2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．等角螺旋线B．心形线
C．四叶玫瑰线D．蝴蝶曲线
2．（3分）随着人类基因组（测序）计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，将0.0000064用科学记数法表示应为（ ）
A．0.64×10﹣5B．6.4×10﹣5C．6.4×10﹣6D．64×10﹣7
3．（3分）下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．lcm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．3cm，3cm，6cmD．3cm，4cm，9cm
4．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15D．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2
6．（3分）下列各式中，运算结果为a6的是（ ）
A．a4+a2B．a2•a3C．（a2）3D．a12÷a2
7．（3分）某方舱医院采购A，B两种型号的机器人进行院内物资配送，已知A型机器人比B型每小时多配送200件物资，且A型机器人配送1000件物资所用的时间与B型机器人配送750件物资所用的时间相同，若设B型机器人每小时配送x件物资，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，∠BAD＝28°，则∠C＝（ ）
A．31°B．56°C．62°D．76°
9．（3分）如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE＝1cm，BC＝4cm，则△BEC的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
10．（3分）某学校要举行科技文化艺术节活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛，学生会提出两个方案（舞台平面图与具体数据如图所示）：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为S1；
方案二：如图2，在花坛的四周用四个相同的长方形搭建“十”字形舞台（阴影部分），面积为S2．
则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定
二、填空题（共16分，每题2分）
11．（2分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（2分）分解因式：3a2﹣27＝ ．
13．（2分）化简的结果为 ．
14．（2分）已知5m2+4m﹣1＝0，则代数式（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 ．
15．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8，则AC＝ ．
16．（2分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是 ．
17．（2分）如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ ．
18．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上，点F在线段AD上，且EF＝FC．有下面四个结论：
（1）AB＝2AD；
（2）△AEF≌△ACF；
（3）△EFC是等边三角形；
（4）FA+AE＝EC．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共54分，第19题-第23题，每题5分；第24题-第25题，每题6分；第26题5分；第27题-第28题，每题6分）
19．（5分）计算：（π﹣2023）0+2﹣2+|﹣4|．
20．（5分）解方程：＝．
21．（5分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB＝AC．现给出下列条件：
①∠B＝∠C；
②BE＝CD；AE＝AD，
请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得△ABE≌△ACD，并证明．
22．（5分）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取点A，连接PA；
②作线段PA的垂直平分线MN，分别交直线l，
直线PA于点B，O；
以点O为圆心，OB长为半径画弧，
交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PQ，
∵线段PA的垂直平分线交PA于点O，
∴OA＝OP（ ）（填推理的依据），
又∵∠AOB＝∠POQ，OB＝ ，
∴△AOB≌△POQ（ ）（填推理的依据），
∴∠PQO＝∠ABO，
∴PQ∥l．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，4），B（4，2），AOB与△A1OB1关于x轴对称．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1，B1的坐标；
（3）在x轴找一点P，使得△PA1B1的周长最短，请在图中画出点P的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
24．（6分）求代数式的值，其中a＝﹣1．
25．（6分）列方程解应用题：
为落实节约用水的政策，某单位进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该单位在设施改造后，平均每天用水量比原来减少了40%，30吨水可以比原来多用4天，该单位在设施改造后平均每天用水多少吨？
26．（5分）阅读下列材料：
我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：．
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如：；．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）请写出一个假分式： ；
