2022-2023学年北京市十一学校龙樾实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市十一学校龙樾实验中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共33页。
A．B．
C．D．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．2a2×3a3＝6a5B．a6÷a3＝a2
C．a+2b＝2abD．（﹣2a2）3＝﹣6a6
3．（3分）按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（ ）
A．7B．11﹣6C．1D．11﹣3
4．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（ ）
A．34°B．56°C．62°D．68°
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（ ）
A．a+b＝0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0
6．（3分）如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
7．（3分）如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
8．（3分）若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a≥1且a≠3D．a＞1且a≠3
9．（3分）如图，△ABC中，点D在AB边上，∠CAD＝30°，∠CDB＝50°．给出下列三组条件（每组条件中的线段的长度已知）：①AD，DB；②AC，DB；③CD，CB，能使△ABC唯一确定的条件的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
10．（3分）如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．2
二．填空题（共8小题，每小题3分）
11．（3分）使式子有意义的x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝ ．
13．（3分）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为 ．（不用化简）
14．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则+的值为 ．
15．（3分）分解因式：a4﹣4a3+4a2﹣9＝ ．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ °．
17．（3分）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为 ．
18．（3分）如图，已知AB＝BC＝AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，若CD＝，则△ACD的面积为 ．
三、解答题（共7小题）
19．（5分）若a＝，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
20．（5分）已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除，
（1）求4a+c的值；
（2）求2a﹣2b﹣c的值；
（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．
21．（7分）阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A、B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点之间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．
22．（8分）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
（1）求7、8月各购进口罩多少盒？
（2）已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b＞0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①若a+b＝30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
23．（8分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE．
（1）求证：∠B＝∠ACE；
（2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM．
①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；
②试探究，当D，E，M三点恰好共线时．∠BAD的度数为 ．
24．（6分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE＝CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：
若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ，且P、Q两点均在圆O上，则称△ABC是圆O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．
（1）如图1，若△ABC是圆O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与圆O的“关联轴l”（至少画两条）；
（2）如图2，若△ABC中，点A坐标为（2，3），点B坐标为（4，1），点C在直线l上，存在“关联轴l”使△ABC是圆O的关联三角形，写出点C横坐标的取值范围： ；
