2022-2023学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了填空题，解答题，选做题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．lnm＝0.000000001m．将0.000000001用科学记数法表示应为（ ）
A．1×10﹣8B．1×10﹣9C．10×10﹣10D．0.1×10﹣8
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a＝a2B．（a3）2＝a5
C．（ab）5＝a5b5D．（﹣3a）3＝﹣9a3
4．（2分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，5，5B．5，5，10C．5，6，12D．3，4，7
5．（2分）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（ ）
A．135B．120C．112.5D．112
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3αB．∠DEF＝2α
C．∠DEF＝2α﹣xD．∠DEF＝180°﹣3α
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）计算：
（1）3﹣2＝ ；
（2）（﹣6）0＝ ．
10．（2分）若分式有意义，则字母x满足的条件是 ．
11．（2分）分解因式：3m3﹣12m＝ ．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为 ．
13．（2分）如图，在四边形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4．
（1）画出△ABC的高CE；
（2）△ABC的面积等于 ．
14．（2分）小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了如表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间t1比t2约少0.09h，那么可列出关于v的方程为 ．
15．（2分）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式： （用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
16．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，MC＝BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF＝AE，连接MF，BF，CE．
（1）图中与MF相等的线段是 ；
（2）当BF+CE取最小值时∠AFB＝ °．
三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19-21题，每题8分，第22题9分，第23题10分，第24题9分）
17．（9分）计算：
（1）4x•（﹣2x2y）；
（2）（3x﹣1）（x+2）；
（3）（16a2bc﹣12a3）÷4a2．
18．（7分）已知a＝﹣，求代数式的值．
19．（8分）解方程：．
20．（8分）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，AB＝DC．求证：BE＝CE．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．点B与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为点D，E．
（1）求点A到BC的距离；
（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC＝90°，直接写出点P的坐标．
22．（9分）（1）设计作平行线的尺规作图方案：
已知：直线AB及直线AB外一点P．
求作：经过点P的直线CD，使得CD∥AB．
分析：如图2所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．
①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
②在①中用到的判定CD∥AB的依据是 ．
（2）已知：如图4，在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD．
求作：凸四边形ABCD，使得BC＝AB，且△ACD为等腰三角形．
请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC＝ °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明BE＝DE；
②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量关系并加以证明．
24．（9分）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
四、选做题（共10分，每题5分）
25．（5分）阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
；①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
；②
；③
；④
…
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ；
（2）第n个等式是 ；
（3）请你证明第n个等式成立．
26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
（1）当P1（﹣1.5，0）时．
①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为 ；
②如果点M（x，y）是点P1的k倍关联点，且满足x＝﹣1.5，﹣3≤y≤5，那么整数k的最大值为 ；
（2）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，A（b，0），B（b+1，0）．若P2（﹣1，0），且在△ABC的边上存在点P2的2倍关联点Q，求b的取值范围．
