2024-2025学年河北省邯郸市部分学校高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省邯郸市部分学校高二（上）第二次月考数学试卷（12月份）（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线2x−1=0的斜率为( )
A. 不存在B. 0C. 12D. −12
2.如图，在空间四边形P−ABC中，PA+AB−CB=( )
A. PCB. PAC. ABD. AC
3.已知数列 6, 10, 14,3 2, 22，…，则5 2是这个数列的( )
A. 第11项B. 第12项C. 第13项D. 第14项
4.两平行直线l1：x−2y− 10=0,l2：4y−2x−3 10=0之间的距离为( )
A. 5 22B. 3C. 5D. 2 2
5.已知抛物线C：x2=16y的焦点为F，点M(x0,y0)为抛物线C上一点，若|MF|=3y0，则|x0|=( )
A. 4B. 4 2C. 8D. 8 2
6.如图，长为a(a是正常数)的线段AB的两个端点A，B分别在互相垂直的两条直线上滑动，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为( )
A. 点M的轨迹是圆
B. 点M的轨迹是椭圆且离心率为 32
C. 点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关
D. 点M的轨迹不能确定
7.如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O，此时直线y=−x+m与这两段弧有4个交点，则m的取值可能是( )
A. 57 B. 3−1
C. 45 D. 2 2−2
8.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在线段CC1上，且CC1=4CE，点F为BD中点，则点D1到直线EF的距离( )
A. 1143B. 1142C. 742D. 743
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=0，a4=4，则( )
A. an=4n−8B. an=2n−4C. Sn=2n2−6nD. Sn=n2−3n
10.如图，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过抛物线C上一点P(点P在第一象限)作准线l的垂线，垂足为H，△PHF为边长为8的等边三角形.则( )
A. p=2
B. p=4
C. 点P的坐标为(6,3 3)
D. 点P的坐标为(6,4 3)
11.已知双曲线C：y2−x2=−1，则( )
A. 双曲线C也叫等轴双曲线
B. 双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为 2
C. 若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为[0,π4)∪(3π4,π)
D. 直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=2被直线y=x+a截得的弦长2，则实数a的值为______．
13.设两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和TTn，且SnTn=7n9n+4，则a3b3= ．
14.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为60°的直线l与C交于P，Q两点(点P在第一象限)，若3PF2=2F2Q，则C的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}是等差数列，且a2=−25，2a3+a5=−50．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值及取得最小值时n的值．
16.(本小题15分)
已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(−1,1)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程．
17.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，O为BD的中点，BD=4，PB=PC=PD= 5．
(1)证明：OP⊥平面ABCD；
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为点A若△AF1F2是面积为4 3的等边三角形
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆C上的两点，且MN|=4 3，求使△OMN的面积最大时直线MN的方程(O为坐标原点)
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.A
5.B
6.B
7.C
8.A
9.BD
10.BD
11.ACD
12.± 2
13.57
14.25
15.解：(1)设{an}的公差为d，则a1+d=−252(a1+2d)+a1+4d=−50，
解得a1=−30d=5，
所以an=a1+(n−1)d=5n−35．
(2)Sn=(−30+5n−35)n2=52(n−132)2−8458，
所以当n=6或n=7时，Sn取得最小值，最小值为−105．
16.解：(1)由圆C的圆心在直线y=x(x>0)上，可设圆心C的坐标为(m,m)(m>0)，
又圆C的半径为2，点A(−1,1)在圆C上，
则|AC|= [m−(−1)]2+(m−1)2=2，
解得m=1，(m=−1舍去)，
故圆C的标准方程为(x−1)2+(y−1)2=4．
(2)①当切线的斜率不存在时，直线x=−1与圆C相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，
由题意|2k−1| k2+1=2，解得k=−34，
所以切线方程为−34x−y−34=0，整理为3x+4y+3=0，
由①②知，过点B(−1,0)且与圆C相切的直线方程为x=−1或3x+4y+3=0．

17.解：(1)∵y2=2px(p>0)过点A(1,2)，
∴2p=4，解得p=2，
∴抛物线C：y2=4x，准线方程为x=−1；
(2)由(1)知，抛物线焦点为(1,0)，
设直线AB：y= 3(x−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y= 3(x−1)y2=4x，得：3x2−10x+3=0，则x1+x2=103，
则|AB|=|x1+x2+p|=|103+2|=163．
18.(1)证明：如图，连接OC，
在Rt△BCD中，由BD=4，可得OC=2，
因为PB=PD= 5，OB=OD=2，
所以OP⊥BD，OP= PB2−OB2= 5−4=1，
因为OP=1，OC=2，PC= 5，
则PC2=OP2+OC2，
故OP⊥OC，
因为OP⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC⊂平面ABCD，
则OP⊥平面ABCD；
(2)解：由(1)可知，OC，OB，OP两两垂直，
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则O(0,0,0)，B(2,0,0)，D(−2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，
所以DC=(2,2,0),AB=2DC=(4,4,0)，
则A(−2,−4,0)，
又BC=(−2,2,0),BP=(−2,0,1)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BC=−2x+2y=0m⋅BP=−2x+z=0，令x=1，则y=1，z=2，
故m=(1,1,2)，
设平面PAD的法向量为n=(a,b,c)，
因为DP=(2,0,1),AD=(0,4,0)，
所以n⋅DP=2a+c=0n⋅AD=4b=0，令a=1，则b=0，c=−2，
故n=(1,0,−2)，
所以|cs|=|n⋅m||n||m|=3 1+1+4× 1+4= 3010，
故平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为 3010．
19.解：(1)∵△AF1F2是面积为4 3的等边三角形．∴bc=4 3b= 3c⇒c=2,b=2 3，a=4．
∴椭圆C的标准方程为x216+y212=1；
(2)由(1)知，当MN⊥x轴时，且MN|=4 3，则MN为椭圆的短轴，不符合题意．
故设MN：y=kx+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由y=kx+mx216+y212=1得：(3+4k2)x2+8mkx+4(m2−12)=0=0
△=64m2k2−16(3+4k2)(m2−12)>0⇒12+16k2−m2>0．
且x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4(m2−12)3+4k2
∵|MN|= 1+k2⋅ (x1+x2)−4x1x2= 1+k2⋅4 3 16k2−m2+123+4k2=4 3．
∴m2=4−1k2+1，
∵k2+1≥1，∴3≤m2≤4．
原点O到直线MN的距离为d=|m| 1+k2，△OMN的面积为S=12|MN|⋅d=2 3d.
∴当d最大时，△OMN的面积最大．
d2=m21+k2=m2(4−m2)=4−(m2−2)2，而3≤m2≤4．
∴当m2=3时，d2取得最大值，△OMN的面积最大值S=2 3d=6．
把m2=3代入11+k2=4−m2，可得k=0，m=± 3．
即直线MN的方程为y=± 3．