甘肃省武威市凉州区第十中学九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威市凉州区第十中学九年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把2移项，然后两边同时加上4，即可得出答案．
详解】解：由，得
，
配方，得
，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法解方程，熟练掌握相关知识是解题关键．
2. 当时，与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，、则a、b同号，
当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
3. 若代数式x﹣3y+7的值为5，则值一定为7的代数式是（ ）
A. x+y+5B. x+3y+2C. 2x﹣6y﹣3D. ﹣2x+6y+3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得：，即，代入各选项，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，即
A、，值不一定为，不符合题意；
B、，值不一定为，不符合题意；
C、，值不为，不符合题意；
D、，值为，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查代数式求值，根据已知等式正确变形是解题关键．
4. 已知实数x满足，则的值为（ ）
A. 6B. -2或6C. -2D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题可先设 ，则方程变形为 ，解方程即可求出的值．
【详解】设，则方程变形为：
，
即，
，即；
当时， 此方程无实数根
当时， 满足题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了换元法，把某个式子看作一个整体，用一个字母代替去求解，解决本题的关键是求出代数式的值要进行讨论是否符合题意．
5. 已知，点、、都在函数的图像上，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为y轴，根据在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可判断纵坐标的大小．
【详解】∵二次函数y＝−x2，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝0，即y轴．
∵a＜−1，
∴a−1＜a＜a＋1＜0，
∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，比较简单．
6. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A. 9人B. 10人C. 11人D. 12人
【答案】C
【解析】
【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.
7. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则的值为( )
A. 或B. C. 10D. 10或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的运用，根据完全平方式的特点，进行求解即可．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴或，
∴或；
故选D．
8. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用，；，，于是当在1.2与1.3之间取一个数时，一定可以等于0，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：，；，，
当在1.2与1.3之间取一个数时，，
即方程的一个根的范围为．
故选：C．
9. 如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，互相垂直，余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．如果设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程．
【详解】解：设小路的宽度为，
那么耕地的总长度和总宽度应该为，；
根据题意即可得出方程为：，、
整理得：，
故选：C.
10. 下列说法正确的是（ ）．
①若 ，则一元二次方程 必有一根为 -2．
②已知关于x 的方程 有两实根，则k 的取值范围是 ﹒
③一个多边形对角线的条数等于它的边数的 4倍，则这个多边形的内角和为1620度 ．
④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度 ，则原多边形的边数是 11或 12．
A. ①③B. ①②③C. ②④D. ②③④
【答案】A
【解析】
【分析】①由可得4a-2b+c=0，当x=-2时，4a-2b+c=0成立，即可判定；②运用一元二次方程根的判别式求出k的范围进行比较即可判定；③设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求得n即可判定；④分剪刀所剪的直线过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法进行判定即可．
【详解】解：①b=2a+c，则4a-2b+c=0，
一元二次方程必有一个根为-2．故①说法正确；
②：有两实数根，
:原方程是一元二次方程．
，故②说法错误；
③设这个多边形边数为n，
则
解得n=11或0(舍去）
:这个多边形是11边形．
:这个多边形的内角和为：
(11-2)×180°=9×180°=1620°．
故③说法正确；
一个多边形剪去一个角的剪法有过多边形一个顶点、两个顶点和不过顶点三种剪法，会有三个结果，故④错．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及多边形内角和定理，灵活应用所学知识是正确解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11. 已知，则的值是 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：设，则原方程转化为，
所以或，
所以（舍去）或，
所以，
故答案为：2．
12. 抛物线的顶点关于x轴对称后坐标为 __________，对称轴为 _______．
【答案】 ①. ②. y轴
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线解析式化为顶点式．
先将抛物线解析式化为顶点式，得出顶点坐标，然后写出对称轴和关于x轴对称的顶点坐标即可．
【详解】解：，
抛物线的顶点坐标为0,1，
对称轴为直线，即y轴．
关于x轴对称的顶点坐标为,
故答案为：，y轴．
13. 已知、满足，，则的值等于_______．
【答案】或．
【解析】
【分析】分两种情况：当时，由，，构造一元二次方程，则其两根为，利用根与系数的关系可得答案， 当时，代入代数式即可得答案，
【详解】解：时，
、满足，，
、是关于的方程的两根，
，，
则
当时，原式
的值等于或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，掌握分类讨论，一元二次方程的构造是解题的关键．
14. 如图，A，B为抛物线上的两点，且轴于点．若，则该抛物线对应的函数解析式为 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，先求出点的坐标，再将点的坐标代入，得出函数解析式．
【详解】解：轴于点，，
，
将代入，
得，
，
故答案为：．
15. 如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是，当水位线在位置时，A到B的水面宽为，求水面离桥顶的高度_______．
【答案】##9米
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，设，把2,−1代入求出函数表达式，再把代入即可求出水面离桥顶的高度．
【详解】解：桥拱是抛物线，顶点为原点，
∴设，
把2,−1代入得：，
解得，
，
∵A到B的水面宽为，
∴点B的横坐标，
把代入得，，
水面离桥顶的高度为，
故答案为：．
16. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________．
【答案】2021