2022-2023学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．lnm＝0.000000001m．将0.000000001用科学记数法表示应为（ ）
A．1×10﹣8B．1×10﹣9C．10×10﹣10D．0.1×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000001＝1×10﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a＝a2B．（a3）2＝a5
C．（ab）5＝a5b5D．（﹣3a）3＝﹣9a3
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a＝a3，故A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；
C、（ab）5＝a5b5，故C符合题意；
D、（﹣3a）3＝﹣27a3，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．（2分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，5，5B．5，5，10C．5，6，12D．3，4，7
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边的和一定大于第三边，即两个短边的和大于最长的边，即可进行判断．
【解答】解：A、5+5＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；
B、5+5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；
C、5+6＜12，故不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、3+4＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三角形三边关系定理是解题的关键．
5．（2分）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：
①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；
②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；
③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AE，AC＝AC，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；故①正确；
如图，作AC的垂直平分线交AC于O，连接OD，OE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∵AE＝CD．AC＝CA，
∴△ACD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECA，
∵AO＝OC，
∴△AOD≌△COE（SAS），
∴OD＝OE，
∴点A与点C，点D与点E关于线段AC的垂直平分线对称，
∴△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；故②正确；
把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，得不到到△ABC，故③错误；
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A．＝，故本选项不符合题意；
B．＝3c，而≠3c，故本选项不符合题意；
C．＝＝，故本选项不符合题意；
D．＝＝，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
7．（2分）图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（ ）
A．135B．120C．112.5D．112
【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），由此即可计算．
【解答】解：根据题意得：x+x+9+126+120+2x﹣120+135＝（6﹣2）×180，
∴x＝112.5，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形的内角和定理．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B的度数为α．点P在边BC上（点P不与点B点C重合），作PD⊥AB于点D，连接PA，取PA上一点E，使得在连接ED，CE并延长CE交AB于点F之后，有EC＝ED＝EA＝EP．若记∠APC的度数为x，则下列关于∠DEF的表达式正确的是（ ）
A．∠DEF＝2x﹣3αB．∠DEF＝2α
C．∠DEF＝2α﹣xD．∠DEF＝180°﹣3α
【分析】由等腰三角形的性质求出∠CEP，由三角形外角的性质可求∠PAB，∠DEP，由平角定义即可求出∠DEF．
【解答】解：∵EC＝EP，
∴∠ECP＝∠EPC＝x，
∴∠CEP＝180°﹣2x，
∵∠APC＝∠B+∠PAB，
∴∠PAB＝∠APC﹣∠B，
∴∠PAB＝x﹣α，
∵ED＝EA，
∴∠EAD＝∠EDA＝x﹣α，
∴∠DEP＝∠EAD+∠EDA＝2x﹣2α，
∵∠DEF＝180°﹣∠CEP﹣∠DEP，
∴∠DEF＝180°﹣（180°﹣2x）﹣（2x﹣2α）＝2α．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）计算：
（1）3﹣2＝ ；
（2）（﹣6）0＝ 1 ．
【分析】（1）直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案；
（2）直接利用零指数幂的性质计算得出答案．
【解答】解：（1）3﹣2＝；
（2）（﹣6）0＝1．
故答案为：（1）；（2）1．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
10．（2分）若分式有意义，则字母x满足的条件是 x≠5 ．
【分析】根据分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不等于零是解题的关键．
11．（2分）分解因式：3m3﹣12m＝ 3m（m﹣2）（m+2） ．
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【解答】解：3m3﹣12m
