2022-2023学年北京市十一学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市十一学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下面四个图形是“志远意诚，思方行圆”中某个字的小篆体，其中最接近轴对称图形的汉字是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3B．a2＝（c﹣b）（c+b）
C．∠A＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．（2分）如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，BD与CE相交于点O，与∠CAB（不包括∠CAB）一定相等的角有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
4．（2分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
5．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）当a＜0时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
7．（2分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
8．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
9．（2分）如图，从等边三角形内一点P向三边作垂线，垂足分别是Q、R、S，PQ＝3，PR＝4，PS＝5，则△ABC的面积是（ ）
A．48B．C．96D．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，点C为线段OA上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 ．（不与原数相等）
12．（2分）DNA是每一个生物携带自身基因的载体，它是遗传物质脱氧核糖核酸的英文简称，DNA分子的直径只有0.000000736cm，则这个数用科学记数法表示是 ．
13．（2分）已知实数m、n在数轴上的对应点如图所示，化简＝ ．
14．（2分）已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为 ．
15．（2分）如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝36°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，入射光线经过y轴上点A（0，8），由x轴上点C反射，反射光线经过点B（﹣5，4），则AC+BC的值是 ．
17．（2分）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线M的距离为b，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．（结果用含a、b的式子表示）
18．（2分）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P的斜坐标．
（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是 ；
（2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x轴对称，则点N的斜坐标是 ．
三、解答题（第19题12分，第20题6分，第21题12分，第22～24题每题5分，第25～26题每题6分，第27题7分，共64分）。
19．（12分）计算：
①（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；
②（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2；
③﹣（π﹣3.2）0
④．
20．（6分）分解因式
①2a3﹣12a2b+18ab2；
②（x2﹣x）2﹣8x2+8x+12．
21．（12分）（1）若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），求m3﹣2mn+n3的值．
（2）先化简，然后从2，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
（3）已知：，，求．
22．（5分）如图，将长为5米的梯子AB斜靠在与地面垂直的墙上，BC的距离为3米．
（1）若梯子的上端A下滑2m，那么梯子的下端B向左滑了 米．
（2）若梯子的上端A下滑xm，那么梯子的下端B向左滑ym，请用含x的代数式表示y并写出x的取值范围．
23．（5分）通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的．如图1，平行四边形ABCD可以看作是由△ABC绕AC的中点O旋转180°得到△CDA后组成．
小亮把△ABC以边AC所在直线为对称轴翻折得到△ADC，这两个三角形组成四边形ABCD（如图2），这也是一种特殊的四边形——筝形．请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．
（1）首先请你给出筝形的一种定义： ；
（2）通过观察、测量等探究，在边，角，对角线的关系方面写出两条对筝形性质的猜想（定义除外），并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝120°，求筝形ABCD的面积．
