湖北省百强高中名校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

这是一份湖北省百强高中名校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先求解一元二次不等式得出集合，再应用并集定义计算求解.
【详解】，
；
所以.
故选：B.
2. 已知是第三象限角，那么是（ ）
A. 第二象限角B. 第四象限角
C. 第一或第三象限角D. 第二或第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】由已知有，，再求出的范围，即可得.
【详解】由，，则，，
为奇数时，在第四象限，
为偶数时，在第二象限，
所以在第二或第四象限.
故选：D
3. 若函数 的图像关于坐标原点对称，则实数a的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D. – 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，计算解得参数的值.
【详解】因为函数的图象关于坐标原点对称，所以，
即，化简得，解得，
故选：B.
4. ，用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】画出函数图象，即可求解.
【详解】由，可得：，画出函数的图象，如下图，
由图象可知当时，取得最大值2，
故选：C
5. 设，则 是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由题知，进而移项配方得，故，再根据充要条件判断即可.
【详解】
，
所以，是的充要条件.
故选：C
6. 若，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】应用四元基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为4.
故选：D
7. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，利用对数公式整理成，构造函数，利用导数法得到在上是单调递减函数，由，得到，即，从而得到.
【详解】，
，
，
设，则，
设，，
，，在上是单调递增函数，
，，，
，
，
，在上是单调递减函数，
，
，
，
.
故选：A.
8. 已知函数 ，若恒成立，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先分析隐含的条件，同号或至少有一个为0，结合这两个函数的图象及零点分类讨论即可得到，从而求解.
【详解】因为，所以的定义域为.
恒成立，即对于定义域内的任意，同号或至少有一个为0.
函数均为增函数，且有唯一的零点，有唯一的零点.
当时，当时，，，
则，不符合题意；
当时，若，，，
则，不符合题意；
当时，当时，同号或同时为0，恒成立，符合题意.
综上，.
所以，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的定义域为，且是偶函数，函数的图象关于坐标原点对称，当时， 则（ ）
A. 函数在上单调递减B. 当时，
C. 直线是函数图象一条对称轴D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据是偶函数，可以判断选项C；根据的图象关于坐标原点对称，结合选项C可得到的一个周期，从而判断选项D；当时，通过，与已知的解析式建立联系，可判断选项B；当时，通过，与B中的解析式建立联系，可判断选项A.
【详解】因为是偶函数，
所以，即，亦即，
所以直线是函数图象的一条对称轴，故C正确.
因为的图象关于坐标原点对称，所以是奇函数，
所以，又，所以，
所以，即的一个周期为4，
所以，故D错误.
当时， ；
当时，，又，的一个周期为4，所以，故B正确.
当时，，所以，由复合函数的单调性知，在上单调递增，故A错误.
故选：BC.
10. 若，且 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知等式两端同乘化简得到，再结合基本不等式逐项判断即可.
【详解】由两端同乘可得：，
即，又，
所以，
对于A，由，令，
得，解得，
所以，当且仅当时取等号，A正确，
对于B，，当且仅当时取等号，
B正确，
对于C，由，当且仅当时取等号，
可得，当且仅当时取等号，C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确，
故选：ABD
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数.如:，函数，则（ ）
A. 是偶函数
B. 不等式 的解集为
C. 若 ，则 或
D. 函数 有2025个零点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义判断A，结合高斯函数解不等式判断B，换元解方程判断C，利用零点的定义结合题干判断D.
【详解】，
又，不满足偶函数的定义，不是偶函数，故A错误，
令，原不等式化为，解得，
又，，即不等式的解集为，故B正确，
令，则，由于是整数，也是整数，
设，则，，
，，
解不等式，解得；解不等式，解得，故的取值范围为，
，或，此时或，故C正确，
，则，则，为整数，
设，则，
解不等式，解得；解不等式，解得，的解集为，
的取值为，共个，
即函数 有2025个零点，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知 且，则 ________
【答案】或
【解析】
【分析】先利用立方和公式对分子进行因式分解，然后化简等式，最后通过解方程求出的值.
【详解】因为，
所以，
所以，
设，则可化为，
即，解得或.
因为，所以或.
故答案为：或
13. 物体在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃满足关系式： 其中k 是正常数.现有90℃的物体放在 10℃的空气中冷却，3min后物体的温度为50℃，则此物体的温度降为20℃还需________min.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据第一次温度的变化过程，计算得到，再根据第二次的温度变化，计算得到最终的结果.
【详解】由题意得：，当，时，，代入
得：，解得：；
设物体的温度从90℃降为20℃，所需时间为，即此时，，，代入得：，，解得：min；
所以，此物体的温度降为20℃还需min.
故答案为：.
14. 已知正实数满足 则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用双变量同构函数思想，构造函数，从而把问题转化为研究函数单调性可得，最后利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为正实数，，
所以两边同除以得：
整理得：，
构造，由于
则原不等式等价于，
因为，所以，
即是上的单调递增函数，
所以，
则，取等号条件是，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数
（1）若函数的定义域为，求的取值范围；
（2）若函数求函数的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用二次不等式恒成立来求参数范围，再结合分类讨论，可求解问题；
(2)利用复合型二次函数求值域即可.
【小问1详解】
由
因为定义域为，所以满足或，
解得，故的取值范围为；
【小问2详解】
当根据对数函数的单调性可知：，
又由
，
所以当时，有最大值，当时，有最小值，
故函数的值域为.
