福建省福州市六校2026届高三上学期12月联考 数学试卷(含答案）

这是一份福建省福州市六校2026届高三上学期12月联考 数学试卷(含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为实数，则（ ）
A．B．2C．D．5
3．若直线平行于直线，且垂直于直线，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数同时满足：
①定义域内任意实数x，都有；
②对于定义域内任意，，当时，恒有；
若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在直三棱柱中，，，，D为棱AB的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体体积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
7．若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点，，…，，每一个点均位于抛物线的图象上.点F为抛物线的焦点，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切.若，且，，的前n项之和为，则以下说法错误的是（ ）
A．B．是等差数列C．D．
二、多选题
9．下列结论中正确的是（ ）
A．若角的终边过点，则；
B．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数；
C．对任意，恒成立；
D．是函数的一条对称轴.
10．已知点和，直线AM，BM相交于点M，则（ ）
A．若直线AM，BM的斜率之积是2，则点M的轨迹是双曲线（除A，B两点）
B．若直线AM，BM的斜率之商是2，则点M的轨迹是椭圆（除A，B两点）
C．若直线AM，BM的斜率之和是2，则点M的轨迹是双曲线（除A，B两点）
D．若直线AM，BM的斜率之差是2，则点M的轨迹是抛物线（除A，B两点）
11．设函数，下列结论中正确的有（ ）
A．当时，是奇函数，且在定义域内单调递减；
B．当时，在定义域内单调递增；
C．至少有一个零点；
D．存在实数a使得是函数图象的切线.
三、填空题
12．已知向量，向量满足，则的最大值是 .
13．如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，A、B在该椭圆上，四边形是等腰梯形，且，，则C的离心率为 .
14．函数，若，则有 个零点，若恰有4个零点，则a的取值范围是 .
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足：，.求数列的通项公式.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.
(1)求a；
(2)若命题“，，使得”为真命题，求角A的最小值，并求此时三角形ABC的面积.
17．如图，在圆锥中，为底面圆的直径，，过的中点作截面交底面圆于弦，.
(1)求证：无论如何移动，都不可能与垂直.
(2)当截面与圆锥底面垂直时.
（i）求平面与平面夹角的余弦值；
（ii）由课本圆锥曲线阅读材料内容知，截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分，请直接写出该双曲线的离心率的值（不用写推理计算过程）.
18．已知且，，用表示非空集合Q中元素个数，若.
(1)求的值；
(2)记以上（1）中的最小值为，最大值为.
（i）已知数列的通项公式为，在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中m、k、p成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m、k、p；若不存在，请说明理由；
（ii）已知椭圆C：，又，，过右焦点F分别作椭圆的动弦AB，CD，点M，N分别为线段AB，CD的中点.设直线AB，CD的斜率为，，若，求证：直线MN经过定点T，并求出定点T的坐标.
19．已知函数（，且）.
(1)当时
（i）证明：曲线是中心对称曲线，并指出对称中心坐标.
（ii）设函数，求证：.
(2)当时，记；，设，是否存在正整数n对，以、、的值为边长能构成三角形，若存在求正整数n的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
1．B
【详解】由或，则，
又因为，所以，
故选：B.
2．C
【详解】因为为实数，则，即，
所以.
故选：C.
3．D
【详解】依题意可设，又垂直于直线，
则，解得，
故选：D.
4．D
【详解】因为，可得，
联立方程，消去可得，
因为为增函数，
则在内恒成立，即在内恒成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，所以a的取值范围是.
故选：D.
5．A
【详解】由定义域内任意，，当时，，知：函数是上的增函数.
由题设：，可得，
根据，则，则，
故，
∵函数是上的增函数，有，化简得，
整理得，即，
∵，∴，则的取值范围是．
故选：A
6．B
【详解】因为，，，则，可得，
将直三棱柱补成长方体，如图所示：
可知三棱柱的外接球即为长方体的外接球，
则球的半径，
又因为球的表面积为，则，解得，
所以四面体体积.
故选：B.
7．B
【详解】令，可得，
分别作出的图象，如图所示：
可知分别为直线与的交点横坐标，
当，由图可知：；
当时，由图可知：；
当，由图可知：，，，，，均有可能；
结合选项可知不可能.
故选：B.
8．D
【详解】由题意可知：焦点，设点，则的半径为，
则，解得，故A正确；
因为与外切，则，
整理可得，且，
可得，即，
可知数列是以首项为，公差为2的等差数列，故B正确；
则，即，
则，
可得，故C正确，D错误；
故选：D.
9．ACD
【详解】对于选项A：若角的终边过点，
则，，
所以，故A正确；
对于选项B：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，故B错误；
对于选项C：设，则，
可知在内单调递增，则，即；
又因为，则，可得，
所以对任意，恒成立，故C正确；
对于选项D：因为为最大值，
所以是函数的一条对称轴，故D正确；
故选：ACD.
10．ACD
【详解】设，则，.