（3）已知A（，1），将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为圆M上的两点，且AB＝2（点B在点A右侧），若△ABC与圆O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及最大时AC的长．
OC的最小值为 ；OC的最大值为 ，OC的最大时，AC的长为 ．
2022-2023学年北京市十一学校龙樾实验中学八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）2022年，北京中轴线申遗进入加速阶段，北京中轴线北起钟鼓楼，南至永定门，贯穿老城南北，直线距离长约7.8公里，是我国现存最完整、最古老的中轴线．这条中轴线一路向北延伸，鸟巢、冰立方为这条古老的中轴线注入了新的生命力，它正向世界述说着这座千年古都的时代新貌，下列关于中轴线建筑的简笔画，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．2a2×3a3＝6a5B．a6÷a3＝a2
C．a+2b＝2abD．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【分析】运用整式的加减、乘除及乘方法则对各选项进行逐一计算、求解．
【解答】解：∵2a2×3a3＝6a5，
∴选项A符合题意；
∵a6÷a3＝a3，
∴选项B不符合题意；
∵a+2b不能进行计算，
∴选项C不符合题意；
∵（﹣2a2）3＝﹣8a6，
∴选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查了整式的加减、乘除及乘方的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．（3分）按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是（ ）
A．7B．11﹣6C．1D．11﹣3
【分析】利用运算程序计算即可．
【解答】解：9÷3﹣＝3﹣＞1，
（3﹣）（3+）＝9﹣2＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（3分）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED的大小为（ ）
A．34°B．56°C．62°D．68°
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，
∴∠BAE＝∠1＝56°，
∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，
∴∠AED＝∠B＝62°，
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，属于中考常考题型．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（ ）
A．a+b＝0B．a+b＞0C．a﹣b＝0D．a﹣b＞0
【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案．
【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等；
∴a﹣b＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．
6．（3分）如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】根据图1和图2中阴影部分面积的不同方法可得此题正确的结果．
【解答】解：由题意可得，图1中阴影部分面积为（a﹣b）2，
图2中阴影部分面积为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：A．
【点评】此题考查了利用平方差公式几何背景解决问题的能力．关键是能利用不同整式表示图形的阴影部分的面积．
7．（3分）如图所示，在直角三角形ABC中，已知∠ACB＝90°，点E是AB的中点，且DE⊥AB，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D＝30°，EF＝2，则DF的长是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质求出AF＝BF，求出∠CAF＝30°，则可得出AF＝DF＝4．
【解答】解：连接AF，
∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠B+∠BAC＝∠D+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
∵E为AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC﹣∠BAF＝30°，
∴CF＝，
又∵∠D＝30°，
∴CF＝DF，
∴DF＝AF＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，中垂线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1B．a≥1C．a≥1且a≠3D．a＞1且a≠3
【分析】首先解分式方程用含a的式子表示x，然后根据解是非负数，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵，
∴3（x+a）﹣6a＝x﹣3，
整理，可得：2x＝3a﹣3，
解得：x＝1.5a﹣1.5，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴1.5a﹣1.5＞0，
解得：a＞1；
∵x≠3
∴1.5a﹣1.5≠3
解得：a≠3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式的方法，掌握分式分母是正数是关键．