24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，D是AC上一点，CE⊥BD交BD延长线于点E，且CE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
25．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k之称心点”．例如：P（1，4）的“2之称心点”为，即P′（3，6）．
（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2之称心点”P′的坐标为 ；
②若点P的“k之称心点”P′的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标 ；
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为 ；
（3）在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值．
26．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，点D为AC上的一点，AD＝AB，点E为BA延长线上一点且AE＝AC，连接ED并延长交BC于点F，连结AF．
（1）求证：∠FCA＝∠AEF；
（2）作A点关于BC的对称点M，分别连接AM，FM．
①依题意补全图形；
②用等式表示EF，CF，AM之间的数量关系并证明．
27．（7分）给出如下定义：如图1，已知∠RST＝90°，∠PMQ＝45°，直线l垂直平分线段MS，若∠PMQ关于直线l的轴对称图形G完全落在∠RST内部（G的两边不与∠RST的边重合），则称∠PMQ是∠RST的内含对称半角．
在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，4），B（4，4），C（4，0），M（m，0）为x轴负半轴上一点，射线MP绕点M逆时针旋转45°到达MQ的位置，形成∠PMQ．
（1）如图2，直线l垂直平分线段OM，∠P1MQ1＝∠P2MQ2＝∠P3MQ3＝45°，其中 是∠AOC的内含对称半角．
（2）若∠PMQ是∠OCB的内含对称半角，请在图3中画出符合题意的一个∠PMQ．
（3）如图4，若直线l经过原点，设∠PMO＝α，当α为何值时∠PMQ是∠ABC的内含对称半角？请直接写出α的范围： ；
（4）当m为何值时，∠OAB的内含对称半角（M点除外）位于x轴下方？请直接写出m的范围： ．
2022-2023学年北京市十一学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题2分，共20分）
1．（2分）下面四个图形是“志远意诚，思方行圆”中某个字的小篆体，其中最接近轴对称图形的汉字是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的汉字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝3B．a2＝（c﹣b）（c+b）
C．∠A＝∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵a+b＝1+2＝3＝c，
∴不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2＝（c﹣b）（c+b），
∴a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵∠A＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
3．（2分）如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，BD与CE相交于点O，与∠CAB（不包括∠CAB）一定相等的角有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据全等三角形的证明方法易证△EAC≌△DAB，由全等三角形的性质可得：∠EAC＝∠DAB，进而可得：∠CAB＝∠EAD，再根据三角形内角和定理即可证明：∠CAB＝∠BOC，进而证明结论．
【解答】解：在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SSS），
∴∠EAC＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠EAD，
∵∠B＝∠C，∠CFO＝∠BFA，
∴∠COF＝∠BAC，
∴∠CAB＝∠EAD＝∠BOC＝∠DOE．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
4．（2分）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm
【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．
【解答】解：根据题意可得图形：AB＝12cm，BC＝9cm，
在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），
所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．