＝3m（m2﹣4）
＝3m（m﹣2）（m+2）．
故答案为：3m（m﹣2）（m+2）．
【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为 （﹣4，3） ．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【解答】解：A（﹣4，﹣3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
13．（2分）如图，在四边形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4．
（1）画出△ABC的高CE；
（2）△ABC的面积等于 2 ．
【分析】（1）过点C作BA延长线的垂线，即可画出△ABC的高CE；
（2）根据含30度角的直角三角形可得CD＝BC＝2，结合（1）利用角平分线的性质，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，CE即为所求；
（2）∵∠ABD＝60°，BC平分∠ABD，
∴∠EBC＝∠DBC＝30°，
∵∠D＝90°，BC＝4．
∴CD＝BC＝2，
∵BC平分∠ABD，CE⊥AB，CD⊥BD，
∴CE＝CD＝2，
∵AB＝3，
∴△ABC的面积＝AB•CE＝3×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和勾股定理．
14．（2分）小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了如表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间t1比t2约少0.09h，那么可列出关于v的方程为 ﹣＝0.09 ．
【分析】根据t1比t2约少0.09h，列出方程即可．
【解答】解：∵t1比t2约少0.09h，
∴﹣＝0.09，
故答案为：﹣＝0.09．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，掌握路程，速度，时间之间的关系．
15．（2分）三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式： ad+be+cf＝a（d﹣e）+（a+b）（e﹣f）+f（a+b+c） （用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．
【分析】分别用代数式表示图1、图2中的面积即可求解．
【解答】解：图1的面积为：ad+be+cf；
图2的面积为：a（d﹣e）+（a+b）（e﹣f）+f（a+b+c）；
故根据图2与图1的关系写出一个等式为：ad+be+cf＝a（d﹣e）+（a+b）（e﹣f）+f（a+b+c）．
故答案为：ad+be+cf＝a（d﹣e）+（a+b）（e﹣f）+f（a+b+c）．
【点评】本题考查列代数式，用代数式表示图1和图2中的面积是得出答案的前提．
16．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，MC＝BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF＝AE，连接MF，BF，CE．
（1）图中与MF相等的线段是 CE ；
（2）当BF+CE取最小值时∠AFB＝ 95 °．
【分析】（1）先证明三角形全等，再由性质求解；
（2）利用（1）的结论，转换为两点之间线段最短问题，再利用三角形是内角和求解．
【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，
∴AC＝MC，
∵AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，
∴AD∥CM，∠MCB＝90°，
∴∠MCA＝∠CAD＝40°，
∵CF＝AE，
∴△CMF≌△ACE（SAS），
∴MF＝CE，
故答案为：CE；
（2）∵MF＝CE，
∴BF+CE＝BF+MF，
∴当MF和BF共线时，和最小，如下图，此时MB与AC交于点F′，
∵MC＝BC，∠BCM＝90°，
∴∠CMB＝45°，
∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，
故答案为：95．
【点评】本题考查了最短路径问题，线段的转化是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17题9分，第18题7分，第19-21题，每题8分，第22题9分，第23题10分，第24题9分）
17．（9分）计算：
（1）4x•（﹣2x2y）；
（2）（3x﹣1）（x+2）；
（3）（16a2bc﹣12a3）÷4a2．
【分析】（1）直接利用单项式乘单项式运算法则求出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式运算法则求出答案；
（3）直接利用多项式除以单项式运算法则求出答案．
【解答】解：（1）4x•（﹣2x2y）
＝﹣8x3y；
（2）（3x﹣1）（x+2）
＝3x2+6x﹣x﹣2
＝3x2+5x﹣2；
（3）（16a2bc﹣12a3）÷4a2
＝4bc﹣3a．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则结合运算符号求出是解题关键．
18．（7分）已知a＝﹣，求代数式的值．
【分析】先根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝•
＝•
＝a（a+1）
＝a2+a，
当a＝﹣时，原式＝（﹣）2+（﹣）＝﹣＝﹣，
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
19．（8分）解方程：．
【分析】方程两边同时乘以x（x﹣1），把分式方程转化为整式方程解答．
【解答】解：．，
方程两边同时乘以x（x﹣1），得
2（x﹣1）+x（x﹣1）＝x2，
∴x＝2，
经检验x＝2是原分式方程的解；
∴方程的解为x＝2．
【点评】本题考查解分式方程，掌握分式方程的求解方法，验根是关键．
20．（8分）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，AB＝DC．求证：BE＝CE．
【分析】由AB⊥AC，BD⊥CD，得∠A＝∠D＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABE≌△DCE，则BE＝CE．