9．（3分）如图，△ABC中，点D在AB边上，∠CAD＝30°，∠CDB＝50°．给出下列三组条件（每组条件中的线段的长度已知）：①AD，DB；②AC，DB；③CD，CB，能使△ABC唯一确定的条件的序号为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】由已知及正弦定理可得＝＝，结合余弦定理即可得解．
【解答】解法一：∵∠CDB＝50°，∠CAD＝30°，
∴∠ACD＝20°，∠CDA＝130°．
①在△ADC中，知道AD长及各角度，由正弦定理可得出AC长度．BD长度已知，CD长度可求，△ABC唯一确定．
②同①可知，△ADC中，已知一边及各角度，在△ACB中，已知一角及其夹边△ABC唯一确定．
③已知CD，CB，在△CDB中，无法确定BD长度，△ABC不唯一．
综上①②可唯一确定△ABC．
故答案为：①②．
解法二：∵∠CAD＝30°，∠CDB＝50°．
∴可得：∠ACD＝20°，
∴在△ACD中，可得＝＝，即给一边，可求另外两边，进而利用正弦定理，余弦定理可求△ABC的各边及角．
即①②符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10．（3分）如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．2
【分析】分别作点P关于AB和AC的对称点E和F，连接EM，FN，EF，由对称性可得：PM＝EM，PN＝NF，∠EAB＝∠BAP，∠FAC＝∠PAC，AE＝AP＝AF，进而得出PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，于是当点E、M、N、F共线时，PM+MN+PN最小，最小值＝EF，而EF＝AP，所以当AP⊥BC时，AP最小，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
分别作点P关于AB和AC的对称点E和F，连接EM，FN，EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝BC＝AB＝2，
由对称性可得：PM＝EM，PN＝NF，∠EAB＝∠BAP，∠FAC＝∠PAC，AE＝AP＝AF，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，∠EAB+∠BAP+∠FAC∠PAC＝2（∠BAP+∠CAP）＝2∠BAC＝120°，
∴当点E、M、N、F共线时，PM+MN+PN最小，最小值＝EF，
∵EF＝AE＝，
∴当AP最小时，EF最小，
∴当AP⊥BC时，即AP＝AC＝时，EF最小，
即PM+MN+PN最小值为：AP＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是将△PMN的周长的最小值转化为：AP．
二．填空题（共8小题，每小题3分）
11．（3分）使式子有意义的x的取值范围是 x≤1且x≠﹣1 ．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x≤1且x≠﹣1，
故答案为：x≤1且x≠﹣1．
【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式（被开方数为非负数）和分式（分母不能为零）有意义的条件是解题关键．
12．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝108°，PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，则∠PAQ＝ 36° ．
【分析】由线段垂直平分线的性质知PA＝PB，AQ＝CQ，得∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC，从而得出答案．
【解答】解：∵PM和QN分别是AB和AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC，
∵∠BAC＝108°，
∴∠B+∠C＝72°，
∴∠PAB+∠QAC＝72°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）
＝108°﹣72°
＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．
13．（3分）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为 x2+32＝（10﹣x）2 ．（不用化简）
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
故答案为：x2+32＝（10﹣x）2．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意，运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
14．（3分）已知a+b＝3，ab＝2，则+的值为 ．
【分析】先将所求根式化简，再整体代入求值即可．
【解答】解：当a+b＝3，ab＝2时，
+
＝+
＝
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是将所求二次根式化简，再整体代入求值．
15．（3分）分解因式：a4﹣4a3+4a2﹣9＝ （a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3） ．
【分析】本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
【解答】解：a4﹣4a3+4a2﹣9，
＝（a4﹣4a3+4a2）﹣9，
＝a2（a﹣2）2﹣32，
＝（a2﹣2a﹣3）（a2﹣2a+3），
＝（a﹣3）（a+1）（a2﹣2a+3）．
【点评】本题考查了分组分解法，十字相乘法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，利用平方差公式分解后还要继续利用十字相乘法分解因式，注意分解因式要彻底．
16．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ 90 °．
