山东省威海市临港区2024-2025学年（上）九年级数学期末检测试卷（含详解）

这是一份山东省威海市临港区2024-2025学年（上）九年级数学期末检测试卷（含详解），共21页。试卷主要包含了本试卷共6页，共120分，如图，抛物线与轴交于、两点，二次函数的图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页，共120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
3．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题在指定位置用0.5毫米黑色签字笔作答，在试卷或草稿纸上答题无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．下列各题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分．）
1．物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而改变，当物体与影子全等时（ ）
A．物体与投影面平行B．物体与投影面垂直
C．任一位置D．不存在这种情况
2．如图，为的两条弦，连接，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
4．如图，线段，的端点，，，均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，与交于点，则（ ）
A．B．C．D．
5．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D在AB上，点E，F分别在线段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，则∠EDF的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．2αD．90°﹣α
7．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（ ）

A．先增大后减小，最大面积为8B．先减小后增大，最小面积为6
C．始终不变，面积为6D．始终不变，面积为8
8．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连接，则面积的最大值是（ ）
A．8B．C．D．
10．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④若且，则，其中正确结论有（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果．）
11．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ．
12．某校九年级学生参加社团活动，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为9，底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为 ．
13．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为 米．
14．我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸．
15．如图，在为直径的半圆中，，，则弦，与半圆围成的阴影部分的面积与半圆面积的比值等于 ．
16．如图，直角三角板的直角顶点C在x轴上，两直角边（足够长）分别与双曲线和相交于A、B两点，已知点A的坐标为，且，则点C的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．已知：二次函数
(1)将函数解析式化为的形式；
(2)补全表格，用描点法画出该函数的图象：
(3)结合图象回答下列问题
①函数时，x的取值范围_______；
②当时，y的取值范围_______；
③方程有实根，则m最大值是_______．
18．四张质地相同的卡片上如图所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．小红和小明想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图，你认为这个游戏公平吗？请用列表法或树状图说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变得公平．
19．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边与键盘所在面的侧边长均为，点P为眼睛所在位置，D为的中点，连接，当时，称P点为“最佳视角点”，此时，作，垂足C在的延长线上，且．
(1)求点D到的距离；（结果保留根号）
(2)求的长．（结果精确到，参考数据）
20．在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：
如图1，已知，在上作一点P，使．
小亮同学很快就给出了下列思路：
如图2，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，再作的垂直平分线，交于P，交于点Q，则点P即为满足的点．
结合图2回答下列问题：
(1)与是否相等?请说明理由；
(2)小亮的做法是否正确?若正确，请说明理由；若不正确，请用无刻度直尺和圆规在图1中作出所求的点P．
21．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
22．如图，的直径交于P，P是的中点．
(1)求的长；
(2)过点作，垂足为，求证：直线是的切线．
23．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙之间悬挂一条近似抛物线的彩带如图2所示，已知墙与等高，且之间的水平距离为8米．
(1)如图2，两墙的高度是__________米，抛物线的解析式为__________；
(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离．
(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将到地面的距离提升为3米，通过适当调整的位置，使抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，若设点距墙AB的距离为米，抛物线的最低点到地面的距离为米，探究与的关系式．
24．问题提出
（1）如图①，线段在，，将绕点O在平面内旋转，的最大值是 ，最小值是 ；
问题探究
（2）如图②，已知在中，，，在上取一点D，当的长为多少时，，说明理由．
问题应用
（3）如图③，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．

