数学人教B版 (2019)10.3 复数的三角形式及其运算导学案

10.3  复数的三角形式及其运算

1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；.

2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；.

3.了解辐角、辐角主值等概念；.

4.了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.

重点：复数的代数表示与三角表示之间的关系

难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义的运用

1.复数的几何意义及复数的模：

复数z=a+bi有序实数对（a，b）点Z（a，b）向量

设复数z=a+bi （a，b∈R）对应的向量为，

则向量的长度叫做复数a+bi的模（或绝对值），记作

|a+bi|=.

练习：求下列复数的模

（1）     （2）   （3）   （4）   (5)        （6）  

（7）   （8）  （9）        (10)

一、    情境与问题

发现与尝试：1.复数的三角形式定义

设复数在复平面内对应的点为Z，

（1）写出Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量；

（2）记r为向量的模，是以x轴正半轴为始边，射线为终边的一个角，

求r得值，并写出的任意一个值，探讨与的实部、虚部之间的关系.

一般地，如果非零复数在复平面内对应点，且为向量的模，

是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则

根据任意角余弦、正弦地定义可知：

从而称为非零实数的三角形式

（对应的称为复数的代数形式），其中称为的辐角.

显然，任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.

特别地，在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

练习1.写出复数z＝1+i的三角形式.

归纳总结 注:(1)为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，

然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.

(2)因为 0＝0（cos θ+isin θ），

其中θ可以为任意值，所以我们也称上式为复数0的三角形式.这样一来，

任意复数都可以写成三角形式了.

例1.把下列复数的代数形式改写成三角形式

（1）   （2）    （3）

跟踪训练

1.复数的三角形式为          

2.复数化为三角形式

3.写出下列复数的辐角主值

（1）   （2）

4.将复数化为代数形式为;

发现与尝试2.复数的乘法的三角表示及几何意义

设z1＝r1（cos θ1+isin θ1），z2＝r2（cos θ2+isin θ2），试求出z1z2.

z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）

＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］

＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

由此，我们可得到复数三角形式的乘法法则：

r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

注：z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（简记：模相乘），z1的辐角与z2的辐角之和是z1z2的辐角

（简记：辐角相加）

例如.×

 ＝＝.

设对应的向量分别为，将绕原点旋转，再将的模变为原来的倍，

如果所得向量为则对应的复数为，如图所示.

当时，按逆时针方向旋转角，当时，按顺时针方向旋转角

因为，所以一个复数与i相乘，从向量的角度来说，

就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转，如图所示.

上述两个复数三角形式的乘法及其几何意义，可以推广到有限个复数的三角形式相乘.

特别地，如果，则：

例2. ×=                       

3.复数的除法的三角表示及几何意义

如果非零复数的三角形式为，

利用两个共轭复数，在复平面内对应的点关于轴对称,写出的三角形是并求出的值.

一般地，如果非零复数，那么是的一个辐角，因此

，而且

由于，可得，

即

这样一来，如果，则

注：的三角形式：的模除以的模等于的模，的辐角减去的辐角是的辐角.

设对应的向量分别为，将绕原点O旋转，再将的模变为原来的倍，

如果所得向量为则对应的复数为.

当时，按顺时针方向旋转角，当时，按逆时针方向旋转角

任意一个复数除以i，从向量的角度来说，就相当于把这个复数对应的向量

绕原点沿顺时针方向旋转，如图所示.

例3.求 的值.

例4．如图所示，已知平面内并列的三个相等的正方形，

利用复数证明：.

跟踪训练1. 计算下列各式：

（1）（cos 36°+isin 36°）-5；（2）.

2.设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴，

且求的代数形式.

1．已知i为虚数单位，，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．计算的结果是（    ）

A．-9 B．9 C．-1 D．1

3．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转45°，所得向量对应的复数为，则复数是_____________.（用代数形式表示）.

4．如图，复平面内的是△ABC等边三角形，它的两个顶点A，B的坐标分别为，求点C的坐标.

1.复数的三角形式

z＝a+bi＝r（cos θ+isin θ）的右边称为非零复数z＝a+bi的三角形式，

其中的θ称为z的辐角.

在［0，2π）内的辐角称为z的辐角主值，记作arg z.

为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，

然后再找出复数的一个辐角（比如辐角主值）即可.

2.复数三角形式的乘法法则

r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.

模相乘，辐角相加.

3．两个复数三角形式的除法就是将被除数的模除以除数的模作为商的模，

被除数的辐角减去除数的辐角作为商的辐角．

4.设复数z对应的向量为，若把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ(θ>0)，

得到向量，表示的复数就是积z(cos θ＋isin θ)．

若把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ(θ>0)，

得到向量，表示的复数就是商 .

参考答案：

学习过程

发现与尝试：

答案：（1）    （2）

练习1.写出复数z＝1+i的三角形式.

解：方法1：因为|z|＝＝2，cos θ＝ ，sin θ＝，

所以可取θ＝arg z＝，从而z＝1+i的三角形式为

z＝.

方法2：

例1. 解：（1）由题意可知：

（2）因为2i在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上，所以可知：

，从而可知：

（3）因为-1在复平面内所对应的点在y轴的正半轴上，所以可知：

从而可知：

跟踪训练

1.答案：

2.答案：

3. 解：（1）因为r＝＝2，所以cos θ＝ sin θ＝

又因为θ∈［0，2π），所以其辐角主值θ＝π.

（2）当a>0时，r＝a，cos θ＝0，sin θ＝-1，其辐角主值θ＝；

当a＝0时，其辐角主值θ＝0；

当a<0时，r＝-a，cos θ＝0，sin θ＝1，其辐角主值θ＝.

4.解：＝＝+i.

例2. 解：×

＝＝

＝+.

例3.解：因为，

，

，

所以：

例4．

证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示平面直角坐标系，确定复平面， 由平行线的内错角相等可知，，，

分别等于复数，，的辐角主值，

因此应该是的一个辐角，

又因为，

而，所以存在整数k，使得，

注意到，，都是锐角，于是，从而

跟踪训练2.

1.解：（1）（cos 36°+isin 36°）-5＝＝＝-1.

（2）＝＝

＝＝＝ +i.

2.解：z1＝.

设z2＝2（cos α+isin α），α∈（0，π），

∴ z1z22＝.

由题设知2α+＝2kπ+（k∈Z），∴ α＝kπ+（k∈Z）.

又α∈（0，π），∴ α＝，∴ z2＝＝-1+i.

达标检测

1． 【答案】D

【解析】，

.故选：D.

2．【答案】B

【解析】

，故选：B．

3．【答案】

【解析】由题意得.

4．【解】将原点0平移至A点，建立平面直角坐标系，则

，

将绕点A顺时针方向旋转得

，

∴在原平面直角坐标系xOy中，

点C坐标为，即.