江苏省如东中学2025-2026学年高二上学期期末数学冲刺试卷

这是一份江苏省如东中学2025-2026学年高二上学期期末数学冲刺试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：江苏如东中学 葛张勇
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a=(1-t,2t-1,0),b=(3,t,t)，则b-a的最小值( )
A. 63B. 423C. 143D. 143
2.已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上，则a的值为( )
A. 8B. -4C. -8D. -16
3.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)，点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax+by-r2=0，那么( )
A. l1/​/l2B. l1⊥l2C. l1/​/l2或重合D. l1与l2相交
4.已知数列an是等比数列，若a9⋅a12>1,00成立，且f(2)=4，则不等式f(x)>2x的解集为( )
A. (4,+∞)B. (0,4)C. (0,2)D. (2,+∞)
7.我们知道：y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：y=f(x)的图象关于(a,b)成中心对称图形的充要条件是y=f(x+a)-b为奇函数.若f(x)=x3+3x2的对称中心为(m,n)，则f(2019)+f(2017)+f(2015)+⋯+f(3)+f(1)+f(-3)+f(-5)+⋯+f(-2017)+f(-2019)+f(-2021)=( )
A. 8080B. 4040C. 2020D. 1010
8.如图，已知抛物线C:y2=4x，过点(-1,0)且斜率为正的直线l与抛物线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，线段AB的中垂线交x轴于T，过原点垂直于直线l的直线l1交直线x=-2于点N，则四边形OTMN面积的取值范围为( )
A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (4,+∞)D. (6,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意实数x，有2x-39=a0+a1x-1+a2x-12+a3x-13+⋅⋅⋅+a9x-19.则下列结论成立的是( )
A. a0=1B. a2=-144
C. a0+a1+a2+⋯+a9=1D. a0-a1+a2-a3+⋅⋅⋅-a9=-39
10.设F是抛物线C:y2=4x的焦点，直线l:x=ty+1与抛物线C交于A,B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. AB≥4
B. OA⋅OB可能大于0
C. P为抛物线上异于A、B的点，直线l与准线交于点T，当t>0,A为第一象限的点时，若∠APB=α，PF平分∠APB，则∠APT=π+α2
D. 若在抛物线上存在唯一一点Q (异于A,B)，使得QA⊥QB则t=± 3
11.某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线f(x)=2x2+1x时通过数学软件绘制出其图象(如图)，并给出以下几个结论，则正确的有( )
A. 函数f(x)的极值点有且只有一个
B. 当x>0时，|f(-x)|0,b2>0)有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的第一象限的交点，且∠F1PF2=π3，则e1e2e1+e2的取值范围是__________．
14.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若MQ=xMG+yMNx,y∈R，则点Q的轨迹围成图形的面积是 ；MG⋅MQ的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在①S5=5，且a1+a3=4，②Sn=7n-n22n∈N*，③S7=0，a2n-an=-nn∈N*这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
已知an是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，______．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=an-43n，求数列bn的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于点M(0,1),N(0,-1)且椭圆的离心率为 22．
(1)求r的值和椭圆C的方程；
(2)过M点的直线l交圆O和椭圆C分别于A,B两点．
①若2MB=3MA，求直线l的方程；
②设直线MA的斜率为k，直线NA的斜率为k1，过M点斜率为k2的直线交椭圆C于异于M的P点，若k2=4k1，则直线PB是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不存在，说明理由．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ln x-ax-12x3,(a∈R)．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(3,92)，求a的值；
(2)当x>0时，f(x)b>0)相交于点M(0,1)，
所以b=r=1，又离心率为e=ca= 22，所以a= 2，
所以椭圆C:x22+y2=1；
(2)①因为过点M的直线l交圆O和椭圆C分别于A,B两点，
所以直线的斜率存在，则可设直线l的方程为y=kx+1(k≠0)，
由y=kx+1x22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kx=0，则可得B(-4k2k2+1,-2k2+12k2+1)，
同理，由y=kx+1x2+y2=1，解得A(-2kk2+1,-k2+1k2+1)，
又已知点M(0,1)，
则MB=(-4k2k2+1,-2k2+12k2+1-1)，MA=(-2kk2+1,-k2+1k2+1-1)，
因为2MB=3MA，则2×-4k2k2+1=3×-2kk2+1，
因为k≠0，所以k=± 22，即直线l的方程为y=± 22x+1.
②根据题意可知NA⊥MA，则k⋅k1=-1，又由k2=4k1可得k⋅k2=-4，
由①知B(-4k2k2+1,-2k2+12k2+1)，同理得P(-4k22k22+1,-2k22+12k22+1)，
又由题意知直线PB的斜率一定存在，
则设直线PB的方程为y=tx+n，且k,k2是方程-2k2+12k2+1=t·-4k2k2+1+n的两个根，
即k,k2是(2n+2)k2-4kt+n-1=0的两个根，所以n-12n+2=-4,n=-79，
则设直线PB的方程为y=tx-79，
所以，直线PB过定点(0,-79).
17.解：(1)∵f'(x)=1x-a-32x2，
∴f'(1)=-a-12，
∵f(1)=-a-12，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+a+12=-(a+12)(x-1)，
代入(3,92)得a+5=-2a-1，解得a=-2．
(2)当x>0时，f(x)0恒成立，
设g(x)=lnxx-12x2，则g '(x)=1-lnx-x3x2．
设h(x)=1-lnx-x3，则h'(x)=-1x-3x20)
∴h(x)在(0,+∞)上递减，
又h(1)=0，
则当0D(X1)，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目．
从获得稳定收益考虑，当p=0.3时应投资A项目．

19.解(1)由函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，
则f'(x)=1+1x2-ax≥0对x>2恒成立，即a≤x+1x对x>2恒成立，
又x+1x在(2,+∞)上单调递增，∴a≤2+12=52，
故a的取值范围为(-∞,52]．
(2)函数f(x)=x-1x-alnx(a∈R)，(x>0)，
f'(x)=1+1x2-ax=x2-ax+1x2，
若f(x)有两极值点，即x2-ax+1=0在(0,+∞)上有两根x1，x2，x1>x2，
则△=a2-4>0x1+x2=a>0x1x2=1,∴a>2,a=x1+1x1,
∵x1>x2，∴x1>1，01，∴1x2-1