2022-2023学年北京市密云区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市密云区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4B．x＝﹣4C．x≠4D．x＝4
2．（2分）《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）在下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x2+x2＝x4C．x8÷x2＝x6D．（3x）2＝6x2
4．（2分）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×109B．0.34×10﹣9C．3.4×1010D．3.4×10﹣10
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，﹣6）关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣6）B．（﹣1，6）
C．（1，6）D．（﹣6，1）（﹣6，1）
6．（2分）正五边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
7．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3
C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5D．x2+2x+1＝（x+1）2
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分式的值为0，则x的值是 ．
10．（2分）计算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝ ．
11．（2分）已知：如图，AB平分∠CAD．请添加一个条件 ，使得△ABC≌△ABD．（要求：不添加辅助线，只需填一个答案即可）
12．（2分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ．
13．（2分）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是 ．
14．（2分）若ax＝2，ay＝5，则ax+y＝ ．
15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为 cm2．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为 ．
三、解答题（共68分，其中17题6分，18～23题每题5分，24～26题每题6分，27、28题每题7分）
17．（6分）因式分解：
（1）m3﹣mn2；
（2）2x2﹣8xy+8y2．
18．（5分）计算：．
19．（5分）﹣÷．
20．（5分）解分式方程：．
21．（5分）密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角∠ACB的度数．
22．（5分）数学课上，李老师布置如下任务：
如图，已知△ABC，点D是AB边上的一个定点，在AC边上确定一点E，使DE∥BC．
下面是小莉设计的尺规作图过程．
作法：
①以点D为圆心，BD长为半径作弧交BC边于点F，连接DF．
②作∠ADF的角平分线，交AC边于点E；
则点E即为所求．
根据小莉设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．
证明：∵DB＝DF，
∴∠B＝ ．（ ）
∵DE是∠ADF的角平分线，
∴∠ADF＝2∠ADE．
∵∠ADF＝∠B+∠DFB，（ ）
即∠ADF＝2∠B，
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC．
23．（5分）已知：2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
24．（6分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：DE＝DC；
（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．
25．（6分）交通是经济的脉络和文明的纽带．截至2020年底，我国高速铁路运营里程五年间翻了近一番，稳居世界第一，居民出行更加便捷．据悉，甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
26．（6分）阅读材料，解决问题．
爱因斯坦是20世纪著名的物理学家，他创立的相对论影响了人类对世界的看法．有趣的是，这位科学巨匠闲暇之余喜欢琢磨一些数学趣题．一次，爱因斯坦在计算一道两位数乘法运算时，联想到了“头同尾合十”的速算方法．
所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10；
其对应的速算方法是：
第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示；
第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．
像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如：
速算74×76，先算4×6＝24，再算7×（7+1）＝56，则74×76＝5624；
速算59×51，先算9×1＝09，再算5×（5+1）＝30，则59×51＝3009；
（1）利用上述速算方法，计算47×43的积为 ；
（2）用和分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c＝10，
①依据题意，两位数，则两位数＝ ；
②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．
（1）求证：△BEC是等腰三角形；
（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．
（1）已知点A（4，0），若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
（2）已知点B（﹣2，3），C（1，3），D（﹣2，0）．
①连接BC，求点D和线段BC的中立点E的横坐标xE的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在△BCD的边上存在点F和△BCD的中立点，直接写出点F的横坐标xF的取值范围．
2022-2023学年北京市密云区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．
1．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4B．x＝﹣4C．x≠4D．x＝4