（2）请将分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）设，则当0＜x＜2时，M的取值范围是 ．
27．（6分）如图，△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α．作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'于点F．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AB'E和∠AFC的度数（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AB，AF，CF之间的数量关系，并证明．
28．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN，给出如下定义：
线段MN上各点到x轴距离的最大值，叫做线段MN的“轴距”，记作dMN．例如，如图1，点M（﹣2，﹣3），N（4，1），则线段MN的“轴距”为3，记作dMN＝3．将经过点（0，2）且垂直于y轴的直线记为直线y＝2．
（1）已知点A（﹣1，3），B（2，4），
①线段AB的“轴距”dAB＝ ；
②线段AB关于直线y＝2的对称线段为CD，则线段CD的“轴距”dCD＝ ；
（2）已知点E（﹣1，m），F（2，m+2），线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH．
①若dGH＝3，求m的值；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，|dEF﹣dGH|的值总不变，请直接写出m的取值范围．
2022-2023学年北京市燕山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共30分，每题3分）
1．（3分）在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．等角螺旋线B．心形线
C．四叶玫瑰线D．蝴蝶曲线
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）随着人类基因组（测序）计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为0.0000064cm2，将0.0000064用科学记数法表示应为（ ）
A．0.64×10﹣5B．6.4×10﹣5C．6.4×10﹣6D．64×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000064＝6.4×10﹣6；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列各组线段能组成三角形的是（ ）
A．lcm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm
C．3cm，3cm，6cmD．3cm，4cm，9cm
【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+3＞5，能够组成三角形，符合题意；
C、3+3＝6，不能组成三角形，不符合题意；
D、3+4＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
4．（3分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形外角与内角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
5．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9B．（x+2）2＝x2+4x+4
C．（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15D．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．（x+2）2＝x2+4x+4，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．4x2﹣6xy+9y2＝（2x﹣3y）2，从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解）是解此题的关键．
6．（3分）下列各式中，运算结果为a6的是（ ）
A．a4+a2B．a2•a3C．（a2）3D．a12÷a2
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a4与a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故B不符合题意；
C、（a2）3＝a6，故C符合题意；
D、a12÷a2＝a10，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．（3分）某方舱医院采购A，B两种型号的机器人进行院内物资配送，已知A型机器人比B型每小时多配送200件物资，且A型机器人配送1000件物资所用的时间与B型机器人配送750件物资所用的时间相同，若设B型机器人每小时配送x件物资，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据两种型号的机器人工作效率间的关系，可得出A型机器人每小时配送（x+200）件物资，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合A型机器人配送1000件物资所用的时间与B型机器人配送750件物资所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵A型机器人比B型每小时多配送200件物资，且B型机器人每小时配送x件物资，
∴A型机器人每小时配送（x+200）件物资．
根据题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，∠BAD＝28°，则∠C＝（ ）
A．31°B．56°C．62°D．76°
【分析】首先利用等腰三角形三线合一的性质求得∠BAC的度数，然后求得底角的度数即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD为BC边的中线，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2×28°＝56°，
