数据分为如下5组，80⩽x<160，160⩽x<240，240⩽x<320，320⩽x<400，400⩽x<480.)
(1)请补全直方图；
(2)根据直方图可以判断，在上面5个组中，月均用电量x(度)在_________范围内的家庭最多；
(3)为鼓励节约用电，需要确定一个用电量的标准，将原来单一的0.50元/度的电费标准改为按月均用电量分为三档，如下表所示：
档位
月均用电量x(度)
电费单价(元/度)
第一档
0⩽x⩽m
0.50
第二档
m
第三档
x>400
0.80
①根据表中信息，需要按第三档标准缴纳电费的家庭数约占总家庭数的百分比为________；
②抽样结果中，月均用电量x为240⩽x<320的9个家庭其月均用电量依次为245.5，257.3，273.2，279.8，296.5，300.1，312.3，313.0，318.2，根据上述信息，若要使约70％的家庭电费支出不受到影响，请写出一个合理的m值为_________．
24. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的．例如不等式x>1和不等式x<3是“互联”的．
(1)请判断不等式x-1<2和x-2⩾0是否是“互联”的，并说明理由；
(2)若2x-a<0和x>0是“互联”的，求a的最大值；
(3)若不等式x+1>2b和x+2b⩽3是“互联”的，直接写出b的取值范围．
25. 如图，已知线段AB ，点C 是线段AB 外一点，连接AC ，∠CAB=α(90∘<α<180∘).将线段AC 沿AB 平移得到线段BD .点P 是线段AB 上一动点，连接PC ，PD ．
(1)依题意在图1中补全图形，并证明：∠CPD=∠PCA+∠PDB；
(2)过点C作直线l//PD.在直线l上取点M ，使∠MDC=12∠CDP．
①当α=120∘时，画出图形，并直接用等式表示∠BDM与∠BDP之间的数量关系；
②在点P 运动的过程中，当点P 到直线l的距离最大时，∠BDP的度数是________(用含α的式子表示)．
26. 在平面直角坐标系xOy中，对于不重合的两点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)，如果当|x1|>|x2|时，有|y1|⩾|y2|；当|x1|<|x2|时，有|y1|⩽|y2|，则称点P与点Q互为“进取点”.特别地，当|x1|=|x2|时，点P与点Q也互为“进取点”.已知点A(2,2)，点B(4,4)．
(1)如图1，下列各点：C(4,3)，D(-2,3)，E(-1,-3)，F(1,-1)，其中所有与点A 互为“进取点”的是________；
(2)如果一个点的横、纵坐标都是整数，则称这个点为整点．在满足|x|⩽4，|y|⩽4的所有整点中(如图2)：
①已知点P(x,y)为第一象限中的整点，且与点A ，点B 均互为“进取点”，求所有符合题意的点P 的坐标；
②在所有的整点中取n 个点，若这n 个点中任意两个点都互为“进取点”，直接写出n 的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】根据平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可．
【详解】解：解：A、B、C选项中的图通过平移无法得到，D选项中的图是通过平移得到．
故选：D．
【点睛】本题注意考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上被覆盖的数在3与4之间，逐项进行判断即可．
【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在3与4之间；
A.-π<0，不在3与4之间，故A错误；
B.2< 5<3，不在3与4之间，故B错误；
C.3< 13<4，在3与4之间，故C正确；
D.4< 17<5，不在3与4之间，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，估算无理数的大小，解题的关键是估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间．
3.【答案】D
【解析】
【分析】将这组值代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将x=2y=1代入ax-y=3得：2a-1=3，
解得：a=2，故 D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵a
-a>-b，故选项 C正确；
如a=-2,b=1时，满足a
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
5.【答案】C
【解析】
【分析】根据题意已知小客车的最高限速和所有车辆的最低限速，易得出小客车的速度范围．
