安徽省合肥市第一中学2026届高三上学期数学素质拓展训练（一）试卷（Word版附解析）

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考试用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题否定直接写出即可.
【详解】命题：，
则：.
故选：C
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次不等式确定B，再利用交集概念计算即可.
【详解】，
又，所以.
故选：D
3. 不等式的解集是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】分、两种情况分别求解一元二次不等式即可.
【详解】当时，不等式可化为，即，
得；
当时，不等式可化为，即，
得；
则不等式解集是.
故选：A
4. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数以及对数函数的性质求出集合，根据二者的关系，即可判断出答案.
【详解】由可得，则；
由，得，故，
由于是的真子集，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5. 若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数x，y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即，又，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
6. 已知是函数的一个零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正切函数的零点得解.
【详解】令，得，
所以，.
故选：A
7. 已知，则，，的大小关系不可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，分别讨论情况下的关系，进而得出结果.
【详解】设，则
当时，，选项A正确；
当时，，，，
所以，，
，
由此可得，选项B正确；
当时，同理可得，选项C正确.
故选：D.
8. 已知为偶函数，当 时， ，若关于 的方程 恰有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解方程得到或，方程有两根，问题转化为方程有两个不同于方程的两根，数形结合，可求的取值范围.
【详解】因为.
所以或
当时，，此时方程无解；
当时，.
因为为偶函数，所以有两解，分别为和.
又方程恰有4 个不同的实根，
所以也有两个不同于和的两根.
作出函数的草图如下：

要使有两个不同于和的两根，则或且.
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知a，b，c都是实数，下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用零指数幂的定义计算求解判断选项A，根据对数的运算法则计算判断选项B，根据指数函数性质结合特殊值验证判断选项C，利用不等式性质，两边同时乘以负数时，不等号方向改变判断选项D.
【详解】若，时，则，故A错误；
若，时，，故B正确；
若，当时，，但，命题不成立，故C错误；
当时，，又，所以，故D正确.
故选：BD
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 函数的定义域为
C. 若，则函数的最小值为2
D. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法可得A错误；由具体函数的定义域可得B正确；由基本不等式可得C错误；分，，当时由二次函数的性质可得D正确；
【详解】对于A，不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为或，故A错误；
对于B，由题意可得，解得，所以函数的定义域是，故B正确；
对于C，函数，
当且仅当时取等号，但在内无解，故C错误；
对于D，当时，不等式变为，恒成立，符合题意；
当时，由二次函数的性质可得，解得，
综上的取值范围是，故D错误；
故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数满足：①；②对，有；③且，有，则下列选项正确的有（ ）
A. B.
C. 不等式的解集为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过赋值法，令求得可判断A；通过赋值法得到对，及，利用基本不等式可判断B；由题设中③可知函数是定义在上的减函数，利用单调性解不等式即可判断C；通过赋值法归纳得到，再利用等比数列的求和公式即可判断D.
【详解】对于A，由，令，得，
，∴，故A正确；
对于B，由，令，得，
因为对，，
令得，
所以对，，
令，得，
，当且仅当时等号成立.故B正确；
对于C，由且，有，得是上的减函数，又，∴，解得.故C不正确；
对于D，由，
令得；
令得；
……
令得；
所以
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 不等式的解集是___________
【答案】
【解析】
分析】将分式不等式化成整式不等式进行求解.
【详解】因为恒成立，所以等价于或，
解得或，
所以不等式的解集是；
故答案为：
13. _____________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值.
【详解】原式
故答案为：
14. 设函数.如果对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用奇函数定义得到函数为奇函数，然后再求出为增函数，即可求得，即，再求出，即可求解.
【详解】由题意得对于任意，
有
，
所以函数为奇函数.
又因为与在上单调递增，
所以在上是增函数，
所以，即，
即对任意都成立，
由，其中，
所以，
所以，解得.
故实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：第15题13分，第16和第17趣各15分，第18和19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，，全集．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），=；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可；
（2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可.
【小问1详解】
当时，，
由，
所以，
又因为或，
所以=.
【小问2详解】
由可得，
所以当时，有，解得，
当时，有，解得．
综上，所以的取值范围为．
16. 如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则

（1）求关于x的函数关系式；
（2）若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用扇形弧长公式计算即可；
（2）先计算扇环面积，再化简变形利用基本不等式计算最值即可.
【小问1详解】
由题意可知：，
则，即，
又，所以即，
所以；
【小问2详解】
易知大扇形与小扇形的面积分别为：，
所以扇环的面积为，
结合（1）得，
则砖雕面积与雕刻费用之比为，
整理得
，当且仅当时等号成立，
所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5.
17. 已知函数（为常数，）．
（1）当取何值时，函数为奇函数；
（2）当时，若方程在上有实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义直接构造方程求解即可；
（2）根据指数函数和对勾函数单调性可求得，令，将问题转化为方程在上有根，结合单调性可求得结果.
【小问1详解】
若为奇函数，则，
即，
，，，解得：.
【小问2详解】
当时，，，
，
当时，，又在上单调递增，
当时，，
令，则方程在上有实根，
在上有实根，又在上单调递增，
，.
18. 已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．
（1）判断函数的奇偶性并用定义证明；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式：．
【答案】（1）函数是奇函数，证明见解析
（2）函数在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解；
（2）利用函数的单调性定义证明；
（3）利用函的奇偶性和单调性求解即可.
【小问1详解】
函数是奇函数，
证明：令，则，解得，
令，则，令，则．
为定义在上的奇函数．
【小问2详解】
函数在上单调递减，
证明：，设，则，
，
，，．
又，，
又当时，，由（1）知为定义在上的奇函数．
则当时，，，
，即，即，
在上单调递减；
【小问3详解】
因为，
由（1）知为定义在上的奇函数，
则，
的定义域为且在上是单调递减的，
解得，
不等式的解集为．
19. 定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.
（1）证明：；
（2）证明：当时，；
（3）证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义可直接计算证明；
（2）设，求导证明即可；
（3）根据题意证明，转化为证，令，即证，令，利用导数可得时，，时，即可求解.
【小问1详解】
证明：.
【小问2详解】
证明：注意到，且．
设，则．
因为是增函数，所以当时，．
从而当时，，即在上单调递增，
所以，则，当且仅当时等号成立．
【小问3详解】
证明：，
，
，
，
，
，
令，则且，
即证，
令，
因为，
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，
即在单调递增，且，
所以时，，时，，
即在且时恒成立，
故．