2024-2025学年福建省莆田市锦江中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省莆田市锦江中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足z1+i=2+i，则复数z的共轭复数为( )
A. 1+3iB. 1−3iC. 3−iD. 3−3i
2.(1−5i)(4+3i)在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知向量a,b满足|a|=1,a⋅(a−2b)=2，则a⋅b=( )
A. −12B. −32C. 12D. 32
4.已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，若(a+λb)⊥a，则λ=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
5.已知平面四边形OABC用斜二测画法画出的直观图是边长为1的正方形O′A′B′C′，则原图形OABC中的AB=( )
A. 2 B. 2 2
C. 3 D. 2
6.设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，若α∩β=a，则下列命题为真命题的是( )
A. 若b⊄α，b⊄β，则a//b B. 若b⊂α，c⊂β，则b，c异面
C. 若b⊂α，c⊂β，b∩c=P，则P∈a D. 若β∩γ=b，a//b，则α//γ
7.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的体积为( )
A. 50 23πB. 9πC. 7πD. 14 23π
8.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2 6,ccs(A−B)+2 3asinBcsC=−ccsC，
则AB边上的中线CD长度的最小值为( )
A. 12B. 22C. 2D. 2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是( )
A. 复数z=−2−i的虚部为−i
B. i+i2+i3+i4=0
C. |z|2=z2
D. 复数z满足|z|=1，则|z−2−i|的最大值为 5+1
10.下列说法中正确的有( )
A. 两个非零向量a，b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
B. 向量a=(2,−3)，b=(12,−34)能作为平面内的一组基底
C. 已知向量a=(2,1)，b=(−3,1)，则向量b在向量a上的投影向量是− 102a
D. 若非零向量a，b满足：|a|=|b|=|a−b|，则a与a+b的夹角为30°
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 不存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C. 三棱锥C1−A1B1P的体积为4
D. 三棱锥F−ACD的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2 3，b⋅(2a+b)=18，则a与b的夹角等于______．
13.若复数z=1−ai1+i+2为纯虚数，则实数a= ______．
14.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD−A′B′C′D′，挖去一个四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD−A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=8，AA′=6，那么该模型的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=(1−i)2+2(5+i)2+i．
(1)计算复数z，并求|z|；
(2)若复数z满足z(z+a)=b−8i，求实数a，b的值．
16.(本小题15分)
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且(2a−c)csB=bcsC．
(1)求角B的大小；
(2)若b=7，a+c=13且a>c，求a，c的值．
17.(本小题15分)
如图：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面AMC；
(2)若N为CC1的中点，求证：平面AMC//平面BND1．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，点P满足PC=2BP,O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F．
(1)若AO=xAB+yAC，求x和y的值；
(2)若EB=λAE(λ>0),FC=μAF(μ>0)，求1λ+2μ的最小值．
19.(本小题17分)