【详解】解：由题意小客车的最高限速为120 千米/小时，而所有车辆的最低限速为60 千米/小时，
∴v⩾60v⩽120,
因此小客车的速度范围是60⩽v⩽120．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案．
【详解】解：∵∠AOD=140∘，
∴∠AOC=180∘-140∘=40∘，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90∘，
∴∠COE=90∘-40∘=50∘，故 B正确．
故选：B．
【点睛】主要考查了邻补角和垂线的定义，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：2x+1⩽5，
移项得：2x⩽4，
解得：x⩽2，
在数轴上表示为：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
8.【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的长减少5cm=宽变成现在的2倍，列出方程即可．
【详解】解：设这个长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：
x-5=2y，故 C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程，解题的关键是找出题目中的等量关系．
9.【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标中点的位置直接进行判断即可．
【详解】解：根据图形可知，点A、G在第二象限内，
∴7个点中在第二象限的点有2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系的象限分布．
10.【答案】D
【解析】
【分析】根据图表信息逐项判断即可．
【详解】解：北京市城乡居民处理废弃电器及电子产品方式多样，呈现出多元化，故选项A合理；
在2022年，将废弃电器及电子产品闲置在家的被访者较2021年明显减少，故选项B合理；
与2021年相比，2022年“以旧换新”成为处理废弃电器及电子产品的最主要方式，故选项C合理；
在2022年，被访者选择了“旧货交易、二次出售”的处理方式有3210×39.4％≈1265>1000，故选项 D不合理．
故选：D．
【点睛】本题考查了条形统计图，观察条形统计图得出合理的信息是本题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵(±4)2=16
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12.【答案】3- 3
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解： 3( 3-1)= 3× 3- 3=3- 3．
故答案为：3- 3．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算，准确计算．
13.【答案】AB
CD
同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定即可．
【详解】解：∵∠B=∠DCE，
∴AB//CD，理由是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：AB,CD，同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行是本题的关键．
14.【答案】±3
【解析】
【分析】根据纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求得a 的值．
【详解】因为点P(2,a)到x 轴的距离是3，
所以|a|=3，
解得a=±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
15.【答案】10b+a
a>b
【解析】
【分析】根据这个两位数个位上的数为a，十位上的数为b，列出代数式即可；根据得到的两位数比原来的两位数大，得出10a+b-(10b+a)>0，整理得出a>b．
【详解】解：∵这个两位数个位上的数为a，十位上的数为b，
∴这个两位数是10b+a；
将它个位和十位上的数对调后，可以表示为10a+b，要使得到的两位数比原来的两位数大，则10a+b-(10b+a)>0，
∴a-b>0，
即a>b．
故答案为：10b+a；a>b．
【点睛】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式．
16.【答案】(1)4， 2；
(2) 0 ，6．
【解析】
