2023-2024学年北京市通州区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市通州区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若二次根式有意义，则x的取值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2．（2分）下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
5．（2分）如图所示，实数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C，如果a+c＝0，那么下列结论正确的是（ ）
A．b＜0B．ab＜0C．|a|＜|﹣b|D．bc＜0
6．（2分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作三个正方形，如果正方形ACNM和正方形BCGF的面积分别为6和8，那么正方形ABED的面积是（ ）
A．14B．10C．100D．84
8．（2分）根据下列条件：①AB＝5，BC＝6，AC＝7；②AB＝5，BC＝6，∠B＝45°；③∠A＝30°，BC＝3，AC＝4；④AB＝5，BC＝3，∠C＝90°，其中不能唯一确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如果分式的值为0，那么a的值为 ．
10．（2分）六张卡片的正面分别写有π，﹣1.21221，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是 ．
11．（2分）如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 ．
12．（2分）化简：的计算结果是 ．
13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为 ．
14．（2分）如果一个正数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，那么这个数是 ．
15．（2分）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为 ．
16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，如果∠BAD＝2α，那么∠ACB的度数为 （用含α的代数式表示）．
三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27题7分、第2822.\gt
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算．
19．（5分）计算．
20．（5分）如图，在3×3的网格中，线段AB的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上．
（1）在图中作线段DE（线段DE的端点都在格点上），使得DE⊥AB，垂足为P；
（2）在（1）的条件下，猜想线段DE、AB之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）．
21．（5分）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给△ABC添加一个条件：如图，∠B＝∠C，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有AB＝AC，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．
22．（5分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
（1）的整数部分是 ；
（2）如果的整数部分是a，的小数部分是b，求的值；
（3）如果，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且，．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求DE的长．
24．（5分）如图，已知△ABC中AB＝AC，在AC上有一点D，连接BD，并延长至点E，使AE＝AB．
（1）画图：作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF．
25．（6分）列方程解应用题：
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间．
26．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，以AD为边作等边△ADE，点D、点E在直线AC两侧，连接CE．求证：CE∥AB．
27．（7分）已知a＞0，b＞0，证明：．
28．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AC上，连接DB，点E在BA的延长线上且DE＝DB．
（1）求证：∠DBC＝∠ADE；
（2）点E关于直线AC的对称点为F，连接AF、DF、BF．用等式表示线段BE、AF、AD之间的数量关系，并说明理由．
2023-2024学年北京市通州区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）若二次根式有意义，则x的取值可能是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵x﹣2≥0，
∴x≥2，
∴x的取值可能是2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（2分）下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算，判断即可．
【解答】解：A、＝2，故本选项等式错误，不符合题意；
B、（）2＝2，等式正确，符合题意；
C、＝2，故本选项等式错误，不符合题意；
D、（﹣）2＝2，故本选项等式错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
3．（2分）下列手机屏幕手势解锁图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2分）把分式方程的两边同时乘以（x﹣2），约去分母，得（ ）
A．1﹣（1﹣x）＝1B．1+（1﹣x）＝1
C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2D．1+（1﹣x）＝x﹣2
【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数，那么最简公分母为（x﹣2），乘以最简公分母，可以把分式方程转化成整式方程．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得：1+（1﹣x）＝x﹣2．
故选：D．
【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步；注意单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个数为分母，最简公分母为其中的一个，另一个乘以最简公分母后，结果为﹣1．
5．（2分）如图所示，实数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C，如果a+c＝0，那么下列结论正确的是（ ）
A．b＜0B．ab＜0C．|a|＜|﹣b|D．bc＜0
【分析】由题可知，a＜0＜b＜c，|a|＝|c|，|b|＜|c|，由此逐一判断各个选项．
【解答】解：∵a+c＝0，
∴数轴的原点0在a与b之间，
∴a＜0＜b＜c，|a|＝|c|，|b|＜|c|，
A、由题意知，a＜0＜b，∴b＞0，故A选项不符合题意；
B、由题意知，a＜0＜b，∴ab＜0，故B选项符合题意；
C、由题意知，a＜0＜b，|a|＝|c|，|b|＜|c|，∴|﹣b|＜|a|，故C选项不符合题意；
D、由题意知，a＜0＜b＜c，∴bc＞0，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴的简单运用，解题的关键是正确提取已知条件．