∴∠C＝∠B＝＝＝62°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的三线合一的性质，难度不大．
9．（3分）如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE＝1cm，BC＝4cm，则△BEC的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF＝DE＝3，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，
∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝1，
∴S△BCE＝BC•EF＝×4×1＝2（cm2），
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
10．（3分）某学校要举行科技文化艺术节活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛，学生会提出两个方案（舞台平面图与具体数据如图所示）：
方案一：如图1，绕花坛搭建外围是正方形的“回”字形舞台（阴影部分），面积为S1；
方案二：如图2，在花坛的四周用四个相同的长方形搭建“十”字形舞台（阴影部分），面积为S2．
则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定
【分析】先求出两个图形中阴影部分的面积，再根据作差法即可判断．
【解答】解：由图可知，
，
＝4ab﹣6b2，
则
＝a2﹣b2﹣4ab+6b2
＝a2﹣4ab+5b2
＝a2﹣4ab+4b2+b2
＝（a﹣2b）2+b2，
∵（a﹣2b）2≥0，b2＞0，
∴（a﹣2b）2+b2＞0，
即S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握作差法比较大小是解题关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
11．（2分）若分式的值为0，则x的值为 x＝﹣4 ．
【分析】根据分式的值为0的条件解答即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x+4＝0且x≠0，
∴x＝﹣4．
故答案为：x＝﹣4．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
12．（2分）分解因式：3a2﹣27＝ 3（a+3）（a﹣3） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：3a2﹣27
＝3（a2﹣9）
＝3（a+3）（a﹣3）．
故答案为：3（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
13．（2分）化简的结果为 1 ．
【分析】本题分母互为相反数，可化为同分母分式相加减．
【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为1．
【点评】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
14．（2分）已知5m2+4m﹣1＝0，则代数式（2m+1）2+（m+3）（m﹣3）的值为 ﹣7 ．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，进而把已知整体代入得出答案．
【解答】解：原式＝4m2+4m+1+m2﹣9
＝5m2+4m﹣8，
∵5m2+4m﹣1＝0，
∴5m2+4m＝1，
∴原式＝1﹣8
＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算是解题关键．
15．（2分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝8，则AC＝ 4 ．
【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
16．（2分）数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，小聪想到老师讲过“利用全等三角形对应边相等，可以把不能直接测量的物体‘移’到可以直接测量的位置测量”于是他设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径AB的长度．此方案中，判定△AOB≌△COD的依据是 SAS ．
【分析】根据SAS公理解答即可．
【解答】解：在△COD和△AOB中，
，
∴△COD≌△AOB（SAS），
∴AB＝CD，
∴此方案依据判断三角形全等的SAS公理，
故答案为：SAS．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握SAS公理是解题的关键．
17．（2分）如图，正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则∠CAB+∠ACB＝ 45° ．
【分析】作AD⊥BC，交CB的延长线于D，证明△ABD是等腰直角三角形，得出∠ABD＝45°，根据三角形外角的性质得出∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
【解答】解：如图，作AD⊥BC，交CB的延长线于D，
又∵AD＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠CAB+∠ACB＝∠ABD＝45°．
故答案为：45°．
【点评】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，三角形外角的性质，准确作出辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键．
18．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上，点F在线段AD上，且EF＝FC．有下面四个结论：
（1）AB＝2AD；
（2）△AEF≌△ACF；
（3）△EFC是等边三角形；
（4）FA+AE＝EC．
其中所有正确结论的序号是 （1）（3） ．
