福建省泉州市泉港区第二中学高一下学期第一次月考考试数学试卷-A4

这是一份福建省泉州市泉港区第二中学高一下学期第一次月考考试数学试卷-A4，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设，为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知角是第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，是单位向量，且，则为（ ）
A．B．C．3D．5
4．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量、满足，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴可以是（ ）
A．B．C．D．
7．已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列选项说法错误的是（ ）
A．若，，均为非零向量，则
B．已知向量，满足，，则的取值范围是
C．已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形
D．若，则
10．已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．对于函数，下列正确的有（ ）
A．是偶函数B．在区间单调递增
C．是周期函数且最小正周期为D．的图象关于直线对称
三、填空题
12．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数 ．
13．已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 .
14．函数在区间上的一个对称中心是，则的值为 .
四、解答题
15．（1）已知，求的值；
（2）若，求的值.
16．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值
17．已知函数
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域．
18．如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点．
(1)令，，用，表示；
(2)求线段的长．
19．已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为.
(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值.
(3)利用上一问的结果，若对任意的，恒有，求的取值范围.
《泉港二中25年春季高一下第一次月考考试数学试卷》参考答案
1．B
【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.
【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
2．A
【分析】由已知直接利用同角三角函数基本关系式即可计算求解.
【详解】因为角是第二象限角，所以，又，所以．
故选：A.
3．B
【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案.
【详解】因为向量，是单位向量，所以
由则，
所以，
故选：B.
4．B
【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：

因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，
则，
由得，可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
5．C
【分析】设向量、的夹角为，由平面向量数量积的运算性质可得出，再利用投影向量的定义可求得结果.
【详解】设向量、的夹角为，因为，可得，
所以，在上的投影向量为.
故选：C.
6．D
【分析】利用辅助角公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令，求得函数的对称轴.
【详解】由题意可得：，
经过题中的一系列变换得到，
令，，解得：，，
对各项验证可得：当时，.
故选：D.
7．A
【分析】法一，根据条件，通过构角，得到，即可求解；法二，利用余弦的和角公式，得到，再利用条件和平方关系，直接求出，代入即可求解.
【详解】法一：因为，所以，
整理得，所以，又，
则，
法二：，所以，
即①，又，，
解得或，
代入①式，得到，化简得，
故选：A.
8．C
【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.
【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
9．ACD
【分析】通过分析不同情况下的向量的特点，即可得出结论.
【详解】由题意，
选项A，
与共线，与共线，
∴不一定成立，
∴选项A错误；
选项B，
与的方向相同时，取得最小值3，
与的方向相反时，取得最大值5，
∴选项B正确；
选项C，
A，B，C，D四点共线时不能构成一个梯形，
∴选项C错误；
选项D，
，，方向不确定，
∴选项D错误，
故选：ACD．
10．ACD
【分析】首先根据题意得到，
对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确.
【详解】由图可知：的最小正周期，
当时，，所以；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，得到，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，
则，正确；
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对于A根据奇偶性的定义验证即可判断，对于B当时，，则 即可判断，对于C验证即可判断，对于D验证是否成立即可.
【详解】因为，所以是偶函数，故A正确；
当时，在区间单调递增，
且，根据正弦函数的单调性可知B正确；
因为，
所以是的一个周期，故C错误；
因为，
所以的图象关于直线对称，故D正确．
故选：ABD.
12．2
【分析】利用向量数量积的定义、数量积的运算律计算得解.
【详解】由向量，的模相等且夹角为，得，
由向量与向量垂直，得，
而，所以.
故答案为：2
13．
【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解.
【详解】因在上的投影向量为，即，
则，又，则得，
所以，
又，故向量与向量的夹角为，
故答案为：.
14．
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的对称中心可得结果.
【详解】由题意得，，
令，得，
当时，，，故的值为.
故答案为：.
15．（1），（2）
【分析】（1）根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得即可根据弦切互化求解，
（2）根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解.
【详解】（1）由可得故
故，
（2）由可得，故，
即，解得
16．(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可.
（2）由共线性质求出参数即可.
【详解】（1）由，
得，
，
所以，且有公共点B，
所以三点共线.
（2）由与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，因此，
解得，或，
实数k的值是.
当时，与反向共线
17．(1)最小正周期为，单调递减区间为，；
(2).
【分析】（1）利用二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数的性质求最小正周期和递减区间.
（2）由（1）及图象平移有，应用整体法及正弦函数的性质求区间值域.
【详解】（1）由题设，，
所以的最小正周期为，
令，，解得，，
因此，函数的单调递减区间为，．
（2）由（1）知，，
将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象，
∵，则，
∴，则．
∴在上的值域为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由向量的线性运算求解；
（2）利用三点共线，三点共线，求得，同时证明是等边三角形，然后把平方可得．
【详解】（1）∵，分别为，的中点，
∴；
（2）设，
∵，分别为，的中点，
所以，
因为三点共线，三点共线，
所以，解得，
即，
由已知与平行且相等，因此是平行四边形，
所以，是等边三角形，
所以．
19．(1),图象如图所示
(2)
(3)
【分析】（1）利用已知条件依次确定的值，即得函数解析式，通过函数的一个周期，运用五点法作图即得；
（2）利用平移变换和题设条件，求得，即可求得的最小值；
（3）根据不等式恒成立等价于求函数在上的最大值，接着求解一元二次不等式即得.
【详解】（1）设函数的最小正周期为，由题意，，
且，解得，则，即有，
将点代入，化简可得，则，
即，因，故得，即.
取函数在一个周期上的五点列表如下：
在直角坐标系中作图如下：
（2）依题意，是偶函数，
故，解得，即，
因，则得，则时，取得最小值为 .
（3）由（2）分析可得，因，则，
结合余弦函数的图象性质可得，故得，
因对任意的，恒有成立，故得，
解得或，即的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
C
D
A
C
ACD
ACD
题号
11









答案
ABD









0
2
0
0