【解答】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，
∴∠A＝∠D＝90°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴BE＝CE．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABE≌△DCE是解题的关键．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC，A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．点B与点C关于直线l对称，直线l与BC，AC的交点分别为点D，E．
（1）求点A到BC的距离；
（2）连接BE，补全图形并求△ABE的面积；
（3）若位于x轴上方的点P在直线l上，∠BPC＝90°，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1），即可求点A到BC的距离；
（2）根据题意即可补全图形，进而求△ABE的面积即可；
（3）根据题意可得点P与点E重合，此时∠BPC＝90°，进而可以写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，6），B（﹣5，1），C（3，1）．
∴点A到BC的距离为5；
（2）如图即为补全的图形，
∵△ABE的面积＝△ABC的面积﹣△BEC的面积＝8×5﹣8×4＝4；
（3）由（2）可知：位于x轴上方的点P与点E重合，
因为DE＝DC＝DB＝4，
所以△BDE和△CDE是等腰直角三角形，
所以此时∠BEC＝∠BPC＝90°，
所以点P的坐标为（﹣1，5）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形面积，坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
22．（9分）（1）设计作平行线的尺规作图方案：
已知：直线AB及直线AB外一点P．
求作：经过点P的直线CD，使得CD∥AB．
分析：如图2所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．
①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；
②在①中用到的判定CD∥AB的依据是 同位角相等，两直线平行 ．
（2）已知：如图4，在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD．
求作：凸四边形ABCD，使得BC＝AB，且△ACD为等腰三角形．
请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．
【分析】（1）①根据要求作出图形；
②利用平行线的判定方法解决问题即可；
（2）根据要求作出图形即可．
【解答】解：（1）①直线CD即为所求．
②CD∥AB的依据是：同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（2）如图，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC＝ 36 °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想△ABE≌△DAC．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明BE＝DE；
②延长AD到F，使DF＝AE，连结BF，CF．补全图形，猜想∠BFE与∠AFC的数量关系并加以证明．
【分析】（1）①增加∠ABC＝36°，证明△ABC≌△ABE（ASA），即可的结论成立；
②小明证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的夹边”的关系，所以不能使用“ASA”来证明，进而可以解决问题；
（2）①根据等腰三角形的性质和外角定义即可解决问题；
②根据题意即可补全图形；过点B作BG⊥EF于点G，如图4，证明△ABE≌△CAF（SAS），可得∠E＝∠AFC，然后利用线段的和差和等腰三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）解：①增加∠ABC＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝36°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣36°）＝72°，
∴∠DAC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠DAC＝36°，
∴∠ABE＝∠ABC＝36°，
∵∠BAC＝∠BAE＝180°﹣2×36°＝108°，
∵AB＝AB，
∴△ABC≌△ABE（ASA），
∴AC＝AE．
∴增加∠ABC＝36°时，AE＝AC成立．
故答案为：36；
②小明的证明不正确，
他证明时所使用的△DAC中的三个条件“∠DAC，AC，∠ADC”不是“两角和它们的夹边”的关系，
所以不能使用“ASA”来证明．
（2）①证明：如图2，
∵AB＝AC，
∴∠3＝∠C，
∵∠DBE＝∠1+∠3，∠4＝∠2+∠C，∠1＝∠2，
∴∠DBE＝∠4．
∴BE＝DE；
②解：补全的图形如图3，
猜想∠BFE＝∠AFC，
证明：过点B作BG⊥EF于点G，如图4，
∵DF＝AE，
∴AE+AD＝DF+AD，
∴DE＝AF，
∵BE＝DE，
∴BE＝AF．
在△ABE与△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠E＝∠AFC，
∵BA＝BD，BG⊥EF，
∴DG＝AG，
∵DF＝AE，
∴DG+DF＝AG+AE，
∴FG＝EG，
∵BG⊥EF于点G，
∴BE＝BF，
∴∠BFE＝∠E，
∴∠BFE＝∠AFC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE≌△CAF．
24．（9分）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．
（1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