对于选项A：若直线AM，BM的斜率之积是2，
则，整理可得，
所以点M的轨迹是双曲线（除A，B两点），故A正确；
对于选项B：若直线AM，BM的斜率之商是2，
则，整理可得，
可得点M的轨迹是直线（与x轴交点除外），故B错误；
对于选项C：若直线AM，BM的斜率之和是2，
则，整理可得，
所以点M的轨迹是双曲线（除A，B两点），其渐近线为轴和直线，故C正确；
对于选项D：若直线AM，BM的斜率之差是2，
则，整理可得，
所以点M的轨迹是抛物线（除A，B两点），故D正确；
故选：ACD.
11．BCD
【详解】令，等价于，解得，
可知函数的定义域为，
对于选项A：当时，，
构造，
令，解得，可知函数的定义域为，
且，
即，可知函数为奇函数，
因为，则，
可知在内单调递增，
即是奇函数，在定义域内单调递增，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
又因为，则，可得，
且，则，
所以在定义域内单调递增，故B正确；
对于选项C：令，可得，
因为函数为奇函数，且在内单调递增，
且，可知关于点对称，且在内单调递减，
当趋近于0时，趋近于；当趋近于2时，趋近于；
又因为函数是过原点的直线，如图所示：
由图象可知：与一定有交点，
所以至少有一个零点，故C正确；
对于选项D：取，则，，
可得，，
可知函数在的切线方程为，
所以存在实数a使得是函数图象的切线，故D正确；
故选：BCD.
12．6
【详解】因为向量，则，且，
可得，当且仅当与反向时，等号成立，
所以的最大值是6.
故答案为：6.
13．
【详解】因为，则，
又因为，则，即，
且四边形是等腰梯形，，则，
可得，
因为，则，
又因为，即，
所以椭圆C的离心率.
故答案为：.
14． 3 .
【详解】第一空：当时，当时，，解得或；
当时，，解得，
故此时的零点个数是3；
第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；
①
若恰有2个零点，则，
此时恰有两个零点，所以，解得，
此时；
②
若恰有3个零点，则，此时，
所以恰有1个零点，符合要求；
③当时，，所以恰有1个零点，
而至少有4个零点，
此时至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上，或.
故答案为：3；.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，则，解得；
当时，则，，
两式相减得，即，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）因为，，
当时，则
，
且符合上式，所以.
16．(1)3
(2)；
【详解】（1）因为，则角为锐角，且，
由正弦定理可得，
即，所以.
（2）由题意可知：，解得，
若，可得，
可得，
若命题“，，使得”为真命题，
则，解得，
所以角A的最小值为，
此时，，
所以三角形ABC的面积.
17．(1)证明见详解
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，在底面内过垂直于直线的直线为轴，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
设，则，，
可得，
所以无论如何移动，都不可能与垂直.
（2）（i）当截面与圆锥底面垂直时，过作底面的垂线，垂足为，
则，可知点为的中点，且，可得，
则，
设平面ASP的法向量为，则，
令，则，可得，
设平面BSP的法向量为，则，
令，则，可得，
则，
所以平面ASP与平面BSP夹角的余弦值为；
（ii）因为，
在平面直角坐标系中，对于标准的双曲线，
根据对称性可知，且双曲线过点，
则，解得，
则，所以双曲线的离心率.
18．(1)或3
(2)（i）不存在，理由见详解；（ii）证明见详解；
【详解】（1）因为且，可知方程有2个不同的实数根为或，
若，则方程有3个不同的实数根，
显然0不为方程的根，
若为方程的根，则，解得，
此时方程的实根为，符合题意；
若方程只有一个实根，则，解得，
此时方程的实根为，符合题意；
综上所述：的值为或3.
（2）由（1）可知：，，
（i）因为，
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
可得，
假设存在不同的三项、、（其中、、成等差数列成等比数列，
可得，即，
由，可得，则，
则，为方程的两根，可得，
这与、、互异矛盾，
所以不存在不同的三项、、成等比数列；
（ii）因为，，即，则，
可得椭圆C：，，
先证椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标，
设弦的端点为，，则，
由，两式相减得，
则，
所以弦的斜率（存在的情况下）为.
设，，
则，，
根据，有，则，
两式相减得，
对比直线方程，即，
所以直线过定点．
19．(1)（i）证明见详解；对称中心坐标为；（ii）证明见详解
(2)存在，正整数的值为4，5，6
【详解】（1）若，则，
（i）因为的定义域为，
若关于点对称，则，
即，
整理可得，
则，解得，
即恒成立，所以曲线是中心对称曲线，对称中心坐标为；
（ⅱ）因为，则，
又因为在内单调递增，可知在内单调递增，
当趋近于0时，趋近于；且；
可知在内有且仅有1个零点，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，
又因为，可得，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，但这是不成立的，
所以.
（2）当时，则，，
存在正整数的值为4，5，6时，满足、、的值均能构成三角形
由题意得：
不妨设，故三点均在第一象限内，
由可知，,故点恒在线段上，
则由，
即对任意的，恒成立
令，构造函数
则，由单调递增，又
存在使得
即当时，，故函数在区间上单调递减，
当时，，故函数在区间上单调递增；
故至多2个零点，又由，可知存在2个零点，
不妨设，且，.
①若，，此时或，则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，
所以有，解得；
②若，时，此时，则，可知成立，
要使、、的值均能构成三角形，所以恒成立，故，
所以有，解得或5；
综上可知，正整数为4，5，6.