安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线的方程写成标准方程形式，即可求解.
【详解】由，得到，所以抛物线的焦点坐标为，
故选：C.
2. 若直线的方向向量为，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的斜率等于直线的方向向量的纵坐标与横坐标之比求解即可.
【详解】因为直线的斜率为，
又因为直线的方向向量为，
所以，解得.
故选：
3. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合双曲线标准方程的形式，列出不等式，即可求解.
【详解】由方程表示双曲线，则满足，
即，解得或，所以实数的取值范围为.
故选：A.
4. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】结合图象，及双曲线对称性及定义可得答案.
【详解】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则，
后由双曲线的定义知.
故选：D

5. 已知数列满足，，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由可判断A选项；利用递推公式求出的值，可判断B选项；利用递推公式结合可判断C选项；利用等差数列的定义求出的通项公式，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，即，C对；
对于D选项，由题意可知，数列为等差数列，首项为，公差为，
所以，D错.
故选：C.
6. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】∵，
∴，
∴，
∴
，
故选：B
7. 已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】作出曲线对应的曲线，将看作曲线C上的点到直线的距离，结合圆心到直线的距离求得d的最小值和最大值，即可求得答案.
【详解】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；
由于时，曲线的方程为，即，
故结合曲线对称性，作出曲线C如图：
而表示曲线C上的点到直线的距离，
可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，
当时，曲线的方程为，即，
此时d的最小值为，
当时，曲线的方程为，即，
此时d的最大值为，
故的最小值与最大值之和为，
所以的最小值与最大值之和为，
故选：C．
8. 已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线，与的两支交于两点，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点为，可判断在双曲线的右支上，设，，根据同角三角函数的基本关系及切线的性质，可求出，，，在中，由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到的关系式，即可得解.
【详解】由题意知双曲线的焦点在轴上，过作圆的切线，设切点为，
因为，所以在双曲线的右支上.如图，
则，且，，由勾股定理知.
设，则，.
设，
由，即，得.
在中，
.
由正弦定理得，
所以，.
又，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 过两点的直线方程为
C. 已知直线过点且在轴上截距相等，则直线的方程为
D. 若曲线与有两个交点，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】化简直线方程为，联立方程求得交点坐标，可判定A正确；根据直线的两点式方程的形式，可判定B正确；根据过原点时，直线在坐标轴上的截距相等，可判定C错误； 化简曲线方程为，利用直线与圆位置关系，结合图像，列出方程，即可求解.
【详解】对于A，由直线，可化为，
联立方程组，解得，所以直线恒过定点，所以A正确；
对于B，设过两点直线上的任意一点为，
可得，
因为，可得，
所以过两点的直线方程为，所以B正确；
对于C，由直线过点且在轴上截距相等，
当直线过原点时，此时直线方程为；
当直线不过原点时，设直线的方程为，可得，解得，
此时直线的方程为，
所以过点且在轴上截距相等的直线方程为或，所以C错误；
对于D，由曲线方程，可得，
所以曲线表示以为圆心，半径的上半圆，如图所示，
当直线相切时，圆心到直线的距离，
解得或（舍去）；
当直线过点时，可得
要使得与曲线有两个公共点，则满足，
所以实数的取值范围是，所以D正确.
故选：ABD.
10. 已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 点的轨迹长度为
C. 线段长度的最小值为D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平面平面，可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，建立空间直角坐标，利用数量积公式计算，依次判断可选项可求得结果.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
正方体的内切球的球心为正方体的中心，半径，
平面的法向量： ，，设，
由，即，令，则，，所以.
对于选项A， ，因为平面，所以，而，
所以，即，A正确.
对于选项B，因为平面，平面平面，
所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.
设平面与正方体的中心的距离，设平面的法向量为，
，，
设，由，可得，
令，则. ，
∴点到平面的距离为，
∴圆的半径为，
∴圆的周长，即点的轨迹长度为，B错误.
对于选项C， ，点在球面上，
线段长度的最小值为，C选项正确.
对于选项D，设与夹角为，，.
在平面直角坐标系中， ，， ，，
， ，
所以，令， ，
，
所以的最小值为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点的轨迹为平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系求解计算.
11. 已知点为双曲线右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】分析可知四点共圆，利用圆的几何性质可判断A，设点，利用点到直线的距离公式可判断B；求出的面积，可判断C；利用余弦定理结合基本不等式可判断D.
【详解】对于A，由题意可知，，则四点共圆，
且为该圆的一条直径，为该圆的一条弦且不可能为直径，故，故A正确；
设点，则，双曲线的渐近线方程为，即，
所以，故B错误；
对于C，因为双曲线的两条渐近线的斜率分别为，所以双曲线的两渐近线的夹角为，
所以，，
因为，则，因为，则，同理，
所以，
则，故C正确；
对于D，由C选项可知，且，
由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.
【详解】由，，
得，由解得，
所以.
故答案为：.
13. 已知双曲线过点 且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程是_____
【答案】
【解析】
【分析】利用渐近线方程来设双曲线方程，通过代点，即可求得双曲线.
【详解】根据渐近线方程为 ，可设该双曲线方程，，
由双曲线过点，代入可得：，解得，
所以该双曲线方程，即，
故答案为：.
14. 如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，切点圆分别为.这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为G.Dandelin双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是__________.