【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【解答】解：在△DCE和△ABD中，
∵，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．
17．（3分）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为 或10 ．
【分析】首先认真分析找出规律，根据5与x的取值范围，分别得出分式方程，可得对应x的值．
【解答】解：当x＜5时，＝2，x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解；
当x＞5时，＝2，x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解；
综上所述，x＝或10；
故答案为：或10．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用以及新定义题型，是近几年的考试热点之一．新定义题型需要依据给出的运算法则进行计算，这和解答实数或有理数的混合运算相同，其关键仍然是正确的理解与运用运算的法则．
18．（3分）如图，已知AB＝BC＝AD，AD⊥BC于点E，AC⊥CD，若CD＝，则△ACD的面积为 ．
【分析】根据垂直的定义得到∠ACD＝∠AEC＝90°，求得∠D＝∠ACB，求得∠D＝∠BAC，过B作BH⊥AC于H，根据直角三角形的性质得到∠AHB＝90°，AH＝AC，根据全等三角形的性质得到BH＝AC，AH＝CD，根据三角形的面积公式即可得到答案．
【解答】解：∵AD⊥BC，AC⊥CD，
∴∠ACD＝∠AEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝∠DCE+∠ACE＝90°，
∴∠D＝∠ACB，
∵AB＝BC，
∴∠BAH＝∠BCA，
∴∠D＝∠BAC，
过B作BH⊥AC于H，
∴∠AHB＝90°，AH＝AC，
在△ABH与△DAC中，
，
∴△ABH≌△DAC（AAS），
∴BH＝AC，AH＝CD，
∴AC＝2CD＝，
∴△ACD的面积＝AC•CD＝××＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共7小题）
19．（5分）若a＝，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
【分析】根据二次根式的性质化简a，根据完全平方公式计算，得到答案．
【解答】解：∵a＝＝+5，
∴a﹣5＝，
∴（a﹣5）2＝26，
∴a2﹣10a+25＝26，
∴a2﹣10a＝1，
则a4﹣10a3+a2﹣20a+5
＝a2（a2﹣10a）+（a2﹣10a）﹣10a+5
＝a2﹣10a+6
＝7．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
20．（5分）已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除，
（1）求4a+c的值；
（2）求2a﹣2b﹣c的值；
（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．
【分析】（1）由于多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除，则说明当x2+3x﹣4＝0，求出的x也能使x3+ax2+bx+c＝0，从而得到关于a、b、c的两个等式，对两个等式变形，可得4a+c＝12③；
（2）由③可得a＝3﹣④，把④代入①，可得b＝﹣4﹣c⑤，然后把④⑤同时代入2a﹣2b﹣c即可求值；
（3）由于c≥a＞1，又a＝3﹣，可知1＜3﹣＜3，解即可求出c的范围，但是a、c是大于1的正整数，且a＝3﹣，可求出c，从而求出a、b．
【解答】解：（1）∵x2+3x﹣4是x3+ax2+bx+c的一个因式，
∴x2+3x﹣4＝0，即x＝﹣4，x＝1是方程x3+ax2+bx+c＝0的解，
∴，
①×4+②得4a+c＝12③；
（2）由③得a＝3﹣，④
代入①得b＝﹣4﹣c⑤，
∴2a﹣2b﹣c＝2（3﹣）﹣2（﹣4﹣c）﹣c＝14；
（3）∵c≥a＞1，又a＝3﹣，
∴a＝3﹣＜c，
即1＜3﹣≤c，
解得≤c＜8，
又∵a、c是大于1的正整数，
∴c＝3、4、5、6、7，但a＝3﹣，a也是正整数，
∴c＝4，
∴a＝2，
∴b＝﹣4﹣c＝﹣7．
补充方法：x3+ax2+bx+c＝（x2+3x﹣4）（x+p）＝x2+（p+3）x2+（3p﹣4）x﹣4p得a＝p+3，b＝3p﹣4，c＝﹣4p．然后代入第一、二小题得结果．第三小题解关于p的不等式组得p＝﹣1．
故a＝2，b＝﹣7，c＝4．
【点评】本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思也就是说，B是A的一个因式，使这个因式B等于0的值，必是A的一个解．
21．（7分）阅读下列一段文字，然后回答问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2＝，且当两点间的连线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A、B两点在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点之间的距离；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．
【分析】（1）由公式即可求解；
（2）用公式分别求出DE＝5，DF＝5，EF＝6，即可判断△DEF的形状；
（3）作F点关于x轴的对称点F'，连接DF'交x轴于点P，连接PF，此时PD+PF的长度最短，求出直线DF'的解析式为y＝﹣x+，即可求P点坐标．
【解答】解：（1）∵AB平行y轴，
∴A、B两点的横坐标相同，
∵点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，
∴AB＝5；
（2）∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），
∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝|4+2|＝6，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（3）如图，作F点关于x轴的对称点F'，连接DF'交x轴于点P，连接PF，
∵PF＝PF'，
∴PF+PD＝PF'+PD＝DF'，此时PD+PF的长度最短，
∵F（4，2），
∴F'（4，﹣2），
∴DF'＝＝，
∴PF+PD的最短距离为，
设直线DF'的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+，
令y＝0，则x＝，
∴P（，0）．
【点评】本题考查平面内两点间距离，熟练掌握平面直角坐标系中两点距离的求法，利用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
22．（8分）某药店采购部于7月份和8月份分别用2000元和5000元购两批口罩，在进价相同情况下，8月份的数量是7月份购进数量的2倍多50盒，该药店在7、8月份均将当月购进的口罩平均分给甲、乙两家分店销售，并统一规定每盒口罩的标价为30元．
（1）求7、8月各购进口罩多少盒？
（2）已知7月份两店按标价各卖出a盒后，做优惠促销活动：甲店剩余口罩按标价的八折全部出售；乙店剩余口罩先按标价的九折售出b（b＞0）盒后，再将余下口罩按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
①若a+b＝30，求a、b的值．
②8月份，乙店计划将分到的口罩按标价出售n盒后，剩余口罩全部捐献给医院．若至少捐赠50盒口罩，且预计乙店7、8月份能从这两批口罩销售中获得的总利润为100元，求n的值．
【分析】（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，利用单价＝总价÷数量，结合7，8月进价相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）①用含a（或b）的代数式表示出原价部分总利润及优惠部分总利润，结合两店的销售利润相同以及a+b＝30，即可得出结论；
②利用总利润＝每件的销售利润×销售数量﹣进价×赠送数量，得出关于a，n的二元一次方程，再由至少捐赠50盒口罩，得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，结合a，b，n均为自然数，且n≠0，即可得出结论．
【解答】解：（1）设7月购进x盒口罩，则8月购进（2x+50）盒口罩，
依题意得：＝，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x+50＝2×100+50＝250．
答：7月购进100盒口罩，8月购进250盒口罩．
（2）①口罩的进价为2000÷100＝20（元），
7月份两店分到的口罩100÷2＝50（盒）．
依题意得：乙店原价部分的利润为（30﹣20）a＝10a（元），甲店优惠部分的总利润为（30×0.8﹣20）（50﹣a）＝4（50﹣a）元，
乙店优惠部分的总利润为（30×0.9﹣20）b+（30×0.7﹣20）（50﹣a﹣b）＝（50+6b﹣a）（元）．
∵两店的利润相同，
∴4（50﹣a）＝50+6b﹣a，
整理得：a+2b＝50，
又∵a+b＝30，
∴a＝10，b＝20；
②8月乙店分到口罩250÷2＝125（盒）．
依题意得：10a+4（50﹣a）+（30﹣20）n﹣20（125﹣n）＝100，
∴n＝80﹣，
∵125﹣n≥50，
∴n≤75．
又∵a，b，n均为自然数，且n≠0，
∴a为10的整数倍，
∴或，
答：n的值为74或72．
【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）①根据各数量之间的关系，用含a（b）的代数式表示出各数量；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．（8分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE．
（1）求证：∠B＝∠ACE；
（2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM．
①补全图形并证明∠EMC＝∠BAD；
②试探究，当D，E，M三点恰好共线时．∠BAD的度数为 22.5° ．
【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；
（2）①先判断出∠EMC＝∠EAC，再根据（1）得出的∠BAD＝∠EAC，即可得出结论；
②先判得出∠AMD＝∠EAM，进而得出∠CDE＝∠EAM，再判断出∠EAM＝∠BAD，进而得出∠BAD＝∠CAE＝∠EAM，最后求出∠CAM＝45°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE；
（2）①补全图形如图1所示，
连接AM，
∵点A关于直线CE的对称点为M，
∴AE＝ME，AC＝MC，
∵CE＝CE，
∴△ACE≌△MCE（SSS），
∴∠EMC＝∠EAC，
由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＝∠EMC；
②如备用图，连接AM，由（1）知，∠ACE＝∠B，
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∵点M，A关于CE对称，
∴AE＝ME，AM⊥CE，
∴AM∥BC，
∴∠AMD＝∠CDE，
∵AE＝ME，
∴∠AMD＝∠EAM，
∴∠CDE＝∠EAM，
∵∠B＝∠ADE＝45°，
∴∠BAD+∠ADB＝∠CDE+∠ADB＝135°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴∠EAM＝∠BAD，
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠EAM，
∵AM∥BC，
∴∠BAM＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠CAM＝∠BAM﹣∠BAD＝45°，