则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm～6cm之间．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
5．（2分）如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，
∴它们的边长分别为＝4cm，＝2cm，
∴AB＝4cm，BC＝（2+4）cm，
∴空白部分的面积＝（2+4）×4﹣12﹣16
＝8+16﹣12﹣16
＝（﹣12+8）cm2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
6．（2分）当a＜0时，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知≥0，得出b＜0，a＜0，＝﹣a，＝﹣，代入求出即可．
【解答】解：根据a＜0，
∴＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了分母有理化和二次根式的性质等知识点，注意：a＜0时，＝﹣a，根据二次根式的意义求出b＜0，＝﹣，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
7．（2分）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论．
【解答】解：∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故A不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故B不符合题意；
∵﹣＝＝，•＝，
∴•＝（﹣），故C符合题意；
﹣＝＝，•＝，
∴和不是和谐分式，故D不符合题意．
故选C．
【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键．
8．（2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）种．
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD＝CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；
∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
9．（2分）如图，从等边三角形内一点P向三边作垂线，垂足分别是Q、R、S，PQ＝3，PR＝4，PS＝5，则△ABC的面积是（ ）
A．48B．C．96D．
【分析】先连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，根据S△ABC＝BC•（PQ+PR+PS）＝BC•AD得出PQ+PS+PR＝AD，由直角三角形的性质可得出BC的值，进而可得出△ABC的面积．
【解答】解：连接AP、BP、CP，过点A作AD⊥BC于D，
∵S△ABC＝BC•（PQ+PR+PS）＝BC•AD，
∴PQ+PR+PS＝AD，
∴AD＝3+4+5＝12，
∵∠ABC＝60°，
∴AB＝12×＝8，
∴S△ABC＝BC•AD＝×12×8＝48．
故选：B．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，得出PQ+PR+PS＝AD是解答此题的关键．
10．（2分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，点C为线段OA上的一个动点，则PA+PC的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【分析】如图作点A关于直线OB的对称点A′，作A′C，AC′，A'C⊥x轴交OB于P，连接PA'，此时PA+PC的值最小，最小值为线段A'C的长．
【解答】解：作点A关于直线OB的对称点A′，作A′C，AC′，A'C⊥x轴交OB于P，连接PA'，则PA＝PA'，
∴PA+PC＝PA'+PC≥A'C，
即PA+PC的值最小，最小值为线段A'C的长．
∵B的坐标为，
∴OA＝2，AB＝2，
∴OB＝4，
∴∠AOB＝30°，
∴∠OBC＝60°，
∴∠A'＝∠A'AB＝30°，
由对称可知，AP＝A'P，
∴∠PAA'＝∠A'＝30°，
∴∠PBA＝60°，∠PAC＝30°，
∴A'P＝AP＝AB＝2，
∴PC＝＝1，
∴A'C＝PC+A'P＝1+2＝3．
即PA+PC的值最小值为3．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式 （答案不唯一） ．（不与原数相等）
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【解答】解：＝，
所以与是同类二次根式的最简二次根式有（答案不唯一），
故答案为：有（答案不唯一）．
【点评】本题考查同类二次根式，最简二次根式，理解同类二次根式，最简二次根式的定义是正确解答的前提．
12．（2分）DNA是每一个生物携带自身基因的载体，它是遗传物质脱氧核糖核酸的英文简称，DNA分子的直径只有0.000000736cm，则这个数用科学记数法表示是 7.36×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000736＝7.36×10﹣7．
故答案为：7.36×10﹣7．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（2分）已知实数m、n在数轴上的对应点如图所示，化简＝ m ．
【分析】先根据数轴的性质判断出m，n的正负性，再根据二次根式和绝对值的性质进行化简即可求解．