【分析】根据等腰三角形的性质得∠B＝∠ACB＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AB＝2AD，说明（1）正确；根据∠EAF≠∠AFC，可知△AEF≌△ACF错误；连接BF，根据线段垂直平分线的性质得BF＝CF，再根据“飞镖形”知∠EFC＝2∠B＝60°，进而判断（3）正确；在AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，由△FAE≌△FGC（SAS），知AE＝CG，则AF+AE＝AC＞CE，故（4）错误．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝2AD，故（1）正确；
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∴∠EAC＝60°，
∴∠EAF＝120°，
∵∠AFC＝∠ADC+∠DCF＜120°，
∴∠EAF≠∠AFC，
∴△AEF≌△ACF，故（2）错误；
连接BF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∵CF＝EF，
∴BF＝EF，
∴∠FBC＝∠FCB，∠ABF＝∠AEF，
∴∠EFC＝2∠ABC＝60°，
∵EF＝CF，
∴△EFC是等边三角形，故（3）正确；
在AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，
则△AFG是等边三角形，
∴FA＝FG，∠AFG＝60°，
∵△EFC是等边三角形，
∴EF＝CF，∠EFC＝60°，
∴∠AFE＝∠GFC，
∵AF＝FG，FE＝FC，
∴△FAE≌△FGC（SAS），
∴AE＝CG，
∴AF+AE＝AC＞CE，故（4）错误，
故答案为：（1）（3）．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题（共54分，第19题-第23题，每题5分；第24题-第25题，每题6分；第26题5分；第27题-第28题，每题6分）
19．（5分）计算：（π﹣2023）0+2﹣2+|﹣4|．
【分析】直接利用零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1++4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20．（5分）解方程：＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x＝3x﹣6，
解得；x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（5分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，AB＝AC．现给出下列条件：
①∠B＝∠C；
②BE＝CD；AE＝AD，
请你选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使得△ABE≌△ACD，并证明．
【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解答】解：选择①，
证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）；
选择②，
证明：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SSS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
22．（5分）下面是小青设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图，
①在直线l上取点A，连接PA；
②作线段PA的垂直平分线MN，分别交直线l，
直线PA于点B，O；
以点O为圆心，OB长为半径画弧，
交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小青设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接PQ，
∵线段PA的垂直平分线交PA于点O，
∴OA＝OP（ 垂直平分线的定义 ）（填推理的依据），
又∵∠AOB＝∠POQ，OB＝ OQ ，
∴△AOB≌△POQ（ SAS ）（填推理的依据），
∴∠PQO＝∠ABO，
∴PQ∥l．
【分析】（1）直接用作法，作出图形，即可得出结论；
（2）利用SAS判断出△POQ≌△AOB，得出∠QPO＝∠BAO，即可得出结论．
【解答】解：（1）用直尺和圆规，补全图形如图2所示：
（2）证明：连接PQ，
∵线段PA的垂直平分线交PA于点O，
∴OA＝OP，（垂直平分线的定义）（填推理的依据），
又∵∠AOB＝∠POQ，OB＝OQ，
∴△AOB≌△POQ（SAS）（填推理的依据），
∴∠PQO＝∠ABO，
∴PQ∥l．
故答案为：垂直平分线的定义，OQ，SAS．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，掌握基本作图是解本题的关键．
23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，4），B（4，2），AOB与△A1OB1关于x轴对称．
（1）画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1，B1的坐标；
（3）在x轴找一点P，使得△PA1B1的周长最短，请在图中画出点P的位置．（不写画法，保留作图痕迹）
【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据点A1，B1在坐标系中的位置上写出各点坐标即可；
（3）连接A1B交x轴于点P，则点P即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求；
（2）A1（﹣2，﹣4），B1（4，2）；
（3）点P如图．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
24．（6分）求代数式的值，其中a＝﹣1．
【分析】先分解因式，约分，再根据分式的加法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝[+]÷
＝（+）•a（a﹣1）
＝•a（a﹣1）
＝3a，
当a＝﹣1时，原式＝3×（﹣1）＝﹣3．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