6．（2分）如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，
∴PA＝PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
7．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外作三个正方形，如果正方形ACNM和正方形BCGF的面积分别为6和8，那么正方形ABED的面积是（ ）
A．14B．10C．100D．84
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，正方形ACNM和正方形BCGF的面积分别为6和8，
∴AC2＝6，BC2＝8，
∴AB2＝AC2+BC2＝6+8＝14，
∴正方形ABED的面积是14，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
8．（2分）根据下列条件：①AB＝5，BC＝6，AC＝7；②AB＝5，BC＝6，∠B＝45°；③∠A＝30°，BC＝3，AC＝4；④AB＝5，BC＝3，∠C＝90°，其中不能唯一确定△ABC的形状和大小的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】由全等三角形的判定，即可判断．
【解答】解：①AB＝5，BC＝6，AC＝7，三角形的三边确定，由SSS知能唯一确定△ABC的形状和大小，故①不符合题意；
②AB＝5，BC＝6，∠B＝45°，三角形的两边和夹角确定，由SAS知能唯一确定△ABC的形状和大小，故②不符合题意；
③∠A＝30°，BC＝3，AC＝4，∠A是BC的对边，不能唯一确定△ABC的形状和大小，故③符合题意
④AB＝5，BC＝3，∠C＝90°，Rt△ABC的斜边和一直角边确定，由HL知能唯一确定△ABC的形状和大小，故④不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法，
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）如果分式的值为0，那么a的值为 ﹣1 ．
【分析】根据分式的值为零的条件得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴a+1＝0且2a﹣1≠0，
解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
10．（2分）六张卡片的正面分别写有π，﹣1.21221，，0，，这六个数，将卡片的正面朝下（反面完全相同）放在桌子上，从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是 ．
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【解答】解：在这六张卡片中，无理数有π，，
所以从中任意抽取一张，卡片上的数字为无理数的可能性大小是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式和无理数的定义．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，无理数是无限不循环小数．
11．（2分）如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 AB＝DC ．
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥BC，
∴∠ACB＝∠CBD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴应添加的条件是AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
12．（2分）化简：的计算结果是 ．
【分析】先通分，再进行化简即可．
【解答】解：原式＝＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查异分母分式的加减法．熟练掌握异分母加减法的运算法则，是解题的关键．
13．（2分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，则点D到AB的距离为 4 ．
【分析】直接根据角平分线的性质可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，CD＝4，
∴点D到AB的距离为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
14．（2分）如果一个正数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，那么这个数是 49 ．
【分析】根据平方根的性质列得方程，解方程求得a的值，然后求得a+3的值，再将其平方即可．
【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，
∴a+3+2a﹣15＝0，
解得：a＝4，
则a+3＝4+3＝7，
那么这个数为72＝49，
故答案为：49．
【点评】本题考查平方根的性质，利用一个正数的两个平方根互为相反数列得方程是解题的关键．
15．（2分）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为 ．
【分析】利用面积法求解．
【解答】解：由题意大正方形的面积为2，
所以大正方形的边长为．
故答案为：．
【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求解．
16．（2分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，如果∠BAD＝2α，那么∠ACB的度数为 90°﹣α （用含α的代数式表示）．
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，∠BAD＝2α，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25、26题每小题5分，第27题7分、第2822.\gt
17．（5分）计算：．
【分析】利用绝对值的性质，立方根的定义，二次根式的运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣3+3﹣2＝﹣．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（5分）计算．
【分析】先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式＝+4﹣（3﹣4）
＝+4+1
＝5+1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法法则是解决问题的关键．
19．（5分）计算．
【分析】先将除法转化为乘法、同时将分子和分母因式分解，再约分，继而计算分式的减法即可．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20．（5分）如图，在3×3的网格中，线段AB的端点都在格点（网格中横线与竖线的交点）上．
（1）在图中作线段DE（线段DE的端点都在格点上），使得DE⊥AB，垂足为P；
（2）在（1）的条件下，猜想线段DE、AB之间的数量关系，并说明理由（根据需要可以自己标注字母）．
【分析】（1）利用网格特征数形结合的射线画出图形；
（2）利用勾股定理计算判断．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）结论：AB＝DE．
理由：∵AB＝＝．DE＝＝，
∴AB＝DE．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
21．（5分）我们研究了三角形有关边、角和主要线段的性质后，小龙同学给△ABC添加一个条件：如图，∠B＝∠C，小龙同学通过观察、猜想、动手测量，发现始终有AB＝AC，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．
【分析】解法一：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，进而可依据“AAS”判定△ABD和△ACD全等，然后由全等三角形的性质可得出结论；