【解答】解：由题意可得：
m＜0，m＜n，|m|＞|n|，
∴m﹣n＜0，m+n＜0，
∴
＝|m|﹣|m﹣n|﹣|m+n|
＝﹣m+（m﹣n）+（m+n）
＝﹣m+m﹣n+m+n
＝m，
故答案为：m．
【点评】本题主要考查了数轴，二次根式和绝对值，理解题意掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．
14．（2分）已知m＝2+，n＝2﹣，则的值为 ．
【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【解答】解：∵m＝2+，n＝2﹣，
∴m+n＝（2+）+（2﹣）＝4，mn＝（2+）×＝1，
∴
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键．
15．（2分）如图，点D在∠AOB的平分线OC上，P为OB上的一点，∠DPO＝36°，点Q是射线OA上的一点，并且满足DP＝DQ，则∠DQO的度数为 36°或144° ．
【分析】由“HL”可证Rt△DPN≌Rt△DQH，由全等三角形的性质可求解．
【解答】解；如图，过点D作DH⊥OA于H，DN⊥OB于N，
∵OD平分∠AOB，DH⊥OA，DN⊥OB，
∴DH＝DN，
当点Q在点H的右侧时，
在Rt△DPN和Rt△DQH中，
，
∴Rt△DPN≌Rt△DQH（HL），
∴∠DPO＝∠DQO＝36°，
当点Q'在点H左侧时，同理可求∠DQ'H＝36°，
∴∠DQ'O＝144°，
综上所述：∠DQO的度数为36°或144°，
故答案为：36°或144°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系中，入射光线经过y轴上点A（0，8），由x轴上点C反射，反射光线经过点B（﹣5，4），则AC+BC的值是 13 ．
【分析】B点关于x轴的对称点为（﹣5，﹣4），用待定系数法求出直线AC的解析式，即可求出C点坐标，再求AC+BC即可．
【解答】解：B点关于x轴的对称点为（﹣5，﹣4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+8，
∴C（﹣，0），
∴AC+BC＝+＝+＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握用待定系数法求一次函数的解析式，反射光线的原理是解题的关键．
17．（2分）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线M的距离为b，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 x＝b或x≥a ．（结果用含a、b的式子表示）
【分析】根据题意和全等三角形的判定方法，可以写出当x为何值时，△ABC是唯一确定的．
【解答】解：∵△ABC的形状、大小是唯一确定的，点B到AM的距离为b，
∴x＝b时，△ABC是唯一确定的，
当b＜x＜a时，△ABC不是唯一确定的，
当x≥a是，△ABC是唯一确定的，
故答案为：x＝b或x≥a
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
18．（2分）如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P的斜坐标．
（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是 （﹣x，﹣y） ；
（2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x轴对称，则点N的斜坐标是 （6，﹣4） ．
【分析】（1）根据点关于原点对称的特点直接求解即可；
（2）作P点关于x轴的对称点N，连接PN交x轴于点F，作NC∥x轴交y轴于C点，作ND∥y轴交x轴于D点，证明△PAF≌△NDF（AAS），求出OD、ND的长即可求N点坐标．
【解答】解：（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）；
（2）作P点关于x轴的对称点N，连接PN交x轴于点F，作NC∥x轴交y轴于C点，作ND∥y轴交x轴于D点，
∵PA∥BC∥ND，
∴∠PAF＝∠θ＝∠FDN＝60°，
∵PF＝FN，∠PFA＝∠DFN＝90°，
∴△PAF≌△NDF（AAS），
∴PA＝DN，AF＝FD，
∵点P的斜坐标为（2，4），
∴OA＝BP＝2，PA＝BO＝4，
∴DN＝4，
∵∠PAF＝60°，
∴AF＝DF＝4•cs60°＝2，
∴AD＝4，
∴OD＝2+4＝6，
∴N（6，﹣4），
故答案为：（6，﹣4）．
【点评】本题考查坐标与图形变化，弄清定义，根据定义，结合三角形全等的判定及性质，求出OD、ND的长是解题的关键．
三、解答题（第19题12分，第20题6分，第21题12分，第22～24题每题5分，第25～26题每题6分，第27题7分，共64分）。
19．（12分）计算：
①（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；
②（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2；
③﹣（π﹣3.2）0
④．
【分析】①利用平方差公式计算即可；
②利用完全平方公式计算即可；
③先利用二次根式的性质、负整数指数幂、绝对值及零指数幂的意义化简，再进行加减运算即可；
④先利用平方差公式与完全平方公式计算，再进行加减运算即可．
【解答】解：①（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2
