黑龙江省九师联盟校2025-2026学年高三上学期1月联考数学试题与解析（word版+pdf版）

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1.设集合 ，则
A. B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】因为 ,所以 .
2.在复平面内,复数 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为 ,所以在复平面内 对应的点的坐标为 ,位于第四象限.
3.若向量 ,则实数
A. B. C. 0D.
【答案】B
【解析】 ,由 ,得 .
4.已知直线 ,圆 ,则直线 与圆 的位置关系是
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定
【答案】A
【解析】由题意知圆 的圆心为 ,半径为 ,因为圆心 到直线 的距离 ,所以直线 和圆 相交.
5.某中学举办迎国庆歌咏比赛，邀请了七位评委，对一个选手打分后，得到一组互不相等的数据 ， ， ,去掉其中最高分与最低分得到的数据与原始数据一定相同的是
A. 平均分 B. 极差 C. 标准差 D. 中位数
【答案】D
【解析】去掉了最高分和最低分,平均数不一定相同,极差与标准差一定不同,不妨设 ,原始数据的中位数为 ,且 的中位数为 .
6.将数列 和数列 的公共项按从小到大的次序组成数列 ,则
A. 441 B. 361 C. 121 D. 100
【答案】B
【解析】由题意,得 ,所以 .
7.若函数 的最小正周期为 ，且 ， 的图象关于点 对称,则
A. 1 B. 0 C. -1 D.
【答案】A
【解析】 ,则 ,由 ,得 ,因为 的图象关于点 对称,所以 ,解得 ,又 ,所以 .
8.设函数 ,令 ,则 的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,因为 的定义域为 ,且 ,所以 是偶函数,令 ,当 时, 在 上单调递增,由复合函数的单调性知 在 上单调递增,由 是偶函数,得 ,再由对数换底公式和运算性质,得 ,所以 ,所以 ,又 在 上单调递增,所以 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知两条不同的直线 ,两个不同的平面 ,则下列命题为真命题的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】对于 A，根据线面垂直的性质定理知 A 正确；对于 B，除非加上 ，可以推出 ，其他情况容易举反例，故 B 错误; 因为 ,过 作平面 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 正确; 对于 ,直线 相交时符合面面平行判定定理，否则结论不成立，故 D 错误.
10.已知函数 ,则
A.
B. 的极值都大于 0
C.
D. 若 ,则
【答案】AC
【解析】因为 ,所以 ,所以 ,故 A 正确；由 知 的极小值为 ,故 B 错误; 因为 在 上单调递增, ,所以 =4，故 C 正确；当 时，由幂函数的性质，知 ，因为 在 上单调递减，所以 ，故 D 错误.
11.伽利略说:大自然是一本用数学语言写成的书. 人们在自然界中发现了斐波那契数列 ，其中 ,斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用. 下列关于斐波那契数列 的正确结论是
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】 ,故 A 正确; 因为 ,故 B 错误; ,以上各式相加,得 ,故 C 正确;
,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知 ,则 的最小值为________.
【答案】14
【解析】由基本不等式,得 ,当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值为 14 .
13.碳 14 是一种著名的放射性物质, 当生物死亡后, 体内碳 14 含量按确定的比率衰减, 称为衰减率. 考古学上常用碳 14 推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳 14 的半衰期是 5730 年. 假设某生物死亡时其体内碳 14 的含量为 ，则此生物的死亡时间单位：年)和死亡后体内碳14的剩余含量 的函数关系是 _______.
【答案】
【解析】设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 ,那么死亡 1 年后生物体内碳 14 含量为 ,死亡 2 年后生物体内碳 14 含量为 ,死亡 5730 年后生物体内碳 14 含量为 ,所以 ,所以 .
14.已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线与 的右支交于 ， 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点 ，则点 的横坐标的取值范围是________.
【答案】
【解析】设 ,弦 的中点为 ,由题意,得 ,则 ,设 : ,联立方程 得 ,所以 ,因为直线 和 的右支交于两点,所以 ,解得 ,因为 ,直线 的方程为 ,令 ,得 ,又 ,所以 ,即点 的横坐标的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.记 的内角 、 、 的对边分别是 ， ， ，已知 ， 为锐角.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长 .
【解析】(1) 因为 ,
所以 ,
即 .
