河北省邯郸市重点高中2025-2026学年高二上学期12月月考试卷 数学（含答案）

这是一份河北省邯郸市重点高中2025-2026学年高二上学期12月月考试卷 数学（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．“关于x，y的方程表示的曲线是圆”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
2．已知等差数列的前项和为，，且，则（ ）
A．24B．20C．16D．12
3．直三棱柱中，，，为的中点，异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，则该数列的第45项为（ ）
A．3015B．3025C．3022D．3122
7．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线渐近线斜率的绝对值小于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16B．面积的最大值为12
C．存在点P，使得∠D．的取值范围为
11．如图，若是棱长为2的正方体的表面一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为
D．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是
三、填空题
12．已知圆：与圆：内切，且圆的半径小于6，点是圆上的一个动点，则点到直线：距离的最大值为 .
13．如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为 ．
14．已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知直线均过点．
(1)若直线过点，且，求直线的方程；
(2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程．
16．在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，M是的中点.，.
(1)求证；；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在线段上是否存在点P，使得面面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
17．已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点到焦点F的距离为3．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设，动直线L：与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为，，证明：为定值．
18．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝25，a4＝16.
（1）求n为何值时，Sn取得最大值；
（2）求a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a20的值；
（3）求数列{|an|}的前n项和Tn.
19．已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴的两个顶点和两个焦点连接成的四边形为正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的两点，为坐标原点，，求的取值范围.
1．B
根据方程表示圆求出参数范围，再由充分条件，必要条件的定义判断即可.
【详解】化成标准方程，
所以，解得或，
因为或推不出，可以推出或，
所以方程表示圆是的必要不充分条件.
故选：B.
2．B
根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可.
【详解】由题意得，，其中分别是等差数列的首项和公差，
化简得，解得.
所以.
故选：B.
3．C
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出异面直线与所成角的余弦值．
【详解】直三棱柱中，，，为的中点.
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
则，，
设异面直线与所成角为，
则，
则异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
4．D
根据题意，求得，，将代入渐近线方程，得到，联立方程即可求解.
【详解】因为抛物线的焦点为，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，
所以双曲线的右焦点为，即，
又因为抛物线的准线方程为，抛物线准线与一条渐近线交于点，
则，
因为点在第三象限，则点在渐近线上，代入得，
则，解得，
所以双曲线的方程为.
故选：D.
5．A
设出点的坐标，利用斜率坐标公式，结合椭圆方程列式求出，进而求出离心率.
【详解】椭圆的左顶点，设点，则，
且，由直线AP，AQ的斜率之积为，得，
所以椭圆的离心率.
故选：A
6．A
先根据题意得递推公式，再由递推公式结合累加法和等差数列前n项和公式求出数列的通项公式即可求解.
【详解】因为二阶等差数列的前5项分别为1，5，12，22，35，
所以，
所以
，
则该数列的第45项为.
故选：A.
7．C
根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解.
【详解】如图，由点为的中点，可得，
所以.
因为，所以点在平面内，
的最小值就是三棱锥的高，
由，
得，得.
故选：C.
8．D
根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的定义列式即可求的范围.
【详解】∵双曲线的渐近线方程为，
依题意，，
而椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
因此，
由，得，∴，
∴，∴.
即.
故选：D
9．BCD
根据等差数列的性质进行判断即可.
【详解】对于A，B，因为，所以，，
则的公差，则，故A错误，B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：BCD.
10．BCD
求出给定椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断即可.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，

对于A：的周长为，A错误；
对于B：设，，则，B正确；
对于C：由，得以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交，
当P为此交点时，，因此存在点P，使得∠，C正确；
对于D：，，D正确.
故选：BCD
11．AD
根据锥体体积的求法，结合条件分析，可判断A的正误；如图建系，求个各点坐标，设，可得坐标，根据夹角的向量求法，结合x的范围，分析计算，结合余弦函数的单调性，即可判断B的正误；分别分析点P在各个平面内时的轨迹，计算各个长度，综合即可判断C的正误；求出平面的法向量，由题意的，结合向量求模公式，分析计算，即可判断D的正误.
【详解】选项A：当在平面内运动时，P到平面的距离不变，
平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确；
选项B：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，
则，设，
则，
设与所成角为，，
则
，
因为，所以，则，
所以，
因为在上单调递减，
所以，故B错误；
选项C：已知直线AP与平面ABCD所成的角为，
若点P在平面和平面内，
因为，且为最大角，所以点P仅在点，处；
若点P在平面内，则点P的轨迹为；
若点P在平面内，则点P的轨迹为；
若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示，
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一，
所以点P的轨迹长度为，
综上，点P的轨迹总长度为，故C错误；
选项D：，设，
则，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，所以，
因为平面，
所以，则，
所以，
即当时，PF长度的最小值是，故D正确.
故选：AD
12．
根据圆和圆的位置关系得到，再计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.
【详解】圆：，圆：内切.
故圆心距，故.
点到直线：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，即.
故答案为：.
13．
【详解】设的右焦点为，连接，.
因为，分别是，的中点，所以．
又直线是的一条渐近线，所以，故．
由双曲线的对称性，得．
由，得．
又，所以，．
在中，由余弦定理得，整理得，
所以，，所以直线的方程为．
故答案为：.
14．
根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可.
【详解】若数列为递减数列，且，
则，
可得对任意恒成立，
可知当时，取到最小值9，可得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
(3)
（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程；
（2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解；
（3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程.
【详解】（1）解：由点和，可得，即
因为，可得，所以直线的方程为，即.
（2）解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数，
当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即；
当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为，
将点代入直线方程，可得，解得，
所以直线的方程为，
综上可得，直线的方程为或.
（3）解：设直线的方程为，则满足，
由，即，解得，
当且仅当时，即时，取等号，
则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为.
16．(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，且.
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得.
（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
（3）设，利用面面求得，由此得出正确结论.
【详解】（1）由于，M是的中点，所以，
由于平面平面且交线为，所以平面.
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
所以.
（2），，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
设直线与平面所成角为，
则.
（3）设，
，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
若面面，则.
所以存在点使面面，此时.
17．(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）依题意，设抛物线C的方程为：，则其准线为：，
由抛物线的定义得：，解得，
抛物线C的方程：.
（2）直线L与抛物线有两个交点B，E，显然L不垂直于y轴，令，则L的方程为：，
由消去x并整理得：，设，，
则，，因此，，，
，
所以为定值-1.
18．（1）9；（2）－50；（3）.
【详解】解：（1）在等差数列{an}中，a1＝25，a4＝16，
∴公差＝－3.
∴an＝－3n＋28.
令an＝－3n＋28≥0且n∈N*，得n≤9.
∴当n≤9时，an>0；当n>9时，an0；当n>9时，an9时，Tn＝a1＋a2＋…＋a9－(a10＋a11＋…＋an)＝2S9－Sn
＝
所以
19．(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
又因为椭圆中，所以，，，
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，
联立得，
，即，
所以，，
因为，所以，
又因为
，
所以，即，
所以，
因为，所以，即，
当直线斜率不存在时，设，，，且，
所以，解得，
又因为在椭圆上，则，
所以，，
所以，
综上的取值范围为.