＝（x+y+z+x+y﹣z）（x+y+z﹣x﹣y+z）
＝2（x+y）•2z
＝4xz+4yz；
②（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2
＝[（a+2b）﹣（a﹣2b）]2
＝（a+2b﹣a+2b）2
＝（4b）2
＝16b2；
③﹣（π﹣3.2）0
＝3+（﹣1）+（2﹣3）﹣1
＝3+﹣1+2﹣3﹣1
＝6﹣5；
④
＝49﹣48﹣（5﹣2+1）
＝1﹣5+2﹣1
＝2﹣5．
【点评】本题考查了整式的混合运算，二次根式的混合运算，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键．
20．（6分）分解因式
①2a3﹣12a2b+18ab2；
②（x2﹣x）2﹣8x2+8x+12．
【分析】①先提公因式2a，再利用完全平方公式即可进行因式分解；
②连续利用十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：①原式＝2a（a2﹣6ab+9b2）
＝2a（a﹣3b）2；
②原式＝（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+12
＝（x2﹣x﹣2）（x2﹣x﹣6）
＝（x﹣2）（x+1）（x﹣3）（x+2）．
【点评】本题考查提公因式法、公式法以及十字相乘法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征以及十字相乘法是正确解答的前提．
21．（12分）（1）若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），求m3﹣2mn+n3的值．
（2）先化简，然后从2，1，﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．
（3）已知：，，求．
【分析】（1）将已知两式相减，结合平方差公式以及已知条件求出m+n＝﹣1，再将m3与n3进行降次，把所求式子进行因式分解，进而得出答案；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得答案；
（3）先将a、b进行分母有理化，得出a＝5+2，b＝5﹣2，再求出ab＝1，a2+b2＝98，然后将通分为，最后代入计算即可．
【解答】解：（1）∵m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），
∴m2﹣n2＝（n+2）﹣（m﹣2）＝n﹣m，
又∵m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），
∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，
∵m≠n，
∴m+n＝﹣1，
m3﹣2mn+n3
＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2）
＝mn+2m﹣2mn+mn+2n
＝2（m+n）
＝2×（﹣1）
＝﹣2；
（2）
＝•
＝
＝，
原式有意义时，x≠±1，0，
∴x＝2，
∴原式＝＝2；
（3）∵＝（+）2＝5+2，＝（﹣）2＝5﹣2，
∴a+b＝（5+2）+（5﹣2）＝10，ab＝（5+2）（5﹣2）＝25﹣24＝1，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝102﹣2×1＝98，
∴＝＝＝98．
【点评】本题考查了因式分解的应用，分式的化简求值，二次根式的化简求值，（1）的关键是求出m+n＝﹣1；（2）与（3）的关键是掌握混合运算顺序和运算法则．
22．（5分）如图，将长为5米的梯子AB斜靠在与地面垂直的墙上，BC的距离为3米．
（1）若梯子的上端A下滑2m，那么梯子的下端B向左滑了 （﹣3） 米．
（2）若梯子的上端A下滑xm，那么梯子的下端B向左滑ym，请用含x的代数式表示y并写出x的取值范围．
【分析】（1）首先利用勾股定理求出AC的长，再根据梯子的上端A下滑2m后，求出B'C的长，从而得出答案；
（2）由勾股定理得42+32＝（4﹣x）2+（3+y）2，再进行化简变形即可．
【解答】解：由题意得AB＝A′B′＝5米，BC＝3米，AA′＝2米，A′C＝AC﹣AA′，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴AC＝＝4（米）．
（1）在Rt△A′B′C中，A′C＝2米，A′B′2＝A′C2+B′C2，
∴B′C＝＝（米），
∴BB′＝B′C﹣BC＝（﹣3）米，
故答案为：（﹣3）；
（2）由题意得，AC2+BC2＝A′C2+B′C2＝AB2，
∴42+32＝（4﹣x）2+（3+y）2，
∴y＝﹣3（0＜x≤4）．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．（5分）通过学习特殊的四边形我们知道平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，所以平行四边形可以看成是一个三角形通过图形变换后与原三角形组成的．如图1，平行四边形ABCD可以看作是由△ABC绕AC的中点O旋转180°得到△CDA后组成．
小亮把△ABC以边AC所在直线为对称轴翻折得到△ADC，这两个三角形组成四边形ABCD（如图2），这也是一种特殊的四边形——筝形．请你根据学习平行四边形的经验来研究筝形．
（1）首先请你给出筝形的一种定义： 把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形” ；
