福建省南平市高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省南平市高一上学期期末质量检测数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了 若，，，则， 函数的零点所在区间为， 若，则， 已知，，， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页.考试时间120分钟.满分150分.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解绝对值不等式，再求交集即可.
【详解】由，
则，
故选：C.
2. 若，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用充要条件解出或，其中，再来判断必要不充分条件即可.
【详解】由于，所以或，其中，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
3. 折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式，得到，再利用余弦定理求出，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，
在中，，
所以，得到，
故选：D.
4. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数、三角函数单调性限定出各数的取值范围即可得出结论.
【详解】易知，
而，
，
即可得，所以.
故选：A
5. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解.
【详解】由题意知，函数连续，
因为只有一个交点，则只有一个根，函数只有一个零点，
因为，f(3)=lg 3+32−5=1g 3+4>0，
所以，
所以函数在区间上存在零点，
故选：C.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式展开已知条件，然后两边同时平方，由平方关系及二倍角正弦公式即可求解.
【详解】解：因为，所以，即，
两边同时平方，由平方关系可得，
所以，
故选：D.
7. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解.
【详解】由题，当时，单调递增，又是R上的单调函数，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
故选：B.
8. 已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（ ）
A. B. 3C. D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合换底公式可求的值，相加可得结论.
【详解】由，可得，
同理，可得，，
，
所以.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数在区间上单调
D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】由周期公式计算可得A正确，利用代入检验法可判断B正确，根据正弦函数单调性利用整体代换可求得C错误，由平移规则计算可判断D正确.
【详解】对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确；
对于B，将代入检验可得，
因此函数的图象关于点对称，即B正确；
对于C，当时，；
易知在上不单调，所以C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得到，即D正确.
故选：ABD
10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由已知结合不等式及函数单调性可得，检验各选项即可判断．
【详解】因为正实数满足，即，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，则，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，即，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：AD.
11. 对任意的，，函数满足，且，，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. 4为函数的一个周期D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】令可判断A；根据 时 不成立判断B；求出后令可判断C；根据周期性结合可判断D.
【详解】由 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，故 A 正确；
因为 时 ，则不成立，所以 不是奇函数，故 B 错误；
令可得 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 的周期为 4，故 C 正确；
由 ，得 ，
所以
，故 D 正确.
故选： ACD.
【点睛】方法点睛：函数奇偶性与周期性、抽象函数相结合的问题，多以选择题、填空题的形式呈现，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是____________.
【答案】，
【解析】
【分析】由特称命题的否定可直接得到结论.
【详解】命题“”的否定为“”.
故答案为：.
13. 若函数的图象经过第一象限的点，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得，且，利用“1”的代换变换，由基本不等式求解.
【详解】由题可得，且，
则.
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围为______________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围．
【详解】，，
∵函数在区间上有且仅有4个零点，
，解得，
即的取值范围是
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数幂和对数的运算求解；
（2）法一，利用诱导公式化简式子，根据商数关系弦化切求解；法二，由题可得，代入所求式子得解；法三，由，可得为第一象限角或第三象限角，讨论分别求出得解.
【详解】（1） ；
（2）解法一：，则原式；
解法二：，，即，
则原式；
解法三：，为第一象限角或第三象限角，
①当为第一象限角时，，，
则原式；
②当第三象限角时，，，
则原式.
16. 已知集合，.
（1）当时，求和；
（2）若，求实数取值范围.
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）化简集合，，根据集合补集和并集运算求解；
（2）由题意可得，分和讨论求解.
【小问1详解】
由，得，，
当时，，
或，
.
【小问2详解】
由得，
①当时，，可得即，，
②当时，，可得，
即， ，
综上所述，实数的取值范围为.
17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且.
（1）若点的横坐标为，求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得，利用三角函数定义可得，，由，结合诱导公式求解；
（2）根据（1）得，则，令，，换元上式可得，，利用二次函数单调性求出答案.
【小问1详解】
因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限，
所以点，即有，，
因为且为锐角，为钝角，
所以 ，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
则，
设，则，
因为，所以，
则，所以，
因为
所以，
所以，，
所以的取值范围为.
18. 某湖泊2024年2月底测得水草覆盖面积为48，2024年3月底测得水草覆盖面积为64，水草覆盖面积与月份的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②.
（1）求两个函数模型的解析式；
（2）若2024年1月底测得水草覆盖面积为36，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080？
（参考数据：，，）
【答案】（1）①，②
（2）选择模型②更合适，理由见解析，2025年2月底
【解析】
【分析】（1）把分别代入两个模型，求出函数解析式.
（2）取计算即可选择更适合模型，再利用对数运算求得答案.
【小问1详解】
若选择模型①，则，解得，，
所以函数模型①的解析式为 ；
若选择模型②，则，解得，，
所以函数模型②的解析式为 .
【小问2详解】
把代入函数模型①，得，
再把代入函数模型②，得，
因此选择模型②更合适，
由，得，两边取对数得，
即，
所以至少到2025年2月底水草覆盖面积能达到1080.
19. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并根据定义证明；
（3）是否存在实数，对任意有.若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）单调递减，证明见解析
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）结合可求出值，需验证是否符合题意；
(2)应用函数单调性定义证明即可，注意取值、作差、变形、判号、下结论的解题过程；
（3）应用函数的奇偶性与单调性，将问题转化为对任意的恒成立，再应用分离参数法转化为恒成立，应用均值不等式求解即可
【小问1详解】
解：因为函数是定义域为的奇函数，
则即，所以，
当时，，
此时，所以为奇函数，符合题意，
故；
【小问2详解】
函数在上单调递减.
证明如下：
设，且，
则
，
因为，，所以，，，
故即，所以在上单调递减.
【小问3详解】
解：因为在上为奇函数，
由得
即 ，
因为在上单调递减，所以对任意的恒成立 .
①当时，原不等式成立 ；
②当时，，
令，，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，取最小值为，