【分析】根据题意得x﹣4≠0，进行计算即可得．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣4≠0，x≠4，
故选：C．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，正确计算．
2．（2分）《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称解答即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2分）在下列各式的计算中，正确的是（ ）
A．（x3）2＝x5B．x2+x2＝x4C．x8÷x2＝x6D．（3x）2＝6x2
【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A． （x3）2＝x6，故该选项不正确，不符合题意；
B．x2+x2＝2x2，故该选项不正确，不符合题意；
C．x8÷x2＝x6，故该选项正确，符合题意；
D． （3x）2＝9x2，故该选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．
4．（2分）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A．0.34×109B．0.34×10﹣9C．3.4×1010D．3.4×10﹣10
【分析】把小于1的正数用科学记数法写成a×10﹣n的形式即可得出结论．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点M（1，﹣6）关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣6）B．（﹣1，6）
C．（1，6）D．（﹣6，1）（﹣6，1）
【分析】根据平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变进行求解即可．
【解答】解：点M （1，﹣6）关于y轴的对称点N的坐标是（﹣1，﹣6）．
故选：A．
【点评】本题考查关于x，y轴的对称点的坐标特点，正确记忆横坐标纵坐标的变化规律是解题关键．
6．（2分）正五边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
【解答】解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．
7．（2分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+xB．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3
C．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
8．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是（ ）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A，B，C三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形．
【解答】解：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD是等腰三角形，
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形，交AB于点F'，△BCF'是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI都是等腰三角形，此情形点H与点I重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形．
综上所述，最多有4个等腰三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）分式的值为0，则x的值是 1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
10．（2分）计算：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝ 4a2﹣2a+1 ．
【分析】根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：原式＝4a2﹣2a+1．
故答案为：4a2﹣2a+1．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
11．（2分）已知：如图，AB平分∠CAD．请添加一个条件 AC＝AD（答案不唯一） ，使得△ABC≌△ABD．（要求：不添加辅助线，只需填一个答案即可）
【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．
【解答】解：根据AAS判定△ABC≌△ABD，可以添加∠C＝∠D，
根据ASA判定△ABC≌△ABD，可以添加∠ABC＝∠ABD，
根据SAS判定△ABC≌△ABD，可以添加AC＝AD，
故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
12．（2分）等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 9 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当4是腰时，因4+4＜9，不能组成三角形，应舍去；
当9是腰时，4、9、9能够组成三角形．
则第三边应是9．
故答案为：9．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（2分）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图），把余下的部分拼成一个矩形（如图），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
因而可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【点评】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
14．（2分）若ax＝2，ay＝5，则ax+y＝ 10 ．
【分析】原式逆用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝5，
∴ax+y＝ax•ay＝2×5＝10，
故答案为：10
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为 4 cm2．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．
