2023-2024学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）16的平方根是（ ）
A．±8B．±4C．4D．﹣4
2．（2分）如图所示图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．摸到红球、绿球的可能性大小一样
B．这个球可能是绿球
C．摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性
D．这个球一定是红球
5．（2分）若＝a﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a＝5B．a＞5C．a≥5D．a≤5
6．（2分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．不变
7．（2分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与表示数﹣的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
8．（2分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段AB是等腰三角形△ABC的一边，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（2分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ．
11．（2分）若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为 （写出一个即可）．
12．（2分）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝16，S2＝9，AC＝，则AB的长为 ．
13．（2分）△ABC与直线a，b的位置关系如图所示．若a∥b，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠A＝ °．
14．（2分）学校举行“爱我中华”知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当n＝ 时，小云参加这次竞赛是必然事件．
15．（2分）对于任意实数a，b，规定：a⊙b＝．若（x﹣2）⊙（x+2）＝1，则x的值为 ．
16．（2分）已知：如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），CE是△ABC的外角的平分线，以点A为顶点，AD为一边，作∠DAF＝60°，AF交射线CE于点F，连接DF．下列结论一定成立的是 （只填序号）．
①△ABD≌△ACF；
②△ADF是等边三角形；
③AC﹣CD＝CF；
④△CDF的周长的最小值为．
三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣|，
18．（5分）计算：．
19．（5分）计算：．
20．（5分）解方程：﹣＝1．
21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
22．（5分）已知：如图，点F，C在线段AD上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD．求证：BC＝EF．
23．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
（1）“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
（2）比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
24．（6分）列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
25．（6分）已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，AD平分∠BAC．求证：AD⊥BC．
下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程．
26．（7分）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
（1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证；
已知： ．
求证：AC＝AB．
（2）补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E，连接AE．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．（ ）（填推理依据）
∴∠B＝∠BAE．（ ）（填推理依据）
∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝30°．
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°．（ ）（填推理依据）
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．
∴∠BAE＝∠EAC．
∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝90°．
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE．（ ）（填推理依据）
∴AD＝AC．
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝ ．
∴AC＝AB．
27．（7分）如表是a与的几组对应值：
（1）表格中x＝ ，y＝ ；
（2）借助表格解决下列问题：
①若≈2.52，则≈ ；
②若≈5.326，≈53.26，则c＝ （用含有b的代数式表示c）；
③当a＞0时，直接写出与a的大小关系．
28．（7分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE，交直线CE于点F．
（1）若AF＝CE，求证：∠CAB＝45°；
（2）在（1）条件下，取线段AB的中点H，连接FH，用等式表示FA，FC，FH的数量关系，并证明．
2023-2024学年北京市顺义区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16分，每题2分）下列各题均有四个选项,其中只有一一个是符合题意的．
1．（2分）16的平方根是（ ）
A．±8B．±4C．4D．﹣4
【分析】一个数x的平方等于a，则这个数x即为a的平方根，据此即可得出答案．
【解答】解：∵42＝16，（﹣4）2＝16，
∴16的平方根是±4，
故选：B．
【点评】本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2分）如图所示图形是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2分）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答即可．
【解答】解：A、＝，与是同类二次根式，不符合题意；
B、＝2，与是同类二次根式，不符合题意；
C、＝2，与不是同类二次根式，符合题意；
D、3与是同类二次根式，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
4．（2分）不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．摸到红球、绿球的可能性大小一样
B．这个球可能是绿球
C．摸到绿球的可能性大于摸到红球的可能性
D．这个球一定是红球
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：∵不透明的袋子中装有5个红球，2个绿球，随机从袋子中摸出一个球，