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、是解题的关键．根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出、，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：2021
17. 某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同．则每个月生产成本的下降率是______．
【答案】5%
【解析】
【分析】设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
【详解】设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1−x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
故答案为：5%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
18. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】解：，
∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
19. 解下列方程：
（1）；
（2）（配方法）；
（3）．
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．
（1）将原式两边除以3并移项后整理成，再开平方求解即可；
（2）将原式用配方法整理成即，用开平方求解即可；
（3）用因式分解法将原式转化成，再解两个一次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，即，
，
，；
【小问3详解】
解：，
，
或，
，．
20. 关于x的一元二次方程有实根.
（1）求k的最大整数值；
（2）当k取最大整数值时，方程的根满足，求m的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】(1)根据方程有实数根,可得判别式大于等于零,根据解不等式,可得答案;
(2)把k=4代入方程，可得方程的解,把方程的解代入,可得关于m的一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案.
【详解】（1）；（2）．
解：（1）根据题意知△=，
∵
∴
解得：
∴k的最大整数值为4.
（2）∵
∴方程为
则解得方程的根为；
把代入方程得，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式,利用了根的情况判别参数的范围,同时考查一元二次方程的解.
21. 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）或．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
【小问2详解】
解：∵，是关于x一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
22. 二次函数的经过点、．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点，也在函数的图象上，求、的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式即可求出m与n的值．
【小问1详解】
将点、代入得：
，
解得：，
则二次函数解析式为；
【小问2详解】
将，代入二次函数解析式得：，
将，代入二次函数解析式得：，即．
23. 把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于平方米吗？请说明理由．
【答案】（1）剪成一段为4米，则另一段就为4米；
（2）不可能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质表示出边长进而得出等式求出即可；
（2）利用正方形性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可．
【小问1详解】
解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
解得：．
答：剪成的一段为4米，则另一段就为4米；
【小问2详解】
解：设剪成的一段为米，则另一段就为米，
由题意得，
变形为：，
解得：，舍去，，舍去，
即：这两个正方形面积的和不可能等于．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据正方形的性质表示出正方形的边长是解题关键．
24. 某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
（1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑
（2）三轮传播后，被感染的电脑共有3456台
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键．
（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有，再解方程求出满足条件的x的值即可；
（2）将代入中计算即可．
【小问1详解】
解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：，即，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑；
【小问2详解】
解：由题意可知，，
由（1）知，
则（台），
答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台．
25. 某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．
（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？
【答案】（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．
【解析】
【分析】（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；
（2）假设下调a个50元，销售冰箱数量＝原销售量+多售出量，即可列方程求解．
【详解】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．
解得a＝3．
所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
26. 如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
（1）求a的值和点B的坐标；
（2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等：
（1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标；
（2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵轴，且点B在抛物线上，
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称，
∴
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵的面积为2，轴，
∴，
∴，
∴或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或或或．
27. 已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则
（1）当面积为4时，求P点的坐标；
（2）求周长的最小值．
【答案】（1）或
（2）5
【解析】
【分析】（1）设P点的坐标为，根据面积为4求出点P的横坐标，代入解析式得到对应y值，即可求解；
（2）过点M作轴于点E，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短及为定值，即可得出当点P运动到点时，周长取最小值，由此可解．
【小问1详解】
解：设P点的坐标为，
点F的坐标为，
，
当的面积为4时，，
解得：，
，
点P的坐标为或．
【小问2详解】
解：过点M作轴于点E，与抛物线交于点．
抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，
，
又为定值，
当点P运动到点时，周长取最小值，
,，
，，
，
周长的最小值为5．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
0.29
0.76