【分析】(1)根据点C 与点B 恰好重合，得到线段AB 向右平移4个单位，向下平移2个单位到线段CD，从而得出s=4，t=2；
(2)根据线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，s⩾0，t⩾0，得出AB 只能向右平移或向下平移，根据无论如何平移，线段CD的长度不变，得出当CD上的高最大时，△BCD面积最大，根据点B距离CD最远时，△BCD面积最大，根据s+t=6，结合图形，得出当AB 向下平移6 个单位时，水平位置不动时，点B距离CD最远，△BCD面积最大，即可得出答案．
【详解】解：(1)∵点C 与点B 恰好重合，
∴线段AB 向右平移4个单位，向下平移2个单位得到线段CD，
∴线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，
∴ s=4，t=2；
故答案为：4；2；
(2)∵线段AB 上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t)，s⩾0，t⩾0，
∴ AB 只能向右平移或向下平移，
∵无论如何平移，线段CD的长度不变，
∴当CD上的高最大时，△BCD面积最大，
即点B距离CD最远时，△BCD面积最大，
∵s+t=6，
∴当AB 向下平移6 个单位时，水平位置不动时，点B距离CD最远，△BCD面积最大，如图所示：
此时s=0，t=6，
故答案为：0；6．
【点睛】本题主要考查了坐标的平移，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移规律．
17.【答案】(1)解：y=2x①3x+2y=7②
把①代入②，得3x+4x=7，
x=1，
把x=1代入①，得y=2，
故原方程组的解为x=1y=2；
(2)解：x-4y=13①2x+y=-1②
①+②×4，得x=1，
把x=1代入②，得y=-3，
故原方程组的解为x=1y=-3．
【解析】
【分析】(1)用代入消元法解方程组；
(2)用加减消元法解方程组．
【点睛】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是本题的关键．
18.【答案】【详解】解：解不等式3(x-1)<2x+1，得x<4，
解不等式4x+12-1⩾x，得x⩾12，
故原不等式组的解集为12⩽x<4．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，确定不等式组解集的原则是解题的关键．
19.【答案】(1)解：正实数a的两个平方根分別是x和x+y，
∴x+x+y=0，
y=-2x，
若x=2，则y=-4；
(2)解：联立x-y=3y=-2x，得x=1y=-2,
∴a=12=1．
【解析】
【分析】(1)先根据平方根的定义，得x+x+y=0，再化简即可；
(2)联立x-y=3y=-2x，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
20.【答案】(1) 2；
(2)不唯一；
【解析】
【分析】(1)根据两点间距离公式求出AB 的长即可；连接AM ，以点A为圆心，AM 为半径画弧，交x轴于一点，该点即为点C；
(2)根据点D 的纵坐标为1，且BD=2，且B点坐标为0,1，得出点D的坐标为-2,1或2,1，即可得出点D的位置不唯一．
【详解】(1)解：线段AB 的长为 12+12= 2；
如图：连接AM ，以点A为圆心，AM 为半径画弧，交x轴于一点，该点即为点C．
∵AM= 12+12= 2，
∴AC= 2，
∴OC=OA+AC=1+ 2，
即点C坐标为为(1+ 2,0)；
故答案为： 2．
(2)解：∵点D 的纵坐标为1，且BD=2，且B点坐标为0,1，
∴点D的坐标为-2,1或2,1，
∴点D的位置不唯一，如图所示：
故答案为：不唯一．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式．
21.【答案】(1)解：设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据题意得：
10x+4y=4005x+10y=400,
解得：x=30y=25,
答：A，B两种纪念品的单价分别为30元、25元．
(2)解：设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为20-m件，根据题意得：8⩽m<20，
∵30>25，即A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，
∴购买的A纪念品越少花费越少，
∴当购买A 纪念品8件，B 纪念品购买20-8=12(件)时，花费最少，
则最少花费为30×8+25×12=540(元)，
答：最少花费为540元．
【解析】