∴摸到红球的可能性较大，
∴A、C、D错误，B正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是可能性的大小，熟知概率公式是解题的关键．
5．（2分）若＝a﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a＝5B．a＞5C．a≥5D．a≤5
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵＝a﹣5，
∴a﹣5≥0，
∴a≥5．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6．（2分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．不变
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式为＝•，约分后缩小为原来的．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
7．（2分）如图，数轴上的A、B、C、D四点中，与表示数﹣的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】先估算出≈2.236，所以﹣≈﹣2.236，根据点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，即可解答．
【解答】解：∵≈2.236，
∴﹣≈﹣2.236，
∵点A、B、C、D表示的数分别为﹣3、﹣2、﹣1、2，
∴与数﹣表示的点最接近的是点B．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
8．（2分）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段AB是等腰三角形△ABC的一边，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（ ）
A．4个B．6个C．8个D．10个
【分析】分三种情况：当AB＝AC时；当BA＝BC时；当CA＝CB时；即可解答．
【解答】解：如图：
分三种情况：
当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交正方形网格的格点为C1，C2；
当BA＝BC时，以点A为圆心，以BA长为半径作圆，交正方形网格的格点为C3，C4；
当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交正方形网格的格点为C5，C6；C7，C8，C9，C10；
综上所述：这样的等腰三角形的个数为10，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 3 ．
【分析】根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣3＝0且x+2≠0，
解得x＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键．
10．（2分）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
11．（2分）若三角形的两边长分别为4和6，则第三边的长度可以为 3（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】全等第三边的范围，可得结论．
【解答】解：设第三边为x．则2＜x＜10，
∴x＝3（答案不唯一）．
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决问题．
12．（2分）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝16，S2＝9，AC＝，则AB的长为 1 ．
【分析】根据两个正方形的面积和等于S3，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵S1＝16，S2＝9，
∴S3＝S1+S2＝16+9＝25，
∴BC＝＝5，
∵AC＝，
∴AB＝．
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理即可得到结论．
13．（2分）△ABC与直线a，b的位置关系如图所示．若a∥b，∠1＝40°，∠2＝110°，则∠A＝ 70 °．
【分析】先根据平行线的性质得出∠3的度数，再由对顶角相等得出∠4的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠2＝110°，
∴∠3＝∠2＝110°，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝∠1＝40°，
∴∠A＝∠3﹣∠4＝110°﹣40°＝70°．
故答案为：70．
【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
14．（2分）学校举行“爱我中华”知识竞赛，某班从5名男生和4名女生（含小云）中选6名学生参加这次竞赛．若选择男生n名，则当n＝ 2 时，小云参加这次竞赛是必然事件．
【分析】根据必然事件的概念解答即可．
【解答】解：当选择男生2名时，4名女生全部参加这次竞赛，则小云参加这次竞赛是必然事件，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
15．（2分）对于任意实数a，b，规定：a⊙b＝．若（x﹣2）⊙（x+2）＝1，则x的值为 6 ．
【分析】根据新定义运算得到（x﹣2）⊙（x+2），结合（x﹣2）⊙（x+2）＝1，解分式方程即可解出x的值．
【解答】解：∵x﹣2＜x+2，
∴（x﹣2）⊙（x+2）＝，
即，
方程两边同时乘以2（x﹣2），
得x+2＝2（x﹣2），
解得x＝6，
检验：把x＝6代入2（x﹣2）≠0，
∴方程的解是x＝6，
故答案为：6
【点评】本题考查了新定义运算，解分式方程，本题解题的关键是理解新定义运算，根据题意列出方程从而解题．
16．（2分）已知：如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），CE是△ABC的外角的平分线，以点A为顶点，AD为一边，作∠DAF＝60°，AF交射线CE于点F，连接DF．下列结论一定成立的是 ①②④ （只填序号）．
①△ABD≌△ACF；
②△ADF是等边三角形；
③AC﹣CD＝CF；
④△CDF的周长的最小值为．
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的判定和性质及垂线段最短进行推理．
【解答】解：∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∵CE是△ABC的外角的平分线，
∴∠ACF＝60°＝∠B，
∵∠DAF＝60°，
∴∠BAD＝∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（ASA），故①正确；
∵△BAD≌△CAF，
∴AD＝AF，
∵∠DAF＝60°，
∴△ADF是等边三角形，故②是正确的；
∵△BAD≌△CAF，
∴BD＝CF，
当点D在线段BC上时：AC﹣CD＝BC﹣CD＝BD＝CF，
当点D在线段BC的延长线上时：CF﹣CD＝AC，
故③是错误的；
∵△CDF的周长为：CD+CF+DF＝CD+BD+AD＝BC+AD，
当AD⊥BC时，AD最小，此时AD＝2，
∴△CDF的周长的最小值为，故④是正确的；
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了最短路径问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的判定和性质及垂线段最短是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣|，