25．（6分）列方程解应用题：
为落实节约用水的政策，某单位进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该单位在设施改造后，平均每天用水量比原来减少了40%，30吨水可以比原来多用4天，该单位在设施改造后平均每天用水多少吨？
【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x吨，则在改造前平均每天用水（1﹣40%）x吨，根据“30吨水可以比原来多用4天”列出方程并解答．
【解答】解：设该景点在设施改造前平均每天用水x吨，则在改造后平均每天用水（1﹣40%）x吨，
根据题意，得+4＝．
解得x＝5．
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意．
改造后为：5×0.6＝3（吨）．
答：该景点在设施改造后平均每天用水3吨．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26．（5分）阅读下列材料：
我们知道，假分数可以写成带分数的形式，在这个计算过程中，先计算分子中含有几个分母，求出整数部分，再把剩余部分写成一个真分数．例如：．
对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．类似地，我们可以把一个“假分式”写成整式和一个“真分式”的和的形式．例如：；．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）请写出一个假分式： （答案不唯一） ；
（2）请将分式化为整式与真分式的和的形式；
（3）设，则当0＜x＜2时，M的取值范围是 ＜M＜4 ．
【分析】（1）利用“假分式”的定义解答即可；
（2）利用题干中的方法化简运算即可；
（3）将M化成整式和一个“真分式”的和的形式后，利用分式值的意义解答即可．
【解答】解：（1）是假分式（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）；
（2）
＝
＝x+；
（3）
＝
＝3+，
∵0＜x＜2，
∴1＜x+1＜3，
∴＜＜1，
∴3+＜3+＜3+1，
∴＜M＜4，
故答案为：＜M＜4．
【点评】本题主要考查了分式的定义，分式的加减法，分式的基本性质，不等式的性质，本题是阅读型题目，理解新定义和新方法并熟练运用是解题的关键．
27．（6分）如图，△ABC中，AB＜AC，点D为BC边中点，∠BAD＝α．作点B关于直线AD的对称点B'，连接BB'交AD于点E，过点C作CF∥AB交直线AB'于点F．
（1）依题意补全图形，并直接写出∠AB'E和∠AFC的度数（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段AB，AF，CF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题中步骤画图，根据对称和平行的性质求解；
（2）添加辅助线，证明线段相等，利用等量代换证明．
【解答】解：（1）如图：
∵点B关于直线AD的对称点B'，
∴AB＝AB′，
∴△ABE≌△AB′E，
∴∠BAF＝∠BAD＝a，∠AEB＝∠AEB′＝90°，
∴∠AB′E＝90°﹣a，
∵CF∥AB，
∴∠AFC＝180°﹣2a；
（2）AF＝AB+CF；
理由：如图：
连接B′C，B′D，
∵点B关于直线AD的对称点B'，D平分BC
∴BD＝CD＝DB′，
∴∠BB′C＝90°，
∴∠CB′B＝90°﹣∠AB′B＝a，
∴∠B′CF＝180°﹣∠CB′B﹣∠F＝a，
∴∠CB′B＝∠B′CF，
∴CF＝CB′，
∵AB＝AB′，
∴AF＝AB′+B′F＝AB+CF．
【点评】本题考查了轴对称，掌握轴对称的性质三角形的内角和是解题的关键．
28．（6分）对于平面直角坐标系xOy中的任意线段MN，给出如下定义：
线段MN上各点到x轴距离的最大值，叫做线段MN的“轴距”，记作dMN．例如，如图1，点M（﹣2，﹣3），N（4，1），则线段MN的“轴距”为3，记作dMN＝3．将经过点（0，2）且垂直于y轴的直线记为直线y＝2．
（1）已知点A（﹣1，3），B（2，4），
①线段AB的“轴距”dAB＝ 4 ；
②线段AB关于直线y＝2的对称线段为CD，则线段CD的“轴距”dCD＝ 1 ；
（2）已知点E（﹣1，m），F（2，m+2），线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH．
①若dGH＝3，求m的值；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，|dEF﹣dGH|的值总不变，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据题意写出点A、点B到x轴的距离，然后根据“轴距”的定义即可写出dAB的值；
②根据对称写出点C、点D的坐标，即可写出点C、点D到x轴的距离，然后根据轴距”的定义即可写出dCD；
（2）①分两种情形，画出图形，构建方程求解即可；
②分两种情形，构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）①由题意点A（﹣1，3），B（2，4），
点A到x轴的距离为3，点B到x轴的距离4，
∵3＜4，
∴dAB＝4，
故答案为：4；
②∵线段AB关于直线y＝2的对称线段为CD，
∴点C的坐标为（﹣1，1），点D的坐标为（2，0），
∴点C到x轴的距离为1，点D到x轴的距离0，
∵1＞0，
∴dCD＝1，
故答案为：1；
（2）①如图2﹣1中，
∵点E（﹣1，m），F（2，m+2），
∴线段EF关于直线y＝2的对称线段为GH，点G（﹣1，4﹣m），H（2，2﹣m），
∵dGH＝3，
∴4﹣m＝3，
∴m＝1；
如图2﹣2中，∵dGH＝3，
∴2﹣m＝﹣3，
∴m＝5．
综上所述，满足条件的m的值为1或5；
②如图3﹣1中，∵E（﹣1，m），F（2，m+2），
∴E、F关于直线y＝2的对称点G（﹣1，4﹣m），H（2，2﹣m），
当2﹣m≤﹣1时，即m≥3，|dEF﹣dGH|＝|m+2﹣（m﹣2）|＝4＝定值，
如图3﹣2中，当m≤﹣1时，|dEF﹣dGH|＝|﹣m﹣（4﹣m）|＝4＝定值．
综上所述，满足条件的m的范围为：m≥3或m≤﹣1．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段CD的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义．