【分析】(1)设A，B两种纪念品的单价分别为x元、y元，根据花费400元可以购买10件A纪念品和4件B纪念品，或者购买5件A纪念品和10件B纪念品列出方程组，解方程组即可；
(2)设购买A纪念品m件，则购买B纪念品为20-m件，根据题意得出8⩽m<20，根据A纪念品的价格大于B纪念品的价格，且两种纪念品的总件数一定，得出购买的A纪念品越少花费越少，根据m的取值范围得出当购买A 纪念品8件，B 纪念品购买12 件时，花费最少，求出最少花费即可．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组．
22.【答案】(1)证明：∵AC//DE，
∴∠D+∠ACD=180∘，
∵∠D+∠BAC=180∘，
∴∠BAC=∠ACD，
∴AB//CD；
(2)解：∵AC//DE，
∴∠ACE=∠CED=35∘，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=70∘，
∵AB⊥BC，
∴∠B=90∘，
∵AB//CD，
∴∠BCD=180∘-∠B=90∘，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90∘-70∘=20∘．
【解析】
【分析】(1)根据平行线的性质得出∠D+∠ACD=180∘，根据∠D+∠BAC=180∘，得出∠BAC=∠ACD，根据平行线的判断得出AB//CD；
(2)根据平行线的性质得出∠ACE=∠CED=35∘，根据角平分线的定义得出∠ACD=2∠ACE=70∘，根据垂直定义得出∠B=90∘，根据平行线的性质得出∠BCD=180∘-∠B=90∘，最后求出∠ACB=∠BCD-∠ACD=20∘即可．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
23.【答案】(1)
(2)160⩽x<240；
(3)① 10% ；
② 300(答案不唯一)．
【解析】
【分析】(1)用电量为320⩽x<400的家庭数为50-11-19-9-5=6，补全直方图即可；
(2)观察直方图即可；
(3)①月均用电量400⩽x<480有5人，即可得出结果，②50×70％=35，即m的值在第5个数296.5 与第6个数300.1之间，即可得出结果．
【详解】(1)解：用电量为320⩽x<400的家庭数为50-11-19-9-5=6，补全直方图如图：
(2)解：用电量为80⩽x<160的家庭数为11，
用电量为160⩽x<240的家庭数为19，
用电量为240⩽x<320的家庭数为9，
用电量为320⩽x<400的家庭数为6，
用电量为400⩽x<480的家庭数为5，
故月均用电量x(度)在160⩽x<240范围内的家庭最多，
故答案为：160⩽x<240
(3)解：①月均用电量400⩽x<480有5人，
需要按第三档标准缴纳电费的家庭数约占总家庭数的百分比为550×100％=10％，
故答案为：10%．
②50×70％=35，即m的值在第5个数296.5 与第6个数300.1之间，
故m的值为300(答案不唯一)．
【点睛】本题考查读频数分布直方图和频数分布表的能力及利用统计图表获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24.【答案】(1)解：是，理由如下：
解不等式得2⩽x<3，
满足条件的整数有且只有一个2，所以这两个不等式是“互联”的。
(2)解：解不等式2x-a<0，得x
∴0
故a的最大值为4；
(3)12
【解析】
【分析】(1)解不等式得2⩽x<3，再根据“互联”的定义即可；
(2)根据题意得0
(2)见答案；
(3)解：若不等式x+1>2b和x+2b⩽3是“互联”的，
则满足2b-1
∴12
25.【答案】(1)证明：补全图形如图所示，作PQ//AC，
∵将线段AC 沿AB 平移得到线段BD ，
∴BD//AC,BD=AC，
∴PQ//BD，
∴∠PCA=∠CPQ,∠PDB=∠DPQ，
∴∠CPD=∠CPQ+∠DPQ=∠PCA+∠PDB，
即∠CPD=∠PCA+∠PDB
(2)①点M 在直线CD的上方时，2∠BDM+∠BDP=360∘；
点M 在直线CD的下方时，2∠BDM-∠BDP=120∘；
②α-90∘．
【解析】
【分析】(1)作PQ//AC，根据平行线的性质证明即可；
(2)①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点P 到直线l的最大距离就是线段CD的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】(1)见答案；
(2)解：①分两种情况：
点M 在直线CD的上方时，如图所示：
由平移的性质得：AC//BD,CD//AB，
∴∠CDB=180∘-∠B=∠CAB=120∘，
∵∠MDC=12∠CDP，
∴∠MDC=∠BDM-∠BDC=∠BDM-120∘，