【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，
∴AP＝PD，
∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，
∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP．
∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP，
∴．
故答案为：4．
【点评】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．
16．（2分）在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（3，﹣1），点P在y轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为 （0，2） ．
【分析】根据对称性，作出点A关于y轴的对称点A'，连接BA'与y轴交于点P，根据两点之间线段最短即可得结论．
【解答】解：
如图所示，作出点A关于点y轴的对称点A'，连接BA'交y轴于点P，
此时PA+PB＝P′A+PB＝A′B，
根据两点之间线段最短，所以点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质．
三、解答题（共68分，其中17题6分，18～23题每题5分，24～26题每题6分，27、28题每题7分）
17．（6分）因式分解：
（1）m3﹣mn2；
（2）2x2﹣8xy+8y2．
【分析】（1）提取公因式m，运用平方差公式即可得；
（2）提取公因数2，运用完全平方公式即可得．
【解答】解：（1）原式＝m（m2﹣n2）
＝m（m﹣n）（m+n）；
（2）原式＝2（x2﹣4xy+4y2）
＝2（x﹣2y）2．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解，平方差公式，完全平方公式是关键．
18．（5分）计算：．
【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值，再合并即可．
【解答】解：原式＝5+1﹣2
＝4．
【点评】此题考查的是负整数指数幂、零指数幂、绝对值，掌握其运算法则是解决此题的关键．
19．（5分）﹣÷．
【分析】利用平方差公式和完全平方公式先把分式进行因式分解，再把除法转化成乘法，再进行通分，最后约分即可得出答案．
【解答】解：﹣÷
＝﹣×
＝﹣
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，用到的知识点是通分、因式分解和约分，把分式化到最简是解答的关键．
20．（5分）解分式方程：．
【分析】观察可得最简公分母是（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：去分母，得 10﹣x＝x+3+5．
解得，2x＝2．
即x＝1．
经检验，x＝1是原方程的解．
所以，原方程的解为x＝1．
【点评】本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（5分）密云水库是首都的“生命之水”，作为北京重要的水源地，保持水质成为重中之重．如图所示，点A和点B分别表示两个水质监测站，点C表示某一时刻监测人员乘坐的监测船的位置．其中，B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向的交汇处，求此时从船只C看A、B两个水质监测站的视角∠ACB的度数．
【分析】方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角，由此即可计算．
【解答】解：∵B点在A点的西南方向，船只C在A点南偏东25°方向和B点北偏东75°方向，
∴∠BAC＝45°+25°＝70°，∠ABC＝75°﹣45°＝30°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣30°＝80°．
答：从船只C看A、B两个水质监测站的视角∠ACB的度数是80°．
【点评】本题考查方向角的概念，关键是掌握方向角的定义．
22．（5分）数学课上，李老师布置如下任务：
如图，已知△ABC，点D是AB边上的一个定点，在AC边上确定一点E，使DE∥BC．
下面是小莉设计的尺规作图过程．
作法：
①以点D为圆心，BD长为半径作弧交BC边于点F，连接DF．
②作∠ADF的角平分线，交AC边于点E；
则点E即为所求．
根据小莉设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．
证明：∵DB＝DF，
∴∠B＝ ∠DFB ．（ 等边对等角 ）
∵DE是∠ADF的角平分线，
∴∠ADF＝2∠ADE．
∵∠ADF＝∠B+∠DFB，（ 三角形外角性质 ）
即∠ADF＝2∠B，
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC．
【分析】（1）根据所给作法即可得；
（2）根据DB＝DF等边对等角得∠B＝∠DFB，根据DE是∠ADF的角平分线得∠ADF＝2∠ADE，根据三角形外角性质得∠ADF＝∠B+∠DFB，即∠ADF＝2∠B，可得∠ADE＝∠B，即可得CE∥BC．
【解答】（1）解：如图所示，
（2）证明：∵DB＝DF，
∴．（等边对等角）
∵DE是∠ADF的角平分线，
∴∠ADF＝2∠ADE．
∵∠ADF＝∠B+∠DFB，（三角形外角性质）
即∠ADF＝2∠B，
∴∠ADE＝∠B．
∴DE∥BC．
故答案为：∠DFB，等边对等角，三角形外角性质．
【点评】本题考查了尺规作图，等边对等角，三角形的外角，平行线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
23．（5分）已知：2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形代入计算即可求出值．
【解答】解：由2a2+3a﹣6＝0得：2a2+3a＝6，
原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（6分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：DE＝DC；
（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根据角平分线的性质得到DE＝DC；
（2）判定△EBC是等边三角形，即可求出周长．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°
∴BD平分∠ABC，
∵DE⊥AB，AC⊥BC，
∴DE＝DC；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，