（2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与N+的数量关系可用等式表示为 S＝N+﹣1 ；
（3）已知格点长方形ABCD，设其边长AB＝m，BC＝n，其中m，n为正整数．请以格点长方形ABCD为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．
【分析】（1）由三角形，梯形面积公式可求图形的面积，由图形可知图形内部格点数，边上格点数；
（2）由（1）即可总结结论；
（3）用m，n表示出长方形的面积，长方形内部格点数，边上格点数，即可解决问题．
【解答】解：（1）Ⅰ的面积是×3×4＝6，内部格点数是N＝3，边上的格点数是L＝8，N+＝7，
Ⅲ的面积是×2×4+（1+2）×1×＝5.5，内部格点数是N＝2，边上的格点数是L＝9，N+＝6.5．
故答案为：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5．
（2）由（1）可以总结出结论：S＝N+﹣1，
故答案为：S＝N+﹣1．
（3）长方形的面积＝mn，内部格点数是N＝（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（n+n）+1，边上的格点数是L＝2（m+1）+2（n+1）﹣4＝2（m+n），
∴N+＝mn﹣（m+n）+1+m+n＝mn+1，
∴S＝N+﹣1．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是由长方形的长AB＝m，宽CD＝n，表示出，长方形内部格点数，边上格点数．
四、选做题（共10分，每题5分）
25．（5分）阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
；①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
；②
；③
；④
…
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：
（1）第⑤个等式是 ﹣＝﹣ ；
（2）第n个等式是 ﹣＝﹣ ；
（3）请你证明第n个等式成立．
【分析】（1）先根据已知算式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可；
（2）先根据已知算式得出规律，再根据所得的规律得出答案即可；
（3）先变形，再根据分式的除法法则进行计算，最后根据分式的加减法法则进行计算即可．
【解答】（1）解：第⑤个等式是﹣＝﹣，
故答案为：﹣＝﹣；
（2）解：第n个等式是﹣＝﹣，
故答案为：﹣＝﹣；
（3）证明：﹣
＝﹣
＝（1﹣）﹣（1﹣）
＝1﹣﹣1+
＝﹣，
即﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
（1）当P1（﹣1.5，0）时．
①如果点P1的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为 （1.5，0）或（﹣4.5，0） ；
②如果点M（x，y）是点P1的k倍关联点，且满足x＝﹣1.5，﹣3≤y≤5，那么整数k的最大值为 3 ；
（2）已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，A（b，0），B（b+1，0）．若P2（﹣1，0），且在△ABC的边上存在点P2的2倍关联点Q，求b的取值范围．
【分析】（1）①根据k倍关联点的定义即可求出；
②根据k倍关联点的定义，以及点M与点P的横坐标相同，可知y＝4.5时，k值最大，列方程求解即可；
（2）先求出x轴上的点P2的2倍关联点坐标，根据k倍关联点的定义，列出不等式，可求解．
【解答】解：（1）①设M（m，0），根据题意可得|m+1.5|＝2×1.5，
解得m＝1.5或m＝﹣4.5，
∴M（1.5，0）或（﹣4.5，0），
故答案为：（1.5，0）或（﹣4.5，0）；
②∵P1的坐标为（﹣1.5，0）且M的横坐标为x＝﹣1.5，
根据题意，可知当y＝4.5时，k的值最大，
∴4.5＝1.5k，
解得k＝3，
故答案为：3；
（2）∵P2（﹣1，0），
∴x轴上的点P2的2倍关联点为（﹣3，0），（1，0），
∵在△ABC的边上存在点P2的2倍关联点Q，A（b，0），B（b+1，0），
∴b+1≥﹣3，b≤1，
∴﹣4≤b≤1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了新定义，理解新定义并灵活运用是解题的关键．区间段
区间近似里程
（km）
区间设计最高时速
（km/h）
相应所用时间
（h）
北京城市副中心站—香河站
47.8
v
t1
香河站—唐山西站
87
v
t2
作图思路分析：
利用平行线的判定可将作平行线转化为作一个角等于已知角．为简化作图，我们让截线EF经过点P，即过点P任意作一条直线EF交直线AB于点G，目标：作∠EGB的同位角∠EPD．现已有该角的顶点P，角的一边PE，再作出角的另一边PD，即可得到∠EPD从而得到平行线．
小明的证明：
在△ABE与△DAC中，
，
可得△ABE≌△DAC．（ASA）
多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
N+
Ⅰ




Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ




Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
15.5
11
11
16.5
区间段
区间近似里程
（km）
区间设计最高时速
（km/h）
相应所用时间
（h）
北京城市副中心站—香河站
47.8
v
t1
香河站—唐山西站
87
v
t2
作图思路分析：
利用平行线的判定可将作平行线转化为作一个角等于已知角．为简化作图，我们让截线EF经过点P，即过点P任意作一条直线EF交直线AB于点G，目标：作∠EGB的同位角∠EPD．现已有该角的顶点P，角的一边PE，再作出角的另一边PD，即可得到∠EPD从而得到平行线．
小明的证明：
在△ABE与△DAC中，
，
可得△ABE≌△DAC．（ASA）
多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
N+
Ⅰ
6
3
8
7
Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ
5.5
2
9
6.5
Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
15.5
11
11
16.5