江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
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这是一份江苏省如东高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷,共17页。试卷主要包含了若直线的倾斜角为,则,已知直线,对于直线等内容,欢迎下载使用。
1.若直线的倾斜角为,则( ).
A.0 B. C. D.不存在
2.已知直角梯形,且,,,,则过其中三点的圆的方程可以为( )
A. B.
C. D.
3.已知直线:和直线:,则“”是“”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知圆的方程为,若点在圆外,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设点,若直线与线段有交点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知直线:与直线:交于点,则的最大值为( )
A.4 B.8 C.32 D.64
7.已知直线与圆交于不同的两点,O是坐标原点,且有,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.数学中有许多形状优美,寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一如图,给出下列三个结论:
①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3
②曲线C恰好经过8个整点即横、纵坐标均为整数的点
③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
其中,所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.③ D.①
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.对于直线.以下说法正确的有( )
A.的充要条件是
B.当时,
C.直线一定经过点
D.点到直线的距离的最大值为5
10.设圆,直线,为上的动点,过点作圆的两条切线、,切点分别为、,则下列说法中正确的有( )
A.的取值范围为
B.四边形面积的最小值为
C.存在点使
D.直线过定点
11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇,用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和,其定义如下:在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离,则下列结论正确的是( )
A.若点,则
B.若点,则在轴上存在点,使得
C.若点,点在直线上,则的最小值是3
D.若点在上,点在直线上,则的值可能是4
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.圆与圆的位置关系为___________.
13.经过两条直线与的交点,且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为___________.
14.已知圆O:圆:,则下列结论正确的是___________.
①无论k取何值,圆心始终在直线上;
②若圆O与圆有公共点,则实数k的取值范围为;
③若圆O与圆的公共弦长为,则或;
④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线,如果两个圆在公切线的同侧,则这条公切线叫做这两个圆的外公切线,当时,两圆的外公切线长为.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.根据下列条件,分别求满足条件的直线或圆的方程:
(1)已知以点为圆心的圆与直线相切,过点的动直线与圆A相交于,当时,求直线的方程;
(2)以为圆心的圆与圆相切,求圆的方程.
16.已知直线.
(1)求证:直线过定点;
(2)若直线不经过第二象限,求实数的取值范围;
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小,求的方程.
17.已知以点为圆心的圆经过原点,且与轴交于点,与轴交于点.、异于原点
(1)求证:的面积为定值.
(2)设直线与圆交于点,,若,求圆的方程.
(3)在(2)的条件下,设,分别是直线和圆上的动点,求的最小值及此时点的坐标.
18.已知圆过点,且与圆关于直线对称.
(1)判断圆与圆的位置关系,并说明理由;
(2)过点作两条相异直线分别与相交于,.
①若直线和直线互相垂直,求的最大值;
②若直线和直线与轴分别交于点、,且,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛,在E处按方向释放机器人甲,同时在A处按某方向释放机器人乙,设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界),则挑战成功,否则挑战失败.
已知米,E为AB中点,比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进,记与的夹角为.
(1)若,AD足够长,机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍,则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功?
(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍,应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度,才能确保无论的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲?
如东中学2023级高二数学
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.【答案】C
2.【答案】C
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A,,的坐标都不满足圆的方程,
即圆不可能过四个点中的三个点,故A不符合题意;
对于B,,的坐标都不满足圆的方程,
即圆不可能过四个点中的三个点,故B不符合题意;
对于C,,,的坐标都满足圆的方程,
的坐标不满足圆的方程,
即圆过四个点中的三个点,