【答案】6
【解析】
【分析】在椭圆上任取一点，连接交球于，交球于点，根据可知，则，由此可求得最小值.
【详解】解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，

连接，在与中有：
，（为圆的半径，为圆的半径，），
，
为公共边，所以，所以，
设点沿圆锥表面到达的路线长为，
则，
当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，
，所以最小值为6.
故答案：6.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是证明得出 ，从而，转化为 三点共线时求.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 在数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将变形为，即可得通项公式；（2）首先去绝对值给出的表达式，再进行求和即可求解.
【小问1详解】
因为，所以.
又，故，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，所以.
设，的前项和为，其中，
故.
当时，，当时，，
所以，当时，；
当时，.
综上，.
16. 设，圆过三个点.
（1）求圆的方程；
（2）设点，若圆上存在两个不同的点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用圆的几何性质，求出圆心和半径，即可求解；
（2）设，根据条件得，从而将问题转化成两圆相交，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.
【小问1详解】
易知圆心为线段垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
因为，则，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，即，
又易知线段的垂直平分线的方程为，
由，解得，所以圆心为，
又，即圆半径为，所以圆的方程为.
【小问2详解】
设，因为，，
所以，
化简得，若，则，
此时，又，即不在圆上，不合题意，所以，
则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交，
又，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
17. 如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，，.设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为k的直线过点，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为，若，求的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到笔尖留下的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，结合抛物线的定义，即可求得其轨迹方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，结合共线向量的坐标表示，得到，列出函数关系式，结合二次函数的性质得出不等式，即可求解.
【小问1详解】
由题意，笔尖到点的距离与它到直线的距离相等，
所以笔尖留下的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
设其方程为，则，
因为，，且，
可得，
由，可得点的横坐标为，
又由抛物线的准线方程为，则，解得，
所以曲线的轨迹方程为.
【小问2详解】
假设存在，使得，
设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，且，
则，则，
可得，
由，可得，即，所以，
令，则，
所以，且，即，解得或，
所以存，使得成立.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.
（1）已知平面平面，求证：.
（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面，然后由线面平行性质定理得线线平行；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，写出各点坐标．由共面，即由向量共面定理求得，再求得平面的一个法向量，由向量法求得线面角的正弦值．
【小问1详解】
由已知，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面＝，
所以；
【小问2详解】
由已知是正三角形，是中点，则，而，所以，又平面，
故以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，则，，，，，则，
．，，．
设，则，
又共面，
所以存在实数，值得，
即，解得，
所以．
设平面的一个法向量是，
则，令，则，即，
设直线AQ与平面PCD所成角为，则
．
19. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且．求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点；
（3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形面积的最小值．
【答案】（1）
（2）定点为
（3）
【解析】
【分析】（1）由题知四边形为菱形，为其中心点，则圆的半径为到直线的距离，求解出相关量即可；
（2）设，，，由可得，写出以AB为直径的圆的方程并化简得，令即可得到定点；
（3）设直线PM方程为，根据相切得到，直线PM代入椭圆可得，即，同理可得，证得、、三点共线，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，
所以四边形为菱形，为其中心点，
又，坐标分别为，，可得直线方程为，
则原点到直线的距离为，
即圆的半径，故圆的标准方程为．
【小问2详解】
设，，，
则，，
又，所以，
结合可得，，
设以AB为直径的圆上的点，
则，，
，
化简得，
令，则，解得或，
所以该圆恒过异于F的定点．
【小问3详解】
设直线PM方程为，由直线PM与圆相切，可知原点到直线PM的距离，整理可得，
将直线PM方程代入椭圆可得，，
整理即有，设，，
则，
即，故，
同理，，故、、三点共线，则，
设代入椭圆方程可得，则，
故，
同理，，
从而，，
所以，，得，
因此，，当且仅当时等号成立，
故三角形PMN面积的最小值为．