【分析】先根据二次根式的乘法法则、零指数幂和绝对值的意义计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝××﹣1+
＝3﹣1+
＝4﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
18．（5分）计算：．
【分析】利用平方差公式，立方根的定义，二次根式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣5+3+
＝2+．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（5分）计算：．
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝a+2．
【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（5分）解方程：﹣＝1．
【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．
【解答】解：在方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：x（x﹣1）﹣2（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
x2﹣x﹣2x﹣2＝x2﹣1，
解得：x＝﹣．
当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为：x＝﹣．
【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤．
21．（5分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝x+3，
当x＝﹣2时，原式＝﹣2+3＝1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
22．（5分）已知：如图，点F，C在线段AD上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD．求证：BC＝EF．
【分析】由全等三角形的SAS判定证得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可证得BC＝EF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝DC，
∴AF+CF＝DC+CF，
∴AC＝DF，
∴在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是根据全等三角形全等的条件证得△ABC≌△DEF．
23．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次．
（1）“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等吗？为什么？
（2）比较“朝上的点数小于3”与“朝上的点数不小于3”这两个事件发生的可能性的大小．
【分析】（1）根据题意得出落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，再根据概率公式即可得出答案；
（2）先求出朝上的点数小于3的概率和朝上的点数不小于3的概率，再进行比较即可．
【解答】解：（1）因为抛掷一枚均匀的骰子（各面上的点数分别为1﹣6点）1次，落地后朝上的点数可能是1、2、3、4、5、6，它们的可能性相同，
所以“朝上的点数是1”与“朝上的点数是6”这两个事件发生的可能性大小相等；
（2）因为朝上的点数小于3的数有1，2，所以发生可能性是＝，
朝上的点数不小于3的数有3，4，5，6，所以发生可能性是＝，
所以朝上的点数小于3与朝上的点数不小于3可能性大小不相等，朝上的点数不小于3发生的可能性大．
【点评】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
24．（6分）列方程解应用题：
某工厂用A型和B型两种机器人生产零件，A型机器人比B型机器人每小时多生产10个零件，A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器人生产800个零件所用的时间相同，求A型、B型两种机器人每小时各生产零件多少个．
【分析】设B型的机器人每小时生产零件x个，则A型的机器人每小时生产零件（x+10）个，根据A型机器人生产1000个零件所用的时间和B型机器大生产800个零件所用的时间相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设B型的机器人每小时生产零件x个，则A型的机器人每小时生产零件（x+10）个，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝40+10＝50，
答：A型机器人每小时生产零件50个，B型机器人每小时生产零件40个．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（6分）已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，AD平分∠BAC．求证：AD⊥BC．
下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程．
【分析】方法一：根据角平分线的性质得出DE＝DF，利用HL证明Rt△BED≌Rt△CFD，Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质及线段的和差求出AB＝AC，根据等腰三角形的性质即可得解；
方法二：延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，利用SAS证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质得出∠CAD＝∠E，AC＝BE，结合角平分线定义求出∠BAD＝∠E，即可判定AB＝BE，则AB＝AC，根据等腰三角形的性质即可得解．
【解答】证明：方法一：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴AE+BE＝AF+CF，
即AB＝AC，
∵点D是BC中点，
∴AD⊥BC；
方法二：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE．
∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴∠CAD＝∠E，AC＝BE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠E，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∵点D是BC中点，
∴AD⊥BC．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
26．（7分）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程．
（1）结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证；
已知： 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30° ．
求证：AC＝AB．
（2）补全上述猜想的证明过程．
证明：作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E，连接AE．（在图中用尺规作图，并保留作图痕迹）
