福建省莆田市莆田锦江中学高一下学期4月期中考试数学试题-A4

这是一份福建省莆田市莆田锦江中学高一下学期4月期中考试数学试题-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数满足示，则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形，则原图形中的（ ）
B．
C．3D．2
6．设是三条直线，是三个平面，若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则异面
C．若，，，则D．若，，则
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）.
A．复数的虚部为
B．
C．
D．复数满足，则的最大值为
10．下列说法中正确的有（ ）
A．两个非零向量，，若，则与共线且反向
B．向量，能作为平面内的一组基底
C．已知向量，，则向量在向量上的投影向量是
D．若非零向量，满足：，则与的夹角为
11．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点，使得平面
B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥的体积为4
D．三棱锥的外接球表面积为
三、填空题
12．已知向量、满足，，，则与的夹角等于
13．若复数为纯虚数，则实数 .
14．某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体挖去一个四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，那么该模型的表面积为 ．
四、解答题
15．已知复数.
(1)计算复数，并求；
(2)若复数满足，求实数的值.
16．在中，分别是角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的值.
17．如图，在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
18．如图，在中，点满足是线段的中点，过点的直线与边分别交于点.
(1)若，求和的值；
(2)若，求的最小值.
19．如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点．

(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)求三棱锥体积的最大值；
(3)若是的中点，点E在线段上，求的最小值．
《莆田锦江中学2024-2025学年下学期期中考试卷》高一数学参考答案
1．B
【分析】对化简计算求出复数，从而可求出其共轭复数
【详解】由题意可知，，
则其共轭复数为，
故选：B．
2．D
【分析】由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案.
【详解】，
其在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限.
故选：D.
3．A
【分析】根据数量积的运算律求解即可.
【详解】由，
所以.
故选：A.
4．B
【分析】先求出的坐标，然后由可得列方程可求得.
【详解】∵，，
∴.
∵，
∴，
∴.
即，则.
故选：B
5．C
【分析】根据斜二测画法规则结合勾股定理即可求解.
【详解】根据斜二测画法规则，，且，则，
故选：C．
6．C
【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.
【详解】对于选项A，若，，则与平行、相交或异面，所以A错误；
对于选项B，若，，，则与可能相交，平行，异面，所以B错误；
对于选项C，因为，，，所以且，所以，所以C正确；
对于选项D，若，，则与可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误．
故选：C．
7．D
【分析】根据题意求出圆台上下底面半径，圆台的高，代入圆台的体积计算公式即可求解.
【详解】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得，
，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示：
图中，，
过点向作垂线，垂足为，则，
所以圆台的高，
则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得：
，
故选：.
8．C
【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案.
【详解】由，得，
所以，
即，
则由正弦定理得，
因为，所以，所以，即，
又，所以，因为，
所以由余弦定理得，即.
由题可得，
所以，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
故选：C.
9．BD
【分析】对于A：根据虚部的概念分析判断；对于B：根据虚数单位的性质运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义结合圆的性质分析判断.
【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：例如，则，此时，故C错误；
对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为，
因为，即，其中为坐标原点，可知点在标准单位圆上，
可得，
所以的最大值为，故D正确；
故选：BD.
10．ABD
【分析】把平方，由数量积的运算与性质判断A，确定是否共线判断B，根据投影向量的定义求出投影向量判断C，根据向量的加减法法则（作出相应的图形）判断D．
【详解】A．由得，即，
所以，是非零向量，因此它们共线且反向，A正确；
B．由于，它们共线，不能作为平面内的一组基底，B正确；
C．向量在向量上的投影是，与向量同向的单位向量为，
因此所求投影向量为，C错误；
D．如图，，，作平行四边形，
则，，
由得是等边三角形，四边形是菱形，
所以，D正确；
故选：ABD．
11．BD
【分析】对于A，当为中点时，利用中位线的性质可证得，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可.
【详解】
对于A，当为中点时，由中位线可得，
因为平面，平面，所以平面.故A错误；
对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以，
又因为，所以截面为梯形，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，
所以表面积，故D正确.
故选：BD.
12．
【分析】利用平面向量数量积的运算、定义可计算出，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值.
【详解】因为，
可得，
因为，故，即与的夹角为.
故答案为：.
13．5
【分析】根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解.
【详解】由为纯虚数，
可得且，解得.
故答案为：5
14．
【分析】先求解得，，进而得到的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可.
【详解】由题意可得，，
所以，
故该模型的表面积为．
故答案为：
15．(1)，
(2)
【分析】（1）先对复数化简，然后求复数的模；
（2）对等式左边化简，再由复数相等的条件列方程组可求出实数的值
【详解】（1）因为
所以.
（2）由，得
，
，
，
所以，解得.
16．(1)
(2)，
【分析】（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；
（2）利用余弦定理推得，结合题设条件即可求出结果.
【详解】（1）由和正弦定理，可得
∴
∵，∴，∴，
又∵，∴.
（2）由余弦定理，，
∴，解得，
由可得，代入上式可得，
解得：或（此时，不合题意，舍去）
所以，.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行.
（2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行.
【详解】（1）如图：连接BD，设，连接OM，
∵在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面.
（2）如图：连接，NB，
为的中点，为的中点，
，又，
∴四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面
由（1）知平面，，平面，平面，
∴平面平面.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用基底法，用表示出，即可求解.
(2)先根据已知条件，得到，，再根据，即可得，再根据三点共线，得，再由基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
又是线段的中点，所以，
又，且不共线，
所以.
（2）因为，
，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即
又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
19．(1)；
(2)1；
(3).
【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式和体积公式直接计算可得；
（2）分析点C到的最大距离，结合三棱锥的体积公式可得；
（3）将绕着旋转到使在的反向延长线上，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）圆柱的底面半径，高，
圆柱的侧面积，
圆柱的体积.
（2）三棱锥的高，底面三角形中，，
则当点C到的最大值等于底面圆的半径1，
所以三棱锥体积的最大值.
（3）将绕着旋转到使在的反向延长线上，
，，
，
，
，
即的最小值为等于．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
B
C
C
D
C
BD
ABD
题号
11









答案
BD