∴∠BDP=∠BDC-∠CDP=120∘-2∠MDC=120∘-2(∠BDM-120∘)，
整理，得2∠BDM+∠BDP=360∘；
点M 在直线CD的下方时，如图所示：
∠MDC=∠BDC-∠BDM=120∘-∠BDM，
∴∠BDP=∠BDC-∠CDP=120∘-2∠MDC=120∘-2(120∘-∠BDM)，
整理，得2∠BDM-∠BDP=120∘；
②作DE⊥l，如图所示：
∵l//PD，
∴点P 到直线l的距离就是线段DE 的长，
∵DE⩽CD，
∴点P 到直线l的最大距离就是线段CD的长，此时DP⊥CD，作PG⊥l于点G ，如图所示：
由平移的性质得：AC//BD,CD//AB，
∴∠CDB=180∘-∠B=∠CAB=α，
∵DP⊥CD，
∴∠CDP=90∘，
∴∠BDP=∠CDB-∠CDP=α-90∘
故答案为：α-90∘．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
26.【答案】(1)C、D、F；
(2)解：①∵P(x,y)为第一象限中的整点，点A(2,2)，点B(4,4)，
∴当1⩽x⩽2，1⩽y⩽2时，
|1|⩽|x|⩽|2|，|1|⩽|y|⩽|2|，
∴P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”，
当2⩽x⩽4，2⩽y⩽4时，
|2|⩽|x|⩽|4|，|2|⩽|y|⩽|4|，
∴P4(2,3)，P5(2,4)，P6(3,2)，P7(3,3)，P8(3,4)，P9(4,2)，P10(4,3)，均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”，
∴P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1) ，P4(2,3)，P5(2,4)，P6(3,2)，P7(3,3)，P8(3,4)，P9(4,2)，P10(4,3)均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”；
②31．
【解析】
【分析】(1)根据|2|<|4|，|2|<|3|，判定点A(2,2)，C(4,3)，互为“进取点”；根据|2|=|-2|，判定点A(2,2)，D(-2,3)互为“进取点”；根据|2|>|-1|，|2|<|3|，判定点A(2,2)，E(-1,-3)不互为“进取点”；根据|2|>|1|，|2|>|-1|，判定点A(2,2)，F(1,-1)互为“进取点”；
(2)①当1⩽x⩽2，1⩽y⩽2时，有P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，当2⩽x⩽4，2⩽y⩽4时，有P4(2,3)，P5(2,4)，P6(3,2)，P7(3,3)，P8(3,4)，P9(4,2)，P10(4,3)，均与点A(2,2)、点B(4,4)互为“进取点”；
②在第一象限内，根据任意两个整点都互为“进取点”，把点0,0按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到4,4，第一象限内得到7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，加上x轴上3个点，n 的最大值为31．
【详解】(1)解：∵A(2,2)，C(4,3)，
∴|2|<|4|，|2|<|3|，
∴点A与点C互为“进取点”；
∵A(2,2)，D(-2,3)，
∴|2|=|-2|，
∴点A与点D互为“进取点”；
∵A(2,2)，E(-1,-3)，
∴|2|>|-1|，|2|<|3|，
∴点A与点E不互为“进取点”；
∵A(2,2)，F(1,-1)，
∴|2|>|1|，|2|>|-1|，
∴点A与点F互为“进取点”；
故答案为：C、D、F；
(2)解：①见答案；
②∵|x|⩽4，|y|⩽4，
∴0⩽|x1|⩽4，0⩽|y1|⩽4，0⩽|x2|⩽4，0⩽|y2|⩽4，
∵当|x1|<|x2|时，有|y1|⩽|y2|，则点x1,y1和点x2,y2互为“进取点”，
∴0⩽|x1|⩽3，1⩽|x2|⩽4，0⩽|y1|⩽4，0⩽|y2|⩽4，
当x⩾0，y⩾0时，x1取值0，1，2，3，x2取值1，2，3，4，y1、y2取值0，1，2，3，4，
∵任意两个整点都互为“进取点”，
∴把点0,0按向右再向上的顺序循环平移，每次平移一个单位长度直到4,4，(方法不唯一)
∴第一象限内共7个点，根据对称性其他三个象限内每个象限也都有7个点，x轴上共3个点，如图，
∴n的最大值为n=3+7×4=31．
【点睛】本题主要考查了新定义“进取点”，点的平移，解决问题的关键是熟练掌握规定“进取点”的意义，点的平移坐标右加左减，上加下减的规则．
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