参考答案
1．A
解：当物体与投影面平行时，物体与影子全等，反之亦然，
故选：A．
2．B
解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．C
解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
在中，，且，
∴是直角三角形．
故选：C．
4．C
解：如图，取格点，使得，连接，
，
，，，
，
，
，
故选：C．
5．A
解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影的面积占整个面积的，
∴黑色阴影的面积为．
故选：A．
6．D
解： ∵PA和PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA=PB，
∴，即
在与中，
∵
∴≌（SAS），
∴，
在中，
,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠P＝α，PA=PB，
∴
∴在中，，即，
∵，
∴
故选：D．
7．D
解：令，
解得：，
，
．
过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
又轴，
，
，
，，，
，
．
同理可得：．
，
与的面积和始终不变，面积为．
故选：C．
8．B
解：∵高，，B、D关于y轴对称，
∴D点坐标为，
∵轴，，最低点C在x轴上，
∴关于直线对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为，
∴右边抛物线的顶点F的坐标为，
设右边抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
故右边抛物线的解析式为，
故选：B．
9．C
解：过作于，连接，
将，代入中，得，
将代入中，得
∴点B的坐标为点A的坐标为
∴
根据勾股定理可得
则由三角形面积公式得，，
∴，
∴，
的半径
∴圆上点到直线的最大距离是，即点P为与的交点时
∴面积的最大值是，
故选：C．
10．A
解：图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右边，
故，
，故①正确；
根据对称轴为直线，抛物线与轴的交点在的左边，
抛物线与轴的另一个交点在和之间，
由图知，当时，，故②正确；
当时，函数有最大值为，
，即，故③错误；
∵，
∴，
令，，
则：在二次函数的图像上，
，
关于对称轴直线对称，
根据中点公式可得，则，故④错误；
故选：A．
11．
解：设旗杆高度为，
由题意得：，
解得：，
∴这根旗杆的高度为．
故答案为：．
12．
解：由题意知，，
∴，
故答案为：．
13．60
解：在中，．
，
（米），
在中，．
，
（米），
（米）．
故答案为．
14．26
解：设圆形木材的圆心为，延长，连接，
如图所示：由题意知：过点，且，
则，
设圆形木材半径为寸，
则寸，寸，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径为13寸，
故答案为：26．
15．
如图，连接、、，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设圆的半径为r，过C点作于点F，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴,
故答案为：．
16．
解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点B在双曲线上，
∴，
解得或（舍去），
∴点C的坐标是，
故答案为：．
17．(1)
(2)0，3，4，3，0；图象见解析；
(3)①；②；③4．
（1）解：；
（2）当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：0，3，4，3，0；
如图，
；
（3）①当时，x的取值范围为；
故答案为：；
②当时，；
当时，，
当时，y有最大值4，
当时，y的取值范围为；
故答案为：；
③方程变形为方程，
当抛物线与直线有交点时，方程方程有实根，
而抛物线的顶点的纵坐标为4，
所以，
即m的最大值为4．
故答案为：4．
18．不公平，可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜（方法不唯一），详见解析
不公平，理由如下：
由树状图知共有16种等可能结果，其中和为奇数的有6种，此时概率为，和为偶数有10种，此时概率为，
∵，
∴这个游戏是不公平的，
可以改为和不大于9的小红胜，大于9的小明胜，它们的概率各为（方法不唯一），
∴此时游戏是公平．
19．(1)
(2)
（1）解：过D点作于E点，则 ，
在中，
∵，
∴，
答：点D到的距离为；
（2）解：过D点作于F点，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴(cm)，
即的长度为．
20．(1)相等，理由见解析
(2)不正确，图见解析
（1）解：与相等，
理由：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（2）解：不正确，作图如下．
21．(1)20
(2)分钟
（1）解：设反比例函数的关系式为．
把代入，得：．
∴．
∴．
当时，，
∴．
（2）解：设一次函数函数的关系式为．
把代入，得：，解得：，
∴，
当在温度下降过程中，，
解得：，
当在温度上升过程中，，
解得：，
∴，
∴一次循环过程中有属于有效制冷时间．
22．(1)；
(2)证明见解析
（1）解：如图，连接，
是直径，
，
，
，
，
P是的中点，
；
（2）证明：如图，连接，
，P是的中点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
直线是的切线．
23．(1)3，
(2)点到地面的距离为2.25米
(3)
（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为，则，
解得：；
抛物线的表达式为，则点，即（米）；
（2）解：设抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，解得，
抛物线的表达式为，
当时，（米，
点到地面的距离为2.25米；
（3）解：由题意知，点、纵坐标均为4，则右侧抛物线关于、对称，
抛物线的顶点的横坐标为，则抛物线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，
整理得．
24．（1）6，2；（2）当的长为1时，，理由见解析；（3）5
解：（1）当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，的最大值是，
当，，三点共线，且点在线段上时，的最小值是，
故答案为：6，2；
（2）当的长为1时，，理由如下：
，，，
，，
，
，
又，
∴，
，
；
（3）如图，在上取一点，使得，连接，，，
、正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴，
，，
，，
∴，
，
，
，
，
当、、共线时，的值最小，
最小值为．
…
0
1
2
3
…
…
…