（2）通过观察、测量等探究，在边，角，对角线的关系方面写出两条对筝形性质的猜想（定义除外），并选取其中的一条猜想进行证明；
（3）如图3，在筝形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝120°，求筝形ABCD的面积．
【分析】（1）根据折叠的性质得出答案；
（2）先判断出△ABC≌△ADC，即可得出结论；
（3）先求出AH，进而求出△ABC的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）根据折叠的性质得，AB＝AD，BC＝DC，
即把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，
故答案为：把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”；
（2）如图2，①筝形的一条对角线平分一组对角；
②筝形的一组对角相等；
证明：①由折叠知，△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∠B＝∠D；
即筝形的一条对角线平分一组对角；
②由折叠知，△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D；
即筝形的一组对角相等；
（3）连接AC，由折叠得，△ABC≌△ADC，
∴S△ABC＝S△ADC，
过点A作AH⊥BC交CB的延长线于H，
在Rt△AHB中，∠ABH＝180°﹣∠ACB＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝2，
根据勾股定理得，AH＝＝2，
∴S△ABC＝BC•AH＝×8×2＝8，
∴S筝形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝2S△ABC＝16．
答：筝形ABCD的面积为16．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出AH是解（3）的关键．
24．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，D是AC上一点，CE⊥BD交BD延长线于点E，且CE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．
【分析】延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBA＝∠ACF；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得CF＝BD，从而CE＝EF，根据线段垂直平分线的性质，得BC＝BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．
【解答】证明：如图，延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BE，
∴∠BEF＝90°，又∠CAF＝∠ACB＝90°，
∴∠DBA+∠AFC＝∠ACF+∠AFC＝90°，
∴∠DBA＝∠ACF，
在△ACF和△ABD中，
，
∴△ACF≌△ABD（ASA），
∴CF＝BD．
又CE＝BD，
∴CE＝CF＝EF，即点E是CF的中点．
∵BE⊥CF，
∴BE是CF的垂直平分线，
∴BC＝BF，
根据等腰三角形三线合一的性质可知：
BD是∠ABC的角平分线．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是得到△ACF≌△BCD．
25．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k之称心点”．例如：P（1，4）的“2之称心点”为，即P′（3，6）．
（1）①点P（﹣1，﹣2）的“2之称心点”P′的坐标为 （﹣2，﹣6） ；
②若点P的“k之称心点”P′的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标 （1，2） ；
（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k之称心点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则k的值为 ±1 ；
（3）在（2）的条件下，若关于x的分式方程无解，求m的值．
【分析】（1）①根据点P'为点P的“k之称心点”的定义计算；
②根据点P'为点P的“k之称心点”的定义列出算式，求出k、a+b的值，计算即可；
（2）根据x轴的正半轴上点的特征、点P'为点P的“k之称心点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【解答】解：（1）①当a＝﹣1，b＝﹣2，k＝2时，﹣1+＝﹣2，2×（﹣1）+（﹣2）＝﹣4，
∴点P（﹣1，﹣2）的“2之雅礼点”P'的坐标为（﹣2，﹣4），
故答案为：（﹣2，﹣6）；
②∵点P的“k之称心点”P'的坐标为（3，3），
∴a+＝3，ka+b＝3，
解得，k＝1，a+b＝3，
当a＝1时，b＝2，
∴符合条件的点P的坐标可以是（1，2），
故答案为：（1，2）；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b＝0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），
∵点P的“k之称心点”为P'点，
∴点P′的坐标为（a，ka），
∴PP′⊥OP，