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．（ 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）（填推理依据）
∴∠B＝∠BAE．（ 等边对等角 ）（填推理依据）
∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝30°．
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°．（ 三角形内角和定理 ）（填推理依据）
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．
∴∠BAE＝∠EAC．
∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝90°．
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE．（ AAS ）（填推理依据）
∴AD＝AC．
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝ AB ．
∴AC＝AB．
【分析】先写出已知条件，再根据题意画出几何图形，先根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，AD＝BD＝AB，则∠B＝∠BAE，接着证明△ADE≌△ACE，所以AD＝AC．从而得到AC＝AB．
【解答】已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
求证：AC＝AB．
证明：作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交BC于点E，连接AE，如图，
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∴∠B＝∠BAE．（等边对等角）
∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝30°．
∵△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°．（三角形内角和定理）
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30°．
∴∠BAE＝∠EAC．
∵DE⊥AB，∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝90°．
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE．（AAS）
∴AD＝AC．
∵直线DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝AB．
∴AC＝AB．
故答案为：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角；三角形内角和定理；AAS，AB．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．
27．（7分）如表是a与的几组对应值：
（1）表格中x＝ 0.1 ，y＝ 10 ；
（2）借助表格解决下列问题：
①若≈2.52，则≈ 25.2 ；
②若≈5.326，≈53.26，则c＝ 1000b （用含有b的代数式表示c）；
③当a＞0时，直接写出与a的大小关系．
【分析】（1）根据立方根的定义解答即可；
（2）①根据表格中立方根的规律解答即可；
②根据表格中立方根的规律解答即可；
③分情况讨论：当0＜a＜1时；当a＝1时；当a＞1时；分别比较即可．
【解答】解：（1），，
故答案为：0.1，10；
（2）①若≈2.52，则≈25.2；
故答案为：25.2；
②若≈5.326，≈53.26，则c＝1000b；
故答案为：1000b；
③∵a＞0，
∴当0＜a＜1时，；
当a＝1时，；
当a＞1时，．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握被开方数和立方根的小数点的移动规律是解题的关键．
28．（7分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作AF⊥CE，交直线CE于点F．
（1）若AF＝CE，求证：∠CAB＝45°；
（2）在（1）条件下，取线段AB的中点H，连接FH，用等式表示FA，FC，FH的数量关系，并证明．
【分析】（1）由余角的性质推出∠ACF＝∠CBE，又∠AFC＝∠BEC＝90°，AF＝CE，即可证明△ACF≌△CBE（AAS），得到AC＝BC，推出△ACB是等腰直角三角形，得到∠CAB＝45°；
（2）连接CH，EH，由△ACB是等腰直角三角形，H是AB中点，推出CH⊥AB，∠ABC＝45°∠ACH＝∠ACB＝45°，得到∠ACH＝∠ABC，而∠ACF＝∠CBE，得到∠FCH＝∠EBH，又FC＝EB，CH＝BH，即可证明△FCH≌△EBH（SAS），推出FH＝EH，∠CHF＝∠EHB，得到∠AHF＝∠CHE，由∠CHE+∠AHE＝90°，得到∠AHF+∠AHE＝90°，因此△EFH是等腰直角三角形，得到EF＝FH，于是得到FC＝FE+CE＝FH+AF．
【解答】（1）证明：∵CE⊥BD，
∴∠CBE+∠BCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCE＝90°，
∴∠ACF＝∠CBE，
∵∠AFC＝∠BEC＝90°，AF＝CE，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴AC＝BC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∠CAB＝45°；
（2）解：连接CH，EH，
FC＝AF+FH，理由如下：
∵△ACB是等腰直角三角形，H是AB中点，
∴CH平分∠ACB，CH⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠ACH＝∠ACB＝45°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∵∠ACF＝∠CBE，
∴∠ACH﹣∠ACF＝∠ABC﹣∠CBE，
∴∠FCH＝∠EBH，
由（1）知：△ACF≌△CBE（AAS），
∴FC＝EB，
∵∠CHB＝90°，∠ABC＝45°，
∴△CBH是等腰直角三角形，
∴CH＝BH，
∵∠FCH＝∠EBH，CF＝BE，
∴△FCH≌△EBH（SAS），
∴FH＝EH，∠CHF＝∠EHB，
∴∠AHF＝∠CHE，
∵∠CHE+∠AHE＝90°，
∴∠AHF+∠AHE＝90°，
∴∠FHE＝90°，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EF＝FH，
∵CE＝AF，
∴FC＝FE+CE＝FH+AF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，关键是证明△ACF≌△CBE（AAS），得到AC＝BC；证明△FCH≌△EBH（SAS），从而推出△EFH是等腰直角三角形．方法一证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
方法二证明：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE．
a
…
0.000001
0.001
1
1000
1000000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
方法一证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
方法二证明：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE．
a
…
0.000001
0.001
1
1000
1000000
…
…
0.01
x
1
y
100
…