湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析带答案解析

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一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列表述中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合与元素的关系依次判断各选项即可.
【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误；
对于B，集合元素具有无序性，故正确；
对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误；
对于D，表示有序数对集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误；
故选：B
2. 已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先需要分别求解集合和集合，然后根据充分不必要条件的定义，确定集合与集合的关系，进而求出实数的取值范围.
【详解】由得：，∴，
解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，则需满足；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
3. 下列命题中的真命题是（ ）
A.
B.
C. 函数和函数的图象在定义域内有且只有三个交点
D. “”是“”的充要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过推理分析判断A项不正确；通过举反例可判断B项不正确；利用作图观察分析可判断C项；利用充要条件的判断方法判断D项.
【详解】对于A，因为，所以不存在，满足，故A错误；
对于B，当时，，即不成立，故B错误；
对于C，由作图可知，两函数图象在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点，
故共有三个交点，即C正确；
对于D，由“”易得“”，即“充分性”成立；
若“”，则“”不成立，如，满足，
但推不出，即“必要性”不成立.
故“”是“”的充分不必要条件，故D错误.
故选：C.
4. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断.
【详解】解：由得，
构造函数，
因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，
，
所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间.
故选：C
5. 若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得在上单调递增，结合分段函数的单调性要求即可求解.
【详解】解：∵对任意的实数都有成立，
∴函数在上单调递增，
∴,解得，
故选：C
6. 设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数的性质得到函数在和上函数值的正负，由二次函数的性质可知方程的根的情况，从而建立关系式，然后求得的最大值.
【详解】，
当，，当，
∴当时，，当时，，
∵函数是一个开口向下的二次函数，
∴的一个根小于等于0，一个根为1，
则，，所以的最大值为1，
故选：D
7. 设，则取最小值时，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】可变形为，再通过基本不等式求其最小值并确定取最小值时的值即可.
【详解】因为
，
因为，当且仅当时等号成立，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以，
当且仅当，，，即，，时，等号成立，此时.
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，函数在上单调递增，化简为的形式，即可得出答案.
【详解】构造函数，可知函数为偶函数，不妨设，，
因为，所以，
所以，即，因此函数在上单调递增；
又
由于，故.
故选: B
二、多选题：（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求）
9. 设，若，则实数的取值可以是 （ ）
A. 0B. C. 1D. 3
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解.
【详解】由集合，因为，所以，
当时，即方程无实根，可得；
当时，可得，
若，解得，此时，满足；
若，解得，此时，满足，
综上可得，实数的值可以是或或.
故选：ABC.
10. 设，且，则下列不等式成立是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据判断A；直接利用基本不等式求解判断B；结合基本不等式“1”的用法判断C；利用特殊值法检验判断D，也可以利用赫尔德不等式或权方和不等式求解判断D.
【详解】解：选项A：因为，且，由可知,又，解得，故A正确，
选项B：由，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误；
选项C：因为，
当且仅当时取等号，此时，故C正确，
选项D：方法一：代入，故D错误，
方法二：赫尔德不等式，当且仅当时等号成立,故的最小值为，小于，故D错误；
方法三：权方和不等式，即，当且仅当时等号成立，故的最小值为，小于，故D错误；
故选：AC.
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 在上是减函数D. 的值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于选项A，通过计算和的值，从而判断不是偶函数；对于选项B，利用奇函数定义，通过计算，证明是奇函数；对于选项C，通过分析的表达式，得出在上是减函数；对于选项D，先求的值域，再根据高斯函数定义，得出的值域是.
【详解】∵，
，
∴，则不是偶函数，故A错误；
∵的定义域为，
，
∴为奇函数，故B正确；
∵，又在上单调递增，
∴在上是减函数，故C正确；
∵，∴，则，可得
即，∴，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算：________________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算性质，准确计算，即可求解.
【详解】根据指数幂与对数的运算公式，可得：
故答案：.
13. 已知函数，则不等式的解集为________________.
【答案】
【解析】
【分析】设，利用函数的奇偶性定义证明是上的奇函数，分析判断其为上的增函数，利用以上函数的性质求解抽象不等式即可.
【详解】令，函数的定义域为，关于原点对称，
由
，即为定义在上的奇函数.
因和为增函数，设，则在定义域内单调递增，
且在上单调递增，则在上是单调递增函数，
故函数在上是单调递增函数.则等价于，
即，所以，解得.
故答案为：.
14. 已知集合，，设，且，又中所有元素之和为234，则____________，________________.
【答案】 ①. 1 ②. 15
【解析】
【分析】根据得得，进而得，此时中必定有一个为3，通过假设不成立得，再根据即可得，.
【详解】因为，，
所以
因为，所以，，
若,则,显然结合中最小的元素不小于4，此时无法满足,
所以,
因为，所以
因为
所以中必定有一个为3，
若，则，由于中所有元素之和234，故，此方程没有整数解，故不成立，
所以，此时，
因为中所有元素之和为234，故，
因为，故当，中无正整数解，
所以
当，则，无整数解，
当，则，解得或（舍），
所以，此时，满足题意
所以，
故答案为：；.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15. （1）设集合，，求；
（2）设命题：对任意，不等式恒成立，
命题：存在，使得不等式成立，
若命题、都是真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）求解集合、，再根据集合并集的定义求解即可.
