福建省百校2026届高三上学期12月联考数学试卷含答案（word版）

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13.1(5分，其他结果均不得分)
14. −∞,0∪83,+∞ (5 分,结果正确均得分)
15.【答案】 1an=n 2 详见解析
【命题意图】考查数列综合
【试题分析】(1)设等差数列 an 的公差为 d ,则由题意得:
a1+2a1+d=58a1+28d=36 (3 分)
解得 a1=1d=1 , (5 分)
有 an=1+n−1×1=n ,故数列 an 的通项公式为 an=n . (6 分)
(2)由 bn=n×2n . (7 分)
有 Tn=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n ,
两边乘以 2,有 2Tn=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1 , (9 分)
两式作差,有 −Tn=2+22+23+⋯+2n−n×2n+1 , (11 分)
有 Tn=n×2n+1−2+22+23+⋯+2n=n×2n+1−2×1−2n1−2=n−1×2n+1+2 . (13 分)
16.【答案】(1)详见解析 (2) 63
【命题意图】考查立体几何及空间向量
【试题分析】(1)由正方体的性质，以 D 为坐标原点，向量 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系,不妨设 AB=2 ,各点坐标如下: D0,0,0,A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0 , A12,0,2,B12,2,2,C10,2,2,D10,0,2,E0,0,1 . (2 分)
设点 P 的坐标为 0,0,h ,
由 AC=−2,2,0,AE=−2,0,1,PB1=2,2,2−h 及 B1P⊥ 平面 ACE , (3 分)
有 AC⋅PB1=−2×2+2×2+0×2−h=0AE⋅PB1=−2×2+2×0+1×2−h=0 ,可得 h=−2 . (6 分)
故点 P 与点 D1 关于点 D 对称. (7 分)
(2)由 CD⊥ 平面 ADD1A1 ，可得平面 ADD1A1 的一个法向量为 m=0,1,0 . (8 分)
设平面 PAC 的一个法向量为 n=x,y,z ,
由点 P0,0,−2 ,有 AC=−2,2,0,AP=−2,0,−2 . (10 分)
有 AC⋅n=−2x+2y=0AP⋅n=−2x−2z=0 ,取 x=1,y=1,z=−1 ,可得平面 PAC 的一个法向量为 n=1,1,−1 . (13 分)
又由 m⋅n=1,m=1,n=3 ,有 cs⟨m,n⟩=13=33 . (14 分)
故平面 PAC 与平面 ADD1A1 的夹角的正弦值为 1−332=63 . (15 分)

17.【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【命题意图】考查三角函数综合
【试题分析】(1) 由 fx=12sin2x+32cs2x−31+cs2x+3 , (2 分)
=12sin2x−32cs2x=sin2x−π3. (3 分)
当 x∈0,π2 时,有 −π3≤2x−π3≤2π3 ,可得 −32≤sin2x−π3≤1 . (5 分)
又由 gx=fx−22−4 及 −32≤fx≤1 , (6 分)
可得 −3≤gx≤34+23 .
故函数 gx 在区间 0,π2 上的值域为 −3,34+23 . (7 分)
(2)令 fx=0 ，有 2x−π3=kπk∈Z ，可得 x=kπ2+π6k∈Z . (9 分)
可得 x=−4π3,−5π6,−π3,π6,2π3,7π6 均为函数 fx 的零点, (12 分)
若函数 fx 在区间 −m,m 有 4 个零点，有 5π60 ,且点 Q 到 x 轴的距离与到直线 PF 的距离相等. (6 分)
可得 2nm−2+t1+nm−22=t ,有 2n+m−2tn2+m−22=t . (7 分)
有 2n+m−2t8m+m−22=t ,有 2n+mt−2tm+2=t . (9 分)
有 2n+mt−2t=mt+2t ,有 2n+mt−2t=mt+2t 或 2n+mt−2t=−mt−2t ,
可得 n=2t 或 n=−mt . (10 分)
又由 nt>0 ,可得 n=2t .
故 tn=12 . (11 分)
(ii) 由 Q0,n2 ,可得直线 PQ 的方程为 y=n−n2mx+n2 ,整理为 y=n2mx+n2 . (13 分)
又由抛物线 C 的准线方程为 x=−2 ,代入 x=−2 到直线 PQ 的方程,可得 y=n2−nm ,可得点 T 的坐标为 −2,n2−nm. (14 分)
直线 TF 的斜率为 n2−nm−2−2=2−mn8m . (15 分)
又由 2−mn8m×nm−2=−n28m=−8m8m=−1 ,
所以 TF⊥PF . (17 分)
19.【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 338
【命题意图】考查导数新定义问题
【试题分析】(1)由函数 fx 是 0,+∞ 上的下凸函数，可得当 x>0 时， f′x′≥0 .
又由 f′x=12x2+3x2lnx−14x2−mx , (1 分)
f′x′=122x+32xlnx+x−12x−m=2x+3xlnx−m.
由 2x+3xlnx−m≥0 ,有 m≤2x+3xlnx . (2 分)
令 gx=2x+3xlnx ,有 g′x=2+3lnx+1=3lnx+5 .
令 g′x>0 ,有 x>e−53 ,可得函数 gx 的减区间为 0,e−53 ,增区间为 e−53,+∞ . (3 分)
可得 gxmin=ge−53=2e−53+3e−53×−53=−3e−53 ,有 m≤−3e−53 ,
可得实数 m 的取值范围为 −∞,−3e−53 . (4 分)
(2)令 λx=2xlnx−x20