内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）．
A．1B．2C．3D．4
3．设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12B．C．6D．
4．平行六面体中.则=（ ）
A．B．C．D．
5．经过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（非顶点），为右焦点，则的周长为（ ）
A．B．C．D．4
6．已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
7．若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列图中能表示直线l的倾斜角的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若，则向量，的夹角是锐角
B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面
10．下列结论中正确的有（ ）
A．过点且与直线平行的直线的方程为
B．过点且与直线垂直的直线的方程为
C．若直线与直线平行，则的值为3
D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
11．已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（ ）
A．两圆的相交弦所在直线方程为
B．两圆的公共弦长为
C．经过A，B两点，且过原点的圆的方程为
D．P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为
三、填空题
12．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为 ．
13．已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为
14．两直线，若的倾斜角是，则的斜率是 .
四、解答题
15．已知的三个顶点，求：
(1)边上的高所在直线的方程；
(2)外接圆的方程.
16．已知直线和直线在轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线过点．如果点到直线的距离为1，求的方程．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，点E是PD的中点，，.求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值.
18．已知，，.
(1)求直线的方程及的面积；
(2)求的外接圆的方程.
19．设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量．
(1)写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程；
(2)已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离．
1．A
根据椭圆的简单几何性质计算可得；
【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为，所以，所以焦点坐标为、
故选：A
2．B
求出双曲线的渐近线方程，然后由垂直可得答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以，解得或（舍去），
故选：B
3．C
利用两圆的位置关系计算公共弦及其弦长，结合点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由题意可知：，
因为圆：和圆：交于A，B两点，
所以直线AB的方程为，
所以到直线AB的距离，
所以，
又，
所以．
故选：C．
4．A
先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长.
【详解】由题意得，
故
，
故.
故选：A
5．A
由椭圆的定义求解.
【详解】椭圆即，所以椭圆的长半轴，
由椭圆的定义可得，且，
则的周长为.
故选：A.
6．C
利用双曲线第二定义和三角形相似，求出即可求得离心率的值.
【详解】由题意得，即双曲线的右准线.
如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为.
因为，所以是的中点，,
由双曲线第二定义可得，可得，
又由相似三角形可得，
所以，所以，
因为，所以，，，
又由相似三角形可得，
因为，，，
所以综上可化为，
解得，所以.
故选：C.
7．B
可得直线过定点，则数形结合可得或即可求出.
【详解】可得直线的斜率为，且过定点，
则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，
，或，
或.
故选：B.
8．A
根据倾斜角的概念直接判断即可.
【详解】由倾斜角的定义，直线向上的方向与x轴正向之间所成角为倾斜角，
可知只有选项A中的表示直线l的倾斜角.
故选：A
9．BC
根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D.
【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误；
对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确.
对C，因为，且，所以四点共面,故C正确.
对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误.
故选：BC.
10．ABC
对于A，由互相平行直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误.
【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确；
对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确；
对于C，因为直线与直线平行，
所以，解得或，
注意到当时，两直线重合，所以，故C正确；
对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误.
故选：ABC.
11．ACD
求得两圆的相交弦所在直线方程判断选项A；求得两圆的公共弦长判断选项B；求得经过A，B两点，且过原点的圆的方程判断选项C；求得PQ的最大值判断选项D.
【详解】选项A：由两圆与的方程相减可得，即，
则两圆的相交弦所在直线方程为.判断正确；
选项B：：的圆心，半径为5，
到直线的距离为，
则两圆的公共弦长为.判断错误；
选项C：经过A，B两点的圆的方程可设为
，
又此圆过原点，则有，解之得，
则，
则经过A，B两点，且过原点的圆的方程为.判断正确；
选项D：：的圆心，半径为5，
圆：的圆心，半径为，
P为上任意一点，Q为上任意一点，
则PQ的最大值为.判断正确.
故选：ACD
12．
首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出.
【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，
所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得．
故答案为：
13．
根据正弦定理，结合题意，列出方程，代入数据，化简即可得答案.
【详解】由题意得：，
所以，所以，
解得.
故答案为：
14．
求出直线的斜率，再借助垂直关系求出的斜率.
【详解】由的倾斜角是，得直线的斜率，由于，
所以的斜率.
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）求出AB边上的高的斜率为﹣1，可得AB边上的高所在直线的方程；
（2）利用待定系数法求△ABC外接圆方程．
【详解】（1）直线的斜率，那么边上的高的斜率就是，
所以方程是，整理为：．
（2）设外接圆方程是，
代入三个点的坐标，

外接圆的方程为
16．或．
根据题意，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式列出方程，再将点的坐标代入直线的方程，联立方程，即可得到结果.
【详解】由题意，可设直线的方程为，即，
点到直线的距离为1，，①
又直线的方程为，且直线过点，．②
由①②，得，两边平方整理得，解得或．
当时，代入②，得，此时直线的方程为；
当时，代入②，得，此时直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
17．
建立空间直角坐标系，分别求出平面EAC的法向量与平面PAB的法向量，利用空间向量中平面夹角的计算公式求解即可.
【详解】因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
由于四边形ABCD是矩形，所以，
由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面EAC的一个法向量为，则，即，
取，则，所以是平面EAC的一个法向量，
又，又因为平面，
所以平面.所以是平面的一个法向量.
设平面EAC与平面的夹角为，则，
所以平面EAC与平面夹角的余弦值为.
18．(1)；9
(2)
【详解】（1）直线的方程为，即，
因为，
点到直线的距离为，
所以的面积为.
（2）设的外接圆的方程为，
由题意，解得，
所以的外接圆的方程为：.
19．(1)，证明见解析
(2)
【详解】（1）点到直线的距离，
直线的一个法向量，则直线的一个单位方向向量为，
又点是直线上的任意一点，
所以，则，，
所以点到直线的距离
，
又，即，所以.
（2）因为点关于直线的对称点为点，
所以点到直线的距离与点到直线的距离相等，