福建省南平市高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省南平市高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合的运算法则计算．
【详解】因为，所以，又，所以，
故选：C．
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为存在量词命题，
所以，该命题的否定为：，.
故选：D.
3. 设有下面四个命题，其中真命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解.
【详解】对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误；
对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误；
对C：，故该命题为真命题，故C正确；
对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误.
故选：C.
4. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，
故.
故选：B.
5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可排除D，根据，，即可排除BC.
【详解】由于的定义域为，且，
故奇函数，图象关于原点对称，此时可排除，
且当，，此时可排除B,
故选：A
6. 已知、，且满足，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为知、，且满足，
所以，，
当且仅当x2y=2yx1x+12y=1x>0,2y>0时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：B.
7. 已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则该函数在上为增函数，
当时，，
因为对均有，
所以，，则，解得.
故选：D.
8. 若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析函数的单调性，求出该函数在、上的值域，分析可知，函数的值域为，结合分段函数的值域可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，且，
由题意可知，函数的值域为，
因为函数在上单调递增，当时，，
函数在上为增函数，
当时，，
由题意可得，则有，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分段函数的单调性，求出函数在每段区间上的值域，再由并集运算得出不等式组求解.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 已知a，b，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于AC，分别取、，即可推翻结论；对于BD，可以用作差法进行判断即可.
【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，取，但，故C错误；
对于D，若，则，即，故D正确.
故选：BD.
10. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误.
【详解】由题设及函数图象知：且，
所以，则，，，A错，B、C对；
，则，D对.
故选：BCD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知，则
C. 已知一次函数满足，则
D. 定义在上的函数满足，则
【答案】AD
【解析】
【分析】直接求出的表达式，可判断A选项；利用换元法可判断B选项；利用待定系数法可判断C选项；利用方程组法可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则，A对；
对于B选项，若，令，则且，
所以，，故，B错；
对于C选项，因为一次函数满足，设，
则，
所以，，解得或，
因此，或，C错；
对于D选项，定义在R上的函数满足①，
可得②，
由①②可得，D对.
故选：AD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式、根式性质求定义域即可.
【详解】由题设，可得且，则定义域为.
故答案：
13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，__________.
【答案】
【解析】
【分析】取，可得，利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式.
【详解】当时，，且函数为偶函数，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
14. 已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题设知在上单调递增，且在上为偶函数，利用偶函数及单调性求不等式中参数范围.
【详解】由，当时，总有，
所以在上单调递增，又在上为奇函数，
故在上，，即为偶函数，
所以在上单调递减，
由，即，
所以，则，可得或，
又，可得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）计算；
（2）化简.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质、根式与指数幂的关系化简求值；
【详解】（1）原式；
（2）原式.
16. 已知集合，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可求得实数的取值范围；
（2）分析可知，，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，可得，
则有或，解得或，
因为，则.
综上所述，实数的取值范围为或.
【小问2详解】
因为命题是命题的必要不充分条件，则，
当时，，解得，
当时，则，解得.
检验：当时，，合乎题意；
当时，，合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
17. 设.
（1）若，求不等式的解集；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集；
（2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【小问1详解】
若，则由，
解得，所以不等式的解集为.
小问2详解】
不等式，
即，
当时，，解得；
当时，则，解原不等式可得；
当时，，解原不等式可得或；
当时，原不等式即为，即恒成立；
当时，，解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18. 如图，在矩形中，，.动点、从同时出发，且速度均为，点、分别沿折线、向终点运动．设点的运动时间为，的面积为.
（1）当点与点重合时，的值为______；当点与点重合时，的值为______；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出点的运动路程，可取得点的运动时间；
（2）对的取值进行分类讨论，作出图形，可得出关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）分析函数的单调性，求出函数在每段区间上的最值，即可得出函数的最大值.
【小问1详解】
当点与点重合时，，且点速度为，所以点的运动时间.
当点与点重合时，，且点速度为，所以点的运动时间.
【小问2详解】
分类讨论：
当时，如图，
所以，所以；
当时，如图，
则，的高即为长，则；
当时，如图，
所以，，，
则.
.
综上所述，.
【小问3详解】
当时，为增函数，当时，；
当时，为增函数，当时，；
当时，为减函数，；
综上所述，当时，的面积的最大值为.
19. 已知函数经过，两点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
（3）若任意，使得恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）在上单调递减，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据函数所过的点列方程求参数，即可得解析式；
（2）利用单调性定义证明函数单调性即可；
（3）问题化为任意，使得恒成立，求出右侧表达式的最小值，即可得范围.
【小问1详解】
由题设，解得，则.
【小问2详解】
在上单调递减，证明如下：
任取，且，则，
，且，
，，则，
，即，
所以函数在上单调递减.
【小问3详解】
因为任意，使得恒成立，
即任意，使得恒成立，
由（2）知，函数在上单调递减，
当时，，所以，