解法二：作∠BAC的平分线交BC于点E，则∠BAE＝∠CAE，进而可依据“AAS”判定△ABE和△ACE中全等，然后由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】解法一：过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示：

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC；
解法二：作∠BAC的平分线交BC于点E，如图2所示：
∴∠BAE＝∠CAE，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
22．（5分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但是根据的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成．请解答下面题目．
（1）的整数部分是 2 ；
（2）如果的整数部分是a，的小数部分是b，求的值；
（3）如果，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．
【分析】（1）利用4＜7＜9得到2＜＜3，从而得到的整数部分；
（2）利用9＜13＜16得到3＜＜4，从而得到a、b的值，然后计算代数式的值；
（3）利用16＜17＜25得到4＜＜5，所以8＜4+＜9，从而得到x、y的值，然后计算x﹣y的值．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴的整数部分为2；
故答案为：2；
（2）∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴a＝3，b＝﹣3，
∴a+b﹣＝3+﹣3﹣2＝﹣；
（3）∵16＜17＜25，
∴4＜＜5，
∴8＜4+＜9，
∴x＝8，y＝4+﹣8＝﹣4，
∴x﹣y＝8﹣（﹣4）＝12﹣．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：利用无理数的估算确定它的整数部分是解决问题的关键．
23．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且，．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求DE的长．
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB，再根据勾股定理的逆定理求出△ABD是直角三角形；
（2）由三角形的面积即可求出DE的长．
【解答】解：（1）△ABD是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD2+BD2＝（）2+（2）2＝25＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
（2）∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，DE⊥AB，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝AD•BD，
∴DE＝＝＝2．
【点评】本题考查了三角形面积、勾股定理的逆定理、勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABD是直角三角形是解决问题的关键．
24．（5分）如图，已知△ABC中AB＝AC，在AC上有一点D，连接BD，并延长至点E，使AE＝AB．
（1）画图：作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，求证：∠ABE＝∠ACF．
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F；
（2）结合（1），证明△EAF≌△CAF，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图，AF即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，AE＝AB，
∴AC＝AB，∠E＝∠ABE，
由（1）知：AF平分∠EAC，
∴∠EAF＝∠CAF，
在△EAF和△CAF中，
，
∴△EAF≌△CAF（SAS），
∴∠E＝∠ACF，
∴∠ABE＝∠ACF．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△EAF≌△CAF．
25．（6分）列方程解应用题：
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的速度的倍，求规定时间．
【分析】设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的速度的倍，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设规定时间为x天，
由题意得：＝×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
答：规定时间为4天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．
26．（6分）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC边上，以AD为边作等边△ADE，点D、点E在直线AC两侧，连接CE．求证：CE∥AB．
【分析】利用SAS证明△BAD≌△CAE，得∠ACE＝∠B＝60°，再利用内错角相等，两直线平行即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠ACE＝∠BAC，
∴CE∥AB．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
27．（7分）已知a＞0，b＞0，证明：．
【分析】先通过分式的计算推理出+﹣≥0，此题结论即可得以证明．
【解答】证明：∵+﹣
＝﹣
＝
＝
＝
＝，
∵a＞0，b＞0，
∴（a﹣b）2≥0，ab＞0，a+b＞0．
∴≥0，
即+﹣≥0，
∴⋅
【点评】此题考查了分式推理问题的解决能力，关键是能准确地分式计算、推理．
28．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AC上，连接DB，点E在BA的延长线上且DE＝DB．
（1）求证：∠DBC＝∠ADE；
（2）点E关于直线AC的对称点为F，连接AF、DF、BF．用等式表示线段BE、AF、AD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠CAB＝∠CBA＝45°，然后利用三角形的外角定义即可解决问题；
（2）结合（1）证明△DBC≌△ADE（AAS），得BC＝DG，CD＝EG，证明△AGE是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质和线段的和差即可得结论．
【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵DE＝DB，
∴∠DEB＝∠DBE，
∵∠CAB＝∠ADE+∠AED＝45°，∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝∠ADE；
（2）解：BE＝2AF+AD．理由如下：
∵点E关于直线AC的对称点为F，
∴EG＝FG，AG⊥EF，AE＝AF，
在△DBC和△ADE中，
，
∴△DBC≌△ADE（AAS），
∴BC＝DG，CD＝EG，
∵∠EAG＝∠BAC＝45°，
∴△AGE是等腰直角三角形，
∴AG＝EG＝AE，
∴AG＝AF，
∴AG＝EG＝CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，
∴BE＝AE+AB＝AF+BC＝AF+（AD+CD）＝AF+（AD+AG）＝AF+（AD+AF）＝2AF+AD．
∴BE＝2AF+AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，解决本题的关键是得到△DBC≌△ADE．