∴∠CAE＝∠CAM＝22.5°，
∴∠BAD＝22.5°．
故答案为：22.5°．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了轴对称，同角的余角相等，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，判断出△BAD≌△CAE是解本题的关键．
24．（6分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE＝CD．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．
（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．
【分析】（1）由题意知D，B，F三点重合，则CD＝BC，PF＝PD＝PB，含30°的直角三角形中BC＝AC，由CE＝CD，可知CE＝CD＝BC＝AC，PE是△ADC的中位线，有PE⊥PF，PE＝CD＝BC，PF＝AB＝BC，然后求出比值即可；
（2）如图2，连接DE，作PM⊥BC于M，PG∥x轴，过E作GN⊥BC交BC于N，交PG于G，由题意知，PM是△ABD的中位线，BD＝FB，△CDE是等边三角形，四边形PMNG是矩形，设DC＝c，FB＝BD＝b，则BC＝BD+DC＝b+c，AB＝（b+c），PM＝（b+c），BM＝，FM＝b，DN＝DC＝c，EN＝c，GE＝PM﹣EN＝b，PG＝MN＝（b+c），FN＝FB+BD+DN＝2b+c，在Rt△PFM中，由勾股定理得PF2＝FM2+PM2，求出用a，b表示的PF2的值，在Rt△PEG中，由勾股定理得PE2＝GE2+PG2，求出用a，b表示的PE2的值，在Rt△EFN中，由勾股定理得EF2＝EN2+FN2，求出用a．，b表示的EF2的值，求出可得的值，进而可得的值，根据PE2+PF2与EF2的数量关系判断PE与PF的位置关系即可．
【解答】解：（1）PE⊥PF，＝．理由如下：
由题意知，D，B，F三点重合，
∴CD＝BC，PF＝PD＝PB，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵CE＝CD，
∴CE＝CD＝BC＝AC，
∴点E为线段AC的中点，
∵点P是AD的中点，
∴PE是△ADC的中位线，
∴PE⊥PF，PE＝CD＝BC，
∴PF＝AB＝BC，
∴，＝＝．
（2）PE⊥PF，＝的关系仍成立．
证明：如图，连接DE，作PM⊥⊥BC于M，PG∥x轴，过E作GN⊥BC交BC于N，交PG于G，
由题意可知，PM是△ABD的中位线，BD＝FB，△CDE是等边三角形，四边形PMNG是矩形，
设DC＝c，FB＝BD＝b，
∴BC＝BD+DC＝b+c，AB＝（b+c），PM＝（b+c），BM＝，FM＝b，DN＝DC＝c，EN＝c，GE＝PM﹣EN＝b，PG＝MN＝（b+c），FN＝FB+BD+DN＝2b+c，
在Rt△PFM中，由勾股定理得PF2＝FM2+PM2＝（b）2+[（b+c）]2＝b2+（b+c）2，
在Rt△PEG中，由勾股定理得PE2＝GE2+PG2＝（b）2+[（b+c）]2＝b2+（b+c）2，
在Rt△EFN中，由勾股定理得EF2＝EN2+FN2＝（c）2+[2b+c）]2＝3b2+（b+c）2，
∴＝＝，
∴＝，
∵PE2+PF2＝b2+（b+c）2+b2+（b+c）2＝3b2+（b+c）2＝EF2，
∴∠EPF＝90°．
【点评】本题属于三角形综合题，涉及勾股定理，中位线定理，等边三角形的性质与判定，含30°角的直角三角形等知识．计算比较复杂，作出正确的辅助线是解题关键．
25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，圆O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：
若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ，且P、Q两点均在圆O上，则称△ABC是圆O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．
（1）如图1，若△ABC是圆O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与圆O的“关联轴l”（至少画两条）；
（2）如图2，若△ABC中，点A坐标为（2，3），点B坐标为（4，1），点C在直线l上，存在“关联轴l”使△ABC是圆O的关联三角形，写出点C横坐标的取值范围： 0≤x≤4 ；
（3）已知A（，1），将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为圆M上的两点，且AB＝2（点B在点A右侧），若△ABC与圆O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及最大时AC的长．
OC的最小值为 ；OC的最大值为 2 ，OC的最大时，AC的长为 2 ．
【分析】（1）根据题意画出直线l1，直线l2即可；
（2）利用图象法解决问题即可；
（3）如图，连接OM，AM．由题意M（，3），推出OM＝＝2，当点C在线段OM上时，OC的值最小，且符合题意，推出OC的最小值为，当BC＝2时，符合题意，此时OC的值最大，连接BM，CM，此时△ABM，△MBC都是等边三角形，推出AM＝CM＝BC＝AB＝2，可得结论．
【解答】解：（1）如图，直线l1，直线l2即为所求；
（2）由题意可知，点C横坐标x的取值范围是0≤x≤4；
（3）如图，连接OM，AM，
由题意M（，3），
∴OM＝＝2，
当点C在线段OM上时，OC的值最小，且符合题意，
∴OC的最小值为，
当BC＝2时，符合题意，此时OC的值最大，
连接BM，CM，此时△ABM，△MBC都是等边三角形，
∴AM＝CM＝BC＝AB＝2，
∴四边形AMCB是菱形，
∴C（2，4），
∴OC的最大值＝＝，此时AC的长为，
故答案为：，2，2．
【点评】本题考查圆的综合应用，掌握直线与圆的位置关系，一次函数的性质，轴对称，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．