∴，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴，
∴BC＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴△EBC的周长为9．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
25．（6分）交通是经济的脉络和文明的纽带．截至2020年底，我国高速铁路运营里程五年间翻了近一番，稳居世界第一，居民出行更加便捷．据悉，甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．
【分析】设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为2.5xkm/h，根据乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时列分式方程求解．
【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁列车的平均速度为2.5xkm/h，
，
解得：x＝120，
经检验：x＝120是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴2.5x＝2.5×120＝300（ km/h），
答：高铁列车的平均速度为300 km/h．
【点评】此题考查了分式方程的应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键．
26．（6分）阅读材料，解决问题．
爱因斯坦是20世纪著名的物理学家，他创立的相对论影响了人类对世界的看法．有趣的是，这位科学巨匠闲暇之余喜欢琢磨一些数学趣题．一次，爱因斯坦在计算一道两位数乘法运算时，联想到了“头同尾合十”的速算方法．
所谓“头同尾合十”是指：两个因数的十位数字相同，个位数字相加刚好为10；
其对应的速算方法是：
第一步：用两个因数的个位数字相乘，把得到的乘积作为结果的后两位，如果乘积是一位数，就把这个数作为结果的个位，十位用0表示；
第二步：用相同的十位数字乘以比它大1的数，把得到的乘积放在第一步结果的前面．
像这样组成的数就是两位数相乘的结果．例如：
速算74×76，先算4×6＝24，再算7×（7+1）＝56，则74×76＝5624；
速算59×51，先算9×1＝09，再算5×（5+1）＝30，则59×51＝3009；
（1）利用上述速算方法，计算47×43的积为 2021 ；
（2）用和分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c＝10，
①依据题意，两位数，则两位数＝ 10a+c ；
②为说明该速算方法的正确性，请你证明成立．
【分析】（1）根据“头同尾合十”的速算方法即可求解；
（2）①表示两个两位数，a表示十位数字，c表示它们的个位数字，由此即可求解；
②计算左边，将左边逐渐转化为右边的形式即可得证．
【解答】解：（1）47×43，
第一步，算个位和十位上的数字：7×3＝21；第二步，算百位和千位上的数字：4×（4+1）＝20，
∴47×43＝2021，
故答案为：2021．
（2）①∵表示两个两位数，a表示十位数字，c表示它们的个位数字，
∴，
故答案为：10a+c；
②证明：＝（10a+b）（10a+c）
＝100a2+10ac+10ab+bc
＝100a2+10a（b+c）+bc，
∵b+c＝10，
∴＝100a2+10a（b+c）+bc＝100a2+100a+bc＝100a（a+1）+bc，
∴该速算方法正确，即成立．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，数字规律，理解数字间的规律，掌握有理数的混合运算是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．
（1）求证：△BEC是等腰三角形；
（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC＝∠C，进而得出EB＝EC，即可得出结论；
（2）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F＝∠C，再证明△AFD≅△ACD，根据全等三角形的性质得出AF＝AC，再根据线段的和差即可得出AB+BD＝AC．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝40°，
∴∠EBC＝∠C，
∴EB＝EC，
∴△BEC是等腰三角形．
（2）解：AB+BD＝AC，
证明：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，
∴∠F＝∠BDF，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，
∴2∠F＝80°，
∴∠F＝40°，
∵∠C＝40°，
∴∠F＝∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△AFD≅△ACD（ASA），
∴AF＝AC，
∴AB+BF＝AC，
即：AB+BD＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．
（1）已知点A（4，0），若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 （2，0） ；
（2）已知点B（﹣2，3），C（1，3），D（﹣2，0）．
①连接BC，求点D和线段BC的中立点E的横坐标xE的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在△BCD的边上存在点F和△BCD的中立点，直接写出点F的横坐标xF的取值范围．
【分析】（1）根据“中立点”的定义求解即可；
（2）①连接BD，取BD中点E1，求出E1的横坐标，连接CD，取CD中点E2，根据中点坐标公式求出E2的横坐标，即可得出对答案；
②分D为中立点时和C为中立点时，求出两个临界值即可．
【解答】解：（1）∵点A（4，0），若点P是点A和原点的中立点，
∴P（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）①连接BD，取BD中点E1，如图，
∵B（﹣2，3），D（﹣2，0），
∴E1点的横坐标﹣2，
连接CD，取CD中点E2，
∵B（﹣2，3），C（1，3），
∴，
∴；
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为y＝x．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点F1的纵坐标是﹣3，代入y＝x，得
∴x＝﹣3，即点F1的横坐标是﹣3．
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是﹣2，C（1，3），
∴，
∴，
∴﹣3≤xF≤4．