福建省龙岩市龙岩市一级校高一下学期4月期中联考数学试题（原卷版）-A4

这是一份福建省龙岩市龙岩市一级校高一下学期4月期中联考数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
3. 如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若m，n是异面直线，，，，，则
5. 已知向量，满足，，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为BC的中点，DE与CO相交于点F，M为DF的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ）
A. 14B. 15C. 16D.
8. 在四边形ABCD中，，，，若P为三条边上的一个动点，且，则以下说法正确的是（ ）
①满足的点P有且只有1个
②满足的点P恰有2个
③能使取最大值的点P恰有2个
④能使取最大值的点P有无数个
A ①②B. ①③C. ②③D. ②④
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. 复数的虚部为B.
C. 复数是方程解D.
10. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A. B. 外接圆的面积为
C. 面积最大值为D. 周长的最大值为
11. 如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（ ）
A. 长方体外接球的表面积为
B. 过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为
C. 在棱上存在相应的点G，使得平面
D. 若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量满足，的夹角为，则______.
13. 如图，为测量高度CD，选取与C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得，，千米，在点B处测得D的仰角为，则CD的高为______千米.
14. 在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
（1）求a的值；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
16. 已知平面向量，.
（1）当实数为何值时，与垂直？
（2）若与所成的角为锐角，求实数的取值范围.
17. 在中，D是BC边上的点且，.
（1）求的值；
（2）若，，求面积.
18. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题.
（1）求证：平面平面ABC.
（2）求四面体ACMN的体积.
（3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
19. 古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
（1）若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
（2）若，且为正三角形，求面积的最大值；
（3）已知，且，，求的最大值