（2）由命题、都是真命题，可以得到以及，求解即可.
【详解】（1）由，得集合，
由，得集合，
则；
（2）命题：对任意，不等式恒成立，
即
，当时，取到最小值，
∴，∴
所以为真命题时，实数的取值范围是.
命题：存在，使得不等式成立，
只需，而在实数集上单调递增，
所以当时，取到最大值为，
∴，
故命题都是真命题，实数的取值范围是.
16. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本）
（2）当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元
【解析】
【分析】（1）根据条件得到销售额为（万元），分和两种情况讨论得到利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）由，则分两种情况，分别在对应范围内利用二次函数的对称轴和基本不等式讨论最大值，最后取最大者即为最大利润.
【小问1详解】
每辆售价 6 万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元）
当时，，
当时，，
∴；
【小问2详解】
当时，，
这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值，
当时，，
∵，当且仅当，即时，等号成立，
∴，
即当时，取到最大值2300，
∵，∴当时，
即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元.
17. 已知定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求证：当时，恒有；
（2）求证：函数在上是增函数；
（3）若，求不等式的解.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）运用赋值法，令，代入求出，由条件舍去0，得到，由于，时，只需时，即可，令，则，对讨论即可；
（2）运用函数的单调性定义证明，令，则，由时，，得，再由，得到，再由（1）得证；
（3）根据条件，令，求出，再令，求出，再根据得到，结合单调性解出即可．
【小问1详解】
证明：已知定义在上的函数满足，
令，则，
又当时，，所以，即，
当时，则.在中，
令，有，所以，
综上：当时，恒有
【小问2详解】
证明：设是上的任意两个实数，且，
则，且，
，
由第一问可知当时，恒有，且，
所以，
因此函数在上单调递增；
【小问3详解】
若，求不等式的解，
在中，令，则，即，
令，则，
不等式等价于，
即，即，
所以不等式的解集为.
18. “函数图象关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足.
（1）若定义在上的函数图象关于原点对称，且当时，，
①求函数的解析式；
②对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图象关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若定义在上的函数的图象关于对称，且当时，.
①判断函数在上的单调性并且证明；
②关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）①；②
（2）①单调递增，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）设，得到；再由，即可求得的解析式；
②根据题意，求得在上为单调递增函数，且为奇函数，把不等式转化为对于任意的，等价于恒成立，结合的单调性，列出不等式，即可求解；
（2）①根据题意，当时，得到，结合求得的解析式，利用函数单调性的定义和判定方法，即可证得在上单调递增；
②由，求得有三个零点，根据题意，得到方程有且只有异于上述三个零点的一个根，利用的单调性，对称性，结合图象，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：①因为定义在上的函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数，
因为时，
设，则，可得，
当时，，可得，
所以函数的解析式为.
②当时，，可得在为单调递增函数，
所以函数在为单调递增函数，且，即函数的图象过原点，
所以在上为单调递增函数，且为的奇函数，
由对于任意的，不等式恒成立，
即对于任意的，等价于恒成立，
即对于任意的，等价于恒成立，
因为在上为单调递增函数，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
解：①因为定义在上的函数的图象关于对称，
且当时，，
由，当时，；
当时，，
所以，
设，且，
则，
因为，所以，
所以，即，所以函数在上单调递增；
②由①知，函数，
当时，令，即，解得；
当时，；
当时，令，即，解得，
所以函数有三个零点，分别为，
因为方程在上有四个不同的零点，
所以原方程等价于有且只有异于上述三个零点的一个根，
由①知在和上单调递增，且函数的图象关于对称，
当时，；当时，，
要使得只有一个根，即与的图象只有一个公共点，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围为.
19. 用表示中的最小值，用表示中的最大值.
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知，函数，试讨论函数的零点的个数.
【答案】（1）
（2）
（3）2个
【解析】
【分析】（1）根据中间量比较大小即可求解；
（2）解法一：由得，再结合基本不等式求解即可；解法二：由得，令，转化为求的最大值即可；
（3）求函数的零点，结合判别式，分别在，或，或时研究函数的零点，由此求结论.
【小问1详解】
由对数函数性质知，即，
又由指数函数性质知，即
又因为
所以
【小问2详解】
解法一：由，可得
则，
所以，当且仅当，取等号，所以的最大值为.
解法二：由，可得，
下面研究的最大值：（此处可以把除下来变为对勾函数求也行），
令，则有，
由及可得，故的最大值为，
接下来验证等号的条件
当时，，所以取等号的条件为，即时取等号，
所以，故最大值为.
【小问3详解】
解：，，由可得，
对，则，
①当，即时，恒成立，有2个零点，分别为1和；
②当，即或
（i）当时，，此时，是的2个零点；
（ii）当时，，此时是的2个零点；
③当，即或，有2个零点，记为，
（i）当时，，且关于对称，且，
又，，所以，此时，有2个零点，分别为和
（ii）当时，关于对称，且，
，所以，此时，有2个零点，分别为1和，
综上所述：无论取何值时，恒有2个零点.