新教材-高中数学必修第四册人教B版 (2019)-第十章 -10.3 复数的三角形式及其运算 课件

10.3复数的三角形式及其运算第十章1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解辐角、辐角主值等概念.4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义. 重点：复数的三角表示.难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义.学习目标一、复数的三角形式     新知学习  从而z＝a+bi＝（rcos θ）+（rsin θ）i＝r（cos θ+isin θ），上式的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代数形式），其中的θ称为z的辐角.显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.【名师点拨】 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.因为 0＝0（cos θ+isin θ），其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，任意复数都可以写成三角形式了.【特别提示】（1）复数的三角形式与代数形式一样，也是表示复数的一种方法，它们可以相互转化.（2）复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.（3）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.二、复数三角形式的乘除法1.复数三角形式的乘法法则【尝试与发现】设z1＝r1（cos θ1+isin θ1），z2＝r2（cos θ2+isin θ2），试求出z1z2.提示：z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（简记：模相乘）z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角（简记：辐角相加）2.复数三角形式乘法的几何意义   从而z＝a+bi＝（rcos θ）+（rsin θ）i＝r（cos θ+isin θ），上式的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式（对应地，a+bi称为复数的代数形式），其中的θ称为z的辐角.显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.3.复数三角形式的除法法则    模相除辐角相减4.复数三角形式除法的几何意义  ◆将复数的三角形式化为代数形式的一般方法1.计算出cos θ，sin θ的值；2.整理为a+bi（a，b∈R）的形式，其中a＝rcos θ，b＝rsin θ. 一一 二、复数的辐角的定义、求法，辐角主值的定义、记法1.求复数的辐角主值例2 复数z＝-sin 100°+icos 100°的辐角主值是（　　）A.80°B.100°C.190°D.260°【解析】　z＝-sin 100°+icos 100°＝-cos 10°-isin 10°＝cos 190°+isin 190°，∴ arg z＝190°.【答案】　C例3 求复数2+2i，2的辐角主值. 【解】设这两个复数的模分别为r1，r2，辐角主值分别为θ1，θ2.  【注意】非零复数z＝r（cos θ+isin θ）中，辐角θ可以取辐角主值，也可以取其他辐角，它们相差2π的整数倍. 三、利用复数的三角形式进行复数的乘除运算 ◆复数的乘法运算1.若复数为三角形式，则用复数三角形式的乘法公式进行计算，即r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2 [cos (θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)].2.若复数为代数形式，可以先化为三角形式再进行计算，也可利用代数形式计算. 四、复数乘法和除法的几何意义及其应用 1.复数的三角形式z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，其中的θ称为z的辐角.在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z. 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.课堂小结2.复数三角形式的乘法法则r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.3.复数三角形式的除法法则 模相乘，辐角相加.模相除，辐角相减.