甘肃省武威市凉州区片区九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省武威市凉州区片区九年级上学期12月月考数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
、是中心对称图形，故选项符合题意；
、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：．
2. 已知关于的方程有实数根，则的值可以是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程有无实数根的知识，根据题意使得，求出，再结合选项即可得出结论．
【详解】解：∵关于的方程有实数根
∴
解得：
∴结合选项的值可以是0；
故选：D．
3. 抛物线上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据抛物线解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小，即可得到答案．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小，
点离对称轴最远，点在对称轴上，
，
故选：D．
4. 正六边形的半径为4，则该正六边形的边心距是（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的性质，掌握正六边形可以分成六个等边三角形是解题关键．由题意可知，是等边三角形，过点作于点，则，再利用勾股定理求出的长，即为该正六边形的边心距．
【详解】解：如图，正六边形可以分成六个等边三角形，即是等边三角形，
正六边形的半径为4，
，
过点作于点，
，
，
即该正六边形的边心距是，
故选：B

5. 设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线与有交点，则与的关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交，若，则直线与圆相切；根据直线与有交点包括一个交点和两个交点，即直线与圆相切或相交进行解答即可.
【详解】若，则直线与圆相交，直线与圆有两个交点，
若，则直线与圆相切，直线与圆有一个交点，
根据直线与有交点包括一个交点和两个交点，则与的关系为.
故选：D.
6. 如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 30πB. 60πC. 65πD. 90π
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理可求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】∵圆锥的底面半径是5，高为12，
∴侧面母线长为．
∴圆锥的侧面积．
故选C．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
7. 如图，四边形内接于，为边延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．由圆周角定理可得，由圆内接四边形的性质可得．，再结合邻补角的定义，即可求出的度数．
【详解】解：，
，
四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
8. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长，轮子的吃水深度CD为，则该桨轮船的轮子直径为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案
【详解】解：设半径为 ，则



在 中，有
，即

解得
则该桨轮船的轮子直径为
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件．
9. 已知二次函数的图象如图，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，以及二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数与轴有两个交点，可判断①结论；根据二次函数的开口方向、对称轴和轴交点，可判断②结论，根据二次函数与一元二次方程的关系可知二次函数与直线没有交点，可判断③结论；由，，可判断④结论．
【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点，
，①结论正确；
二次函数图象开口向上，对称轴为直线，与轴交点在负半轴，
，，，
，
，②结论错误；
方程没有实数根，即没有实数根，
二次函数与直线没有交点，
抛物线最小值，
，③结论正确；
，，
，④结论正确，
故选：C．
10. 如图，等边的边长为，直线l经过点A且直线，直线l从点A出发沿以的速度向点C移动，直到经过点C即停止，直线l分别与或交于点M，与交于点N，若的面积为，直线l的移动时间为，则下面最能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识，根据直线的位置分两种情况讨论是解题关键．过点作于点，先求出，，，再分两种情况：①和②，利用相似三角形的判定与性质可求出与之间的函数关系式，然后根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：过点作于点，
∵等边的边长为，
∴，，
∴，
，
直线，
，
由题意得：，
，
如图1，当时，