如图，AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=3，点C是圆柱底面圆周上的点．
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)求三棱锥P−ABC体积的最大值；
(3)若AC=1，D是PB的中点，点E在线段PA上，求CE+ED的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力，属于基础题．
【解答】
解：复数z满足z1+i=2+i，
则z=(1+i)(2+i)=2−1+3i=1+3i，
复数z的共轭复数=1−3i，
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：由题意，(1−5i)(4+3i)=19−17i，
在复平面内所对应的点为(19,−17)，位于第四象限．
故选：D．
由复数的乘法运算，整理其为标准式，结合复数的几何意义，可得答案．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知向量a,b满足|a|=1,a⋅(a−2b)=2，
则a2−2a⋅b=2，所以1−2a⋅b=2，
解得a⋅b=−12．
故选：A．
根据平面向量数量积的运算即可求解．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵a=(1,0)，b=(1,1)，(a+λb)⊥a，
∴a+λb=(1+λ,λ)．
∴(a+λb)⋅a=0，
∴(1+λ,λ)⋅(1,0)=0．
即1+λ=0，则λ=−1．
故选：B．
先求出a+λb的坐标，然后由(a+λb)⊥a可得(a+λb)⋅a=0，列方程可求得λ．
本题主要考查向量垂直的性质应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：根据斜二测画法规则，OA=O′A′=1，OB=2O′B′=2 2，且OA⊥OB，
则AB= OA2+OB2=3．
故选：C．
根据斜二测画法规则画出原图，再利用勾股定理求解．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若b⊄α，b⊄β，则a与b平行、相交或异面，所以A错误；
若b⊂α，c⊂β，α∩β=a，则b与c可能相交，平行，异面，所以B错误；
若b⊂α，c⊂β，b∩c=P，则P∈α且P∈β，则P∈a，所以C正确；
若β∩γ=b，a/​/b，则α与γ可能相交，如三棱柱的三个侧面，所以D错误．
故选：C．
根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，
∴两个圆弧的弧长分别为2π，4π，可得圆台的两底面半径分别为1，2，
圆台的高为 32−12=2 2．
圆台的体积为V=13π(22+2×1+12)×2 2=14 2π3．
故选：D．
由已知结合弧长公式求得圆台的两底面半径，进一步求出高，代入圆台体积公式得答案．
本题考查圆台的结构特征，考查了逻辑推理与运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：因为c=2 6,ccs(A−B)+2 3asinBcsC=−ccsC，
可得ccs(A−B)+ccsC=−2 3asinBcsC，
在△ABC中，csC=−cs(A+B)，
可得c[cs(A−B)−cs(A+B)]=−2 3asinBcsC，
即2csinAsinB=−2 3asinBcsC，
由正弦定理得2sinCsinAsinB=−2 3sinAsinBcsC，
因为A，B∈(0,π)，所以sinA≠0，sinB≠0，
所以tanC=− 3，
又C∈(0,π)，所以C=2π3，
由余弦定理得c2=(2 6)2=a2+b2−2abcsC，
即a2+b2=24−ab，由基本不等式可得24−ab≥2ab，即ab≤8，当且仅当a=b时取等号，
因为AB边上的中线为CD，
可得2CD=CA+CB，
所以4CD2=CA2+CB2+2CA⋅CB=b2+a2+2bacsC=b2+a2−ba=24−2ab≥24−2×8=8，
所以|CD|≥ 2，
所以AB边上的中线CD长度的最小值为 2．
故选：C．
利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得角C的大小，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案．
本题考查正弦定理，余弦定理即三角形中线用向量的表示，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：复数z=−2−i的虚部为−1，故A错误；
i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故B正确；
例如z=i，则|z|2=1，z2=−1，此时|z|2≠z2，故C错误；
设复数z，2+i在复平面内对应的点分别为Z，A(2,1)，
因为|z|=1，即|OZ|=1，其中O为坐标原点，可知点Z在标准单位圆上，
可得|z−2−i|=|AZ|≤|OA|+1= 5+1，
