福建省龙岩市2024_2025学年高一数学下学期4月期中联考试题

这是一份福建省龙岩市2024_2025学年高一数学下学期4月期中联考试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A.B.C.D.
2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（ ）
A.1B.C.2D.
3.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（ ）
A.B.C.D.
4.已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若m，n是异面直线，，，，，则
5.已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
6.已知在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为BC的中点，DE与CO相交于点F，M为DF的中点，若，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（ ）
A.14B.15C.16D.
8.在四边形ABCD中，，，，若P为三条边上的一个动点，且，则以下说法正确的是（ ）
①满足的点P有且只有1个
②满足的点P恰有2个
③能使取最大值的点P恰有2个
④能使取最大值的点P有无数个
A.①②B.①③C.②③D.②④
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则（ ）
A.复数z的虚部为B.
C.复数z是方程的解D.
10.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A.B.外接圆的面积为
C.面积的最大值为D.周长的最大值为
11.如图，在长方体中，，，，E是棱CD上的一个动点，下列命题正确的是（ ）
A.长方体外接球的表面积为
B.过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为
C.在棱上存在相应的点G，使得平面
D.若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则DF的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知向量，满足，，向量，的夹角为60°，则______.
13.如图，为测量高度CD，选取与C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得，，千米，在点B处测得D的仰角为60°，则CD的高为______千米.
14.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
（1）求a的值；
（2）在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
16.（本题满分15分）
已知平面向量，.
（1）当实数m为何值时，与垂直？
（2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围.
17.（本题满分15分）
在中，D是BC边上的点且，.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18.（本题满分17分）
如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题.
图1 图2
（1）求证：平面平面ABC.
（2）求四面体ACMN的体积.
（3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
19.（本题满分17分）
古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线.
（1）若BD为凸四边形ABCD的外接圆直径，，，，求BD与AC的长度；
（2）若，且为正三角形，求面积的最大值；
（3）已知x，y，z，，且，，求的最大值
高一数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14..
8.解：如图，得.
当P在边BC上时，设，，
，
又，，，
，.
当P在边AB上时，，，.
当P在边AC上时，设，，
，
，，，，.
①当时，，此时点P就是点C，或，此时点P在AB上，故①错误；
②当时，有，或点P在AC上，这样的点P有2个，故②正确；
③的最大值为，此时，，这样的点P有且只有1个，故③错误；
④的最大值为3，当P在边BC上时，恒有，这样的点P有无数个，故④正确.
故答案为D.
14.解：由余弦定理可得，则，
由正弦定理可得
.
因为为锐角三角形，则，，所以，
又因为函数在内单调递增，所以，可得，
则
.
由于为锐角三角形，因此即解得，
所以，则.
因为存在最大值，所以，解得.故.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15.解：（1）复数，，，则.
因为是纯虚数，所以解得.
（2）由（1）得，.
由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，，
所以，，因为，
所以，解得或.
16.解：（1）因为，，所以，.
因为与垂直，
所以，解得，
故当实数m的值为4时，满足题意.
（2），
，
因为与所成的角为锐角，所以，
且与不共线，即.解得.
当与共线时，，解得，故.
综上可知.实数k的取值范围为.
17.解：（1）如图，由题意知AD为的角平分线，根据三角形角平分线的性质可知，
因为，
所以，即.
（2）设，在中，因为，，
所以，所以.
在中，，，
所以，
所以.
又，所以，解得.
在中，，，
所以，所以.
18.（1）证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以，
又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，同理得平面ABC，
又平面PMN，平面PMN，，所以平面平面ABC.
（2）解：在图2中，设圆锥的底面圆半径为r，则，解得.
所以在图2中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，所以，所以.
，圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体ACMN的体积为.
图2
（3）解：在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，
理由如下：
如图3，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，
所以，.
取CB的四等分点G，使，连接GE，FG.
因为，所以，，
所以，，所以四边形DFGE是平行四边形，
所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
图3
19.解：（1）如图1，因为BD为外接圆的直径，所以，
已知，所以，.
因为，所以（同弧所对的圆周角相等）.
在中，，，
所以，.
在中，，，
由正弦定理，解得.
图1
（2）如图2，设的边长为a，由托勒密定理，
得，即.
因为A，B，C，D四点共圆，所以，所以，
，
当且仅当时，等号成立，所以.
图2
（3）如图3，构造圆内接四边形ABCD，设，，，，
由，构造，
由共圆得，
由余弦定理得，
由托勒密定理得，即.
，
所以.
因为.
所以，当且仅当时，等号成立，的最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
A
C
D
`B
D
C
D
题号
9
10
11
选项
ACD
BC
ABD