，
，即，
解得，此函数图象是开口向上的抛物线的一部分；
如图2，当时，

，
，即，
解得，
，此函数图象是开口向下的抛物线的一部分；
观察四个选项可知，只有选项C符合题意，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 是关于的二次函数，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，准确分析列式计算是解题关键．根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，最高次项系数不为零，列式求解即可．
【详解】解：是关于的二次函数，
，，
，
故答案为：．
12. 在中，圆心O在坐标原点上，半径为6，点P的坐标为，则点P在______（填“圆内”，“圆外”或“圆上”）．
【答案】圆内
【解析】
【分析】先根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点P与⊙O的位置关系．
【详解】解：∵点P的坐标为（4，3），
∴OP==5，
∵半径为6，
而6＞5，
∴点P在⊙O内．
故答案为：圆内．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．
13. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长．熟练掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：∵分别切于A、B．
∴
∵过点C的切线分别交于点E、F．
∴．
∴的周长
．
故答案为：
14. 如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心的定义是解题关键．根据截三边所得的弦长相等可知，到三条边的距离相等，即是的内心，进而得到，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：截三边所得的弦长相等，
到三条边距离相等，即是的内心，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于__________
【答案】2.5
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，以及外接圆，掌握直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半是解题关键．利用因式分解法解一元二次方程，得到直角三角形的两条直角边长，再结合勾股定理求出斜边长，即可得到外接圆的半径．
【详解】解：，
，
解得：，，
一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，
直角三角形的斜边长为，
此直角三角形外接圆的半径等于，
故答案为：．
16. 如图，在中，OA=OB=4，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为_____．
【答案】.
【解析】
【详解】试题分析：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=4，
∴AB=OA=4，
∴OP==2，
∴PQ=，
考点： 切线性质．
三、解答题（本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解一元二次方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，，，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
或，
，．
18. 如图所示，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）的长为
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理可得，即可求解．
【小问1详解】
解：∵是的一条弦，，
∴，
又∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵是的一条弦，，
∴，
则．
19. 如图所示，要把破残的圆片复制完整．已知弧上的三点A、B、C．

（1）用尺规作图法找出弧所在圆的圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设是等腰三角形，底边，腰．求圆片的半径R．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；
（2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论．
【小问1详解】
分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
【小问2详解】
连接,交于,
∵
，
，
在 中, ，
设的半径为，
在 中,
，
即，
，
【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图，要注意作图和解题中垂径定理的应用．
20. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、C两点，与直线交于点A、B，其中点B坐标为，点C坐标为
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）根据图象，直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）把点， 两点坐标代入抛物线的解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据函数图象直接写出直线在抛物线下方时的的取值范围即可求解．
【小问1详解】
∵抛物线的图象经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵点在上，
令，得
∴，
又
根据函数图像可知，当时，的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
21. 如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若，求弧的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接OB，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得，再证明可得即可；
（2）先求出∠COD，然后再运用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点在上
∴是的切线；
（2）∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．
22. 如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）若半径为5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论；
（2）证明和是等边三角形，从而得出，，再根据锐角三角函数求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
为的切线；
【小问2详解】
解：半径为5，
，，
，，
是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，，
∴，
∴
．
23. 某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由题意得：，
整理得，
解得，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
，
∵﹣2＜0，
∴当时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
24. 如图，在中，，把绕着B点逆时针旋转，得到点E在上，连接．
（1）若，求的面积；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）30 （2）
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据勾股定理求，根据旋转性质得，根据三角形面积公式可求解；
（2）把绕着B点逆时针旋转，得到，，根据三角形内角和得，进而可求的度数．
【小问1详解】
解：，
∴，
∵把绕着B点逆时针旋转，得到，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵把绕着B点逆时针旋转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．

（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCO是菱形，理由见解析；（3）阴影部分的面积为．
【解析】
【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=，即可证明∠CAD=∠ECB；
（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC =60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式计算，即可求得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=，
∵∠EBC+∠ABC=，
∴∠D=∠EBC，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ACD=，
∴∠D+∠CAD=，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠EBC=，
∴∠CAD=∠ECB；
（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∵AB⊥EC，
∴∠OCE=∠E=，
∴∠OCE+∠E=18，
∴OC∥AE，
∴∠ACO=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，
∴∠EBC=90°-30°=60°，
∴∠BAO=∠EBC =60°，
∴BC∥AO，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形；
②∵四边形ABCO是菱形，
∴AO=AB=2，AD=4，
∵∠CAD=30°，
∴CD=AD=2，AC=2，
过点C作CF⊥AD于点F，
∴CF=，
∴，
∵OC∥AE，
∴∠DOC=∠BAO=60°，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、菱形的判定和性质以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的性质定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
26. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
【解析】
【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解
【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，
∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）．
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1．
∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小．
设直线BC解析式为y＝kx＋b，
将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
，解得：．
∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3．
当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)．
（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
∵抛物线的对称轴为： x=1，
∴设M(1，m)．
∵A(－1，0)、C(0，3)，
∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10．
若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1．
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±．
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．
综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)．
【点睛】本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的存在性问题，需要数形结合、分类讨论，难度较大．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40