故D正确；
故选：BD．
对于A：根据虚部的概念分析判断；对于B：根据虚数单位的性质运算求解；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义结合圆的性质分析判断．
本题主要考查的四则运算，以及复数的模，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A选项，根据题意可知，|a−b|=|a|+|b|得(a−b)2=(|a|+|b|)2，
即a2−2a⋅b+b2=a2+2|a||b|+b2，
所以a⋅b=−|a||b|，a,b是非零向量，因此它们共线且反向，A选项正确；
B选项，根据题意可知，向量a=(2,−3)，b=(12,−34)，
由于a=4b，它们共线，不能作为平面内的一组基底，B选项正确；
C选项，向量b在向量a上的投影是b⋅a|a|=−6+1 5=− 5，与向量a同向的单位向量为a|a|=a 5，
故所求投影向量为− 5⋅a 5=−a，C选项错误；
D选项，如图，OA=a，OB=b，作平行四边形OACB，
则BA=a−b，OC=a+b，
由|a|=|b|=|a−b|得△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，
所以∠COA=30°，D选项正确．
故选：ABD．
把|a−b|=|a|+|b|平方，由数量积的运算与性质判断A；
确定a,b是否共线判断B；
根据投影向量的定义求出投影向量判断C；
根据向量的加减法法则(作出相应的图形)判断D．
本题考查了投影向量的定义，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：作出示意图如下：
对于A选项，当P为BD中点时，由中位线可得FP//BD1，
因为FP⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，所以FP//平面ABC1D1，所以A选项错误；
对于B选项，由中位线可得EF/​/AD1，在正方体中，易证AD1/​/BC1，所以EF/​/BC1，
又EF≠BC1，所以截面EBC1F为梯形，所以B选项正确；
对于C选项，VC1−A1B1P=VP−A1B1C1=13×12×2×2×2=43，所以C选项错误；
对于D选项，三棱锥F−ACD的外接球的直径2R即为长方体的体对角线长，
所以(2R)2=4+4+1=9，
所以三棱锥F−ACD的外接球表面积为4πR2=9π，所以D选项正确．
故选：BD．
对于A，当P为BD中点时，利用中位线的性质可证得FP//BD1，再证得线面平行；对于B，利用中位线的性质可证得EF/​/BC1，对边平行且不相等，可得到截面是梯形；对于C，利用等体积法可求得三棱锥的体积；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体的外接球，先求半径再求表面积即可．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
12.【答案】π6
【解析】因为|a|=1，|b|=2 3，b⋅(2a+b)=18，
所以b⋅(2a+b)=2a⋅b+b2=2|a|⋅|b|cs〈a,b〉+|b|2
=4 3cs〈a,b〉+12=18，
解得cs〈a,b〉= 32，
因为0≤〈a,b〉≤π，所以〈a,b〉=π6，即a与b的夹角为π6．
故答案为：π6．
利用平面向量数量积的运算、定义可计算出cs〈a,b〉，结合平面向量夹角的取值范围可得出〈a,b〉的值．
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】解：由z=(1−ai)(1−i)2+2=1−a−(a+1)i2+2=(5−a)−(a+1)i2为纯虚数，
可得5−a=0且a+1≠0，解得a=5．
故答案为：5
根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
14.【答案】288+8 34
【解析】解：由题意可得OE=OF=OG=OH= 32+42=5，
HG=FG=EF=EH= 42+42=4 2，
故S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=12×4 2× 52−(2 2)2=2 34，
故该模型的表面积为S=4×8×6+8×8+4×12×4×4+8 34=288+8 34．
故答案为：288+8 34．
先求解得OH=5，HG=4 2，进而得到△OHG的面积，再根据全等性质与表面积的计算公式求解即可．
本题考查组合立体图形的表面积，属于基础题．
15.【答案】解：(1)因为z=(1−i)2+2(5+i)2+i=1−2i+i2+10+2i2+i=102+i=10(2−i)(2+i)(2−i)=4−2i，
所以|z|= 42+(−2)2=2 5．
(2)由z(z+a)=b−8i，得(4−2i)(4+a−2i)=b−8i，
化简得16+4a−8i−8i−2ai+4i2=b−8i，
即12+4a−(16+2a)i=b−8i，
所以12+4a=b16+2a=8，解得a=−4，b=−4．
【解析】(1)先对复数化简，然后求复数的模；