16. 基本再生数与世代间隔T是流行病学衡量某疾病传染性强弱的基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．一地区去年冬季突发某传染性肺炎疫情，经统计可用指数模型： 描述疫情初始阶段累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，其中表示时累计感染病例数．指数增长率r与和T近似满足 ，已知 ．（参考数值:）
（1）根据上述数据，请估计在疫情初始阶段，累计病例数增加1倍需要的时间大约是多少天?（结果保留整数）
（2）疫情之后，人们防护意识增强，日常医用防护用品需求增大，某服装厂决定进入该领域，现有A、B两种医用产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，纵坐标表示利润，单位均为万元）．该厂拟投入万元用于 A、B两种产品的生产，问：怎样分配这万元资金，才能使该厂利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）2 （2）对产品投资4万元，对产品投资万元时利润最大；
【解析】
【分析】（1）利用已知函数模型结合已知条件，运用指数、对数运算法则计算求解；
（2）先分析利润、投资比例系数，列出利润函数，再根据二次函数的性质求解．
【小问1详解】
，，
，
累计病例数增加1倍，即，
，即，，
大约需要2天．
【小问2详解】
设对产品投资万元，则对产品投资万元，总利润为万元，
由图①可知，产品的利润与投资成正比，当投资为2万元时，利润为1万元，
比例系数为，故产品利润为，
由图②可知，产品的利润与投资的算术平方根成正比，当投资为4万元时，利润为4万元，
比例系数为，即产品的利润为，
总利润函数为：，
令，则，原函数转化为：，
函数图象开口向下，最大值在顶点处，顶点横坐标为，
，即对产品投资4万元，对产品投资万元，
最大利润为万元．
17 已知函数
（1）若函数在单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若函数在区间内恰有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）按照和讨论求解，当时，求出的对称轴为，由在单调递增，得到，从而得到的取值范围，
（2）按照和讨论求解，当时，按照和讨论求解，当时，由函数在区间内恰有一个零点，得到，从而实数a的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，满足函数在单调递增，则符合题意；
当时，的对称轴为，
在单调递增，，，
，
综上可知，若函数在单调递增，则实数a的取值范围为；
【小问2详解】
，
当时，，，，故符合题意；
当时，，
当时，即，解得，
此时的解为，，故符合题意；
当时，即，解得，
若函数在区间内恰有一个零点，
则，解得或，
当时，的解为或，符合题意；
当时，的解为或，符合题意；
综上可知，若函数在区间内恰有一个零点，
则实数a的取值范围为或.
18. 设函数满足:①对任意实数x，y都有；②对任意，都有；③不恒为0，且当时，.
（1）求，的值;
（2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义“若存在非零常数T，使得对函数定义域中的任意一个x，均有，则称为以T为周期的周期函数”.试证明：函数是以6为周期的周期函数，并求出的值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，建立方程，求得根，根据题干中的条件，验根，可得答案；
（2）利用赋值法，根据奇偶函数的定义，可得答案；
（3）利用赋值法，根据周期性的定义，利用方程思想，可得答案.
【小问1详解】
由条件①，，则，
化简可得，解得或，
当时，由条件①，令，则，
解得，与条件③中不恒为零相矛盾，应舍去，故，
由条件①，令，则，
由条件②，令，则，
代入上式可得，解得，
当时，由条件①，令，则，
化简可得，解得，
与条件③中当时，相矛盾，应舍去，故.
小问2详解】
由条件①，，则，
化简可得，可得，
所以函数为偶函数.
【小问3详解】
由条件①，令，则，
由条件②，可得，即，
因为，所以为函数的周期，
由条件①，令，则，
化简可得，解得，
由条件①，令，则，
由上式，令，则，
所以，
可得，
由条件①，令，则，
化简可得，分解因式可得，
由，则解得，可得，
由，则
.
19. 函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”.
（1）求函数 “跟随区间”；
（2）证明：函数不存在“保值区间”；
（3）定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）由得，进而根据函数在上单调递增得，再结合即可求得答案；
（2）假设函数存在“保值区间”，则必有或，再根据函数的单调性列方程，得到方程组无解即可证明；
（3）先根据函数的对称性得，，进而得及与时的图象，再分，，三种情况讨论求解即可.
【小问1详解】
解：设函数的“跟随区间”为，则的值域为
因为，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
所以，即是一元二次方程的两个实数根，解得或，
又因为，所以，.
所以函数的“跟随区间”为.
【小问2详解】
证明：函数的定义域为
假设函数存在“保值区间”（），则必有或，
因为在和上均为单调递减函数，
所以，两式作差得：，即
因为，所以，即，
将代入得，此方程无解，
所以函数不存在“保值区间”.
【小问3详解】
解：因为为奇函数，
所以函数的图象关于点对称，即
当时，，
所以当时，，，
所以，
当时，，且单调递增，
因为函数的图象关于点对称，
所以当时，，且单调递增，
所以，在与图象如图所示：

当时，函数，显然不存在“保值区间”，
若函数在存在“保值区间”（），
当时，
若，则，所以，不合题意，
所以若在存在“保值区间”，则必有
因为函数在上单调递增，
所以，即，
所以在上有两个不同的解，
令，则，当且仅当时等号成立，且，时有两个不同的解；
所以，
当时，
若，则，所以，不合题意，
所以，若在存在“保值区间”，则必有，
由于函数在上单调递减，
所以，
两式作差得，即：，
将代入得，
即，所以，
所以，当，，时，在存在“保值区间”
综上，当实数的取值范围为