∵△OPP′为等腰直角三角形，
∴OP＝PP′，
∴a＝±ka，
∵a＞0，
∴k＝±1．
故答案为：±1；
（3）当k＝1时，去分母整理得：（m+3）x＝4，
∵原方程无解，
∴①m+3＝0，即m＝﹣3，
②x﹣3＝0，即x＝3，则m＝﹣；
当k＝﹣1时，去分母整理得：（m+1）x＝﹣2，
∵原方程无解，
∴①m＝﹣1，
②x＝3，则m＝﹣；
综上所述，m＝﹣3或m＝﹣或m＝﹣1．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点P'为点P的“k之雅礼点”的定义、分式方程的解法是解题的关键．
26．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，点D为AC上的一点，AD＝AB，点E为BA延长线上一点且AE＝AC，连接ED并延长交BC于点F，连结AF．
（1）求证：∠FCA＝∠AEF；
（2）作A点关于BC的对称点M，分别连接AM，FM．
①依题意补全图形；
②用等式表示EF，CF，AM之间的数量关系并证明．
【分析】（1）证明△CAB≌△EAD（SAS），即可证明∠FCA＝∠AEF；
（2）①依题意补全图形即可；
②证明AM∥EF，在EF上截取点N，使NE＝CF，证明△CAF≌△EAN（SAS），得出△FAN和△AFM是腰长相等的两个等腰直角三角形，推出AM＝FN，据此即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝90°，
∴∠CAB＝∠EAD＝90°，
∵AD＝AB，AE＝AC，
∴△CAB≌△EAD（SAS），
∴∠BCA＝∠AED，
即∠FCA＝∠AEF；
（2）解：①依题意补全图形即可；
②EF＝CF+AM，理由如下：
∵∠BCA＝∠AED，∠CDE＝∠EDA，
∴∠CED＝∠ADE＝90°，
即EF⊥BC，
∵点A、点M关于BC对称，
∴AM⊥BC，∠AFB＝∠MFB，AF＝MF，
∴AM∥EF，
在EF上截取点N，使NE＝CF，
∵∠C＝∠E，AE＝AC，
∴△CAF≌△EAN（SAS），
∴AF＝AN，∠AFC＝∠ANE，∠CAF＝∠EAN，
∴∠AFN＝∠ANF＝∠AFB，∠FAN＝∠DAE＝90°，AF＝AN＝FM，
∴∠AFN＝∠ANF＝∠AFB＝∠MFB，
∴∠MFA＝∠BFE＝90°，
∴△FAN和△AFM是腰长相等的两个等腰直角三角形，
∴AM＝FN，
∴EF＝EN+FN＝CF+AM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的关键．
27．（7分）给出如下定义：如图1，已知∠RST＝90°，∠PMQ＝45°，直线l垂直平分线段MS，若∠PMQ关于直线l的轴对称图形G完全落在∠RST内部（G的两边不与∠RST的边重合），则称∠PMQ是∠RST的内含对称半角．
在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，4），B（4，4），C（4，0），M（m，0）为x轴负半轴上一点，射线MP绕点M逆时针旋转45°到达MQ的位置，形成∠PMQ．
（1）如图2，直线l垂直平分线段OM，∠P1MQ1＝∠P2MQ2＝∠P3MQ3＝45°，其中 ∠P2MQ2 是∠AOC的内含对称半角．
（2）若∠PMQ是∠OCB的内含对称半角，请在图3中画出符合题意的一个∠PMQ．
（3）如图4，若直线l经过原点，设∠PMO＝α，当α为何值时∠PMQ是∠ABC的内含对称半角？请直接写出α的范围： 0°＜α＜45° ；
（4）当m为何值时，∠OAB的内含对称半角（M点除外）位于x轴下方？请直接写出m的范围： m≤4 ．
【分析】（1）根据轴对称的特征以及角的两边所在的象限判定即可；
（2）作线段MC的中垂线，即为直线l，然后任意作一个关于l对称后在∠OCB内部的∠PMQ即可；
（3）作正方形OABC关于直线l的对称正方形OA'MC'，由，得出MO在∠PMQ的内部，即可得出结果；
（4）作正方形OABC关于直线l的对称正方形O1MB1C1；由内含对称半角的定义可知∠PMQ在正方形O1MB1C1内部，故使正方形O1MB1C1在x轴下方即可满足题意，然后通过临界值求解即可；
【解答】解：（1）∠P3MQ3的边MP3关于直线l的对称的射线不在第一象限内，不符合题意；∠P1MQ1关于直线l的对称的图形在x轴下方，不符合题意；∠P2MQ2关于直线l的对称的图形在∠AOC的内部；符合题意；
故答案为：∠P2MQ2；
（2）作图如下，∠PMQ即为所求；
（3）如图3中，作正方形OABC关于直线l的对称正方形QA'MC'；
由题意可得：∠PMQ在∠A'MC'内部，，
∵MO为正方形OA'MC'的对角线，
∴∠A'MO＝∠C'MO＝45°＝∠PMQ，
∴MO在∠PMQ的内部，
∴0°＜∠PMO＜45°，
故答案为：0°＜α＜45°；
（4）如图5中，作正方形OABC关于直线l的对称正方形O1MB1C1；
由内含对称半角的定义可知∠PMQ在正方形OMB1C1内部；
故当正方形O1MB1C1在x轴下方时，则可使∠OAB的内含对称半角位于x轴下方；
其临界情况如图6中：
此时，O与O1重合；
由对称的性质可知：OM＝OA＝4，
∴此时m＝4；
当点M向左移动时，若连接BB1，由轴对称的性质得到BB1∥AM，且直线BB1在直线AM下方，故点B1在x轴下方；此时正方形O1MB1C1在x轴下方，满足题意；
故答案为：m≤4．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了作轴对称图形、轴对称图形的性质、正方形的性质等知识点；熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．