(2)对等式左边化简，再由复数相等的条件列方程组可求出实数a，b的值．
本题考查复数的运算，属于基础题．
16.【答案】B=π3；
a=8，c=5．
【解析】解：(1)因为(2a−c)csB=bcsC，
由正弦定理整理可得2sinAcsB=sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)，
在△ABC中，sin(B+C)=sinA，且sinA>0，
可得csB=12，
又因为B∈(0,π)，
所以B=π3；
(2)b=7，a+c=13且a>c，
由余弦定理可得b2=a2+c2−2accsB，
即49=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=169−3ac，
解得ac=40，
联立a+c=13ac=40a>c，
解得a=8，c=5
所以a，c的值分别为8，5．
(1)根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；
(2)利用余弦定理推得ac=40，结合题设条件即可求出结果．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】证明：(1)设AC∩BD=O，连接OM，

∵在正方体ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，
∴O是BD中点，∵M是DD1的中点，
∴OM//BD1，
∵BD1⊄平面AMC，OM⊂平面AMC，
∴BD1/​/平面AMC；
(2)∵N为CC1的中点，M为DD1的中点，
∴CN//D1M，
∴CN=D1M，
∴四边形CND1M为平行四边形，
∴D1N//CM，
又∵MC⊂平面AMC，
∵D1N⊄平面AMC，
∴D1N//平面AMC，
由(1)知BD1//平面AMC，
∵BD1∩D1N=D1，BD1⊂平面BND1，D1N⊂平面BND1，
∴平面AMC//平面BND1．
【解析】(1)设AC∩BD=O，接OM，证明OM//BD1，再根据线面平行的判定定理即可得证；
(2)证明四边形CND1M为平行四边形，从而可得D1N//CM，即可证得D1N//平面AMC，再根据面面平行的判定定理即可得证．
本题主要考查面面平行的判定，考查转化能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由PC=2BP，得BC=BP+BC=3BP，可得BP=13BC，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，
由点O是线段AP的中点，可得AO=12AP=12(23AB+13AC)=13AB+16AC，
又因为AO=xAB+yAC，且AB、AC不共线，所以根据平面向量基本定理，得x=13,y=16；
(2)因为AB=AE+EB=AE+λAE=(1+λ)AE，AC=AF+FC=AF+μAF=(1+μ)AF，
由(1)得AO=12AP=13AB+16AC，可知AO=1+λ3AE+1+μ6AF，
根据E、O、F三点共线，得1+λ3+1+μ6=1，即2λ+μ=3，
所以1λ+2μ=13(2λ+μ)(1λ+2μ)=13(4+μλ+4λμ)
由λ>0，μ>0，得μλ+4λμ≥2 μλ⋅4λμ=4，
所以13(4+μλ+4λμ)≥13(4+2 4)=83，即1λ+2μ≥83，
当且仅当μ=2λ，即λ=34,μ=32时取等号，可知1λ+2μ的最小值为83．
【解析】(1)以向量AB,AC为基底，表示出向量AP，进而可得AO=13AB+16AC，从而利用平面向量基本定理算出x、y的值；
(2)利用(1)的结论，结合平面向量基本定理，证出2λ+μ=3，然后利用基本不等式与“1的代换”，求出1λ+2μ的最小值．
本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
19.【答案】S侧=6π，V=3π；
1；
52．
【解析】解：已知AB是圆柱的直径且AB=2，PA是圆柱的母线且PA=3，点C是圆柱底面圆周上的点，
(1)圆柱的底面半径r=12AB=1，高ℎ=PA=3，
圆柱的侧面积S侧=2π×1×3=6π，
圆柱的体积V=π×12×3=3π．
(2)三棱锥P−ABC的高ℎ=3，底面三角形ABC中，AB=2，
则当点C到AB的最大值等于底面圆的半径1，
所以三棱锥P−ABC体积的最大值VP−ABC=13S△ABC⋅ℎ=13×12×2×1×3=1．
(3)将△PAC绕着PA旋转到PAC′使C′在AB的反向延长线上，
∵AB=2，PA=3，∴PB= AB2+PA2= 13，
∴cs∠PBA=2 13,BD=12BP= 132,BC′=BA+AC′=3，
∴C′D= C′B2+BD2−2C′B⋅BD⋅cs∠PBA，
= 32+( 132)2−2×3× 132×2 13=52，
即CE+ED的最小值为C′D等于52．
(1)利用圆柱的侧面积公式和体积公式直接计算可得；
(2)分析点C到AB的最大距离，结合三棱锥的体积公式可得；
(3)将△PAC绕着PA旋转到PAC′使C′在AB的反向延长线上，利用余弦定理求解即可．
本题考查圆柱与棱锥的结构特征，属于中档题．