因为 ,所以 ,又已知 ,所以 .
(2)因为 的面积为 ，所以 ，解得 ，
由余弦定理 ,得 ,所以 ,
所以 ,
所以 的周长为 .
16.已知抛物线 的焦点为 ,过 且斜率为 1 的直线 交 于 , 两点.
(1)求线段 的长度；
(2)已知 为坐标原点,若过 的直线 与 相交于 ， 两点,求直线 ， 的斜率之积.
【解析】(1) 由题意,得 ,所以 的方程为 ,
设 ,由 得 ,所以 ,
由抛物线的定义,得 .
(2)由题意知 的斜率不为 0，可设 ，直线 的斜率分别为 ，
联立方程,得 所以 ,
所以 ,
因为 在 上,所以 ,
所以 ,即直线 的斜率之积为 -2 .
17.如图，在正三棱台 中， .
(1)求正三棱台 的体积 ；
(2)若 是 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】
(1)如图，设上、下底面的中心分别为 ， ，连接 ， ，过 点作底面 的垂线，垂足为 ，则 在 上， 是三棱台的高，
因为 都是正三角形,且 ,所以 ,
由勾股定理,得 ,
所以正三棱台 的体积 .
(2)如图，以 为原点， 为 轴正方向，过 作 的平行线与 交于点 ， 为 轴正方向， 为 轴正方向，
则 ， ，
所以 ,
所以 .
设平面 的法向量 ,则 即
取 ,得 ,即平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.已知函数 .
(1)当 时,求函数 的图象在 处的切线方程；
(2)若 有 2 个极值点，求 的取值范围；
(3)若 有 2 个零点，求 的取值范围.
【解析】(1) 当 时, ,所以 .
所以 的图象在 处的切线方程为 ,即 .
(2)因为函数 有 2 个极值点，所以函数 有 2 个变号零点，
而 ,令 ,所以 ,
设 ,只需 与 的图象有 2 个交点, ,
当 时, 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减，所以 .
又 时, 且 ,
所以当 时,函数 有 2 个极值点.
(3) 不是 的零点，
令 ,则 ,
所以 ,令 ,欲使函数 有 2 个零点,只须直线 与 的图象有 2 个交点,
当 或 时, 在 和 上单调递增;
当 或 时, 在 和 上单调递减,且 ,
的极大值为 的极小值为 ,
又当 时, 且 ,当 且 时, ,当 且 时, ,当 时, ,所以当 或 时,直线 与 的图象有 2 个交点,
即 有 2 个零点时， 的取值范围是 .
19.某学校举办一项竞赛活动, 首先每个班级选出 8 位候选人, 然后在这 8 人中随机选出 3 人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛.
(1)已知某班甲、乙、丙三人已经入围 8 位候选人之中，现从这 8 人中抽签随机选出 3 人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙 3 人中进入竞赛小组的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)预赛规则如下:竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛. 若甲、 乙、丙 3 人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为 ，求此竞赛小组能进入决赛的概率;
(3)假如只有 组与 组进入决赛，胜者获得冠军. 已知决赛规则如下:题库共有 道题，两个小组同时做同一道题,假设每道题都能做出,且没有相同时间做出,先做对该题的小组得 1 分,另一组不得分. 组每道题先做对的概率都为 组先做对的概率都为 ,且 , 各题做题结果相互独立. 现在有两种赛制可以供 组选择,赛制一: 从题库中选出 道题,这 道题全部做完后,得分高的小组获得冠军; 赛制二: 做完 道题,得分高的小组获得冠军. 你认为 组应该选择哪种赛制更有利于胜出? 请说明理由并写出推导过程.
【解析】(1) 由题意知随机变量 的取值可以为0,1,2,3,
所以 的分布列为
的数学期望 .
(2)设甲、乙、丙能独立做对该题的事件分别为 ，则至少有两人做对该题的事件为: ， 所以竞赛小组能进入决赛的概率为
(3)按照赛制一，设做完选定的 题后， 组的得分为 ，则 ， 组取得胜利的概率为 11 分
按照赛制二,可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完,不妨设做完 题, 组取得胜利的概率为 ,
则 , 13 分
,
已知 ，所以 ，因此 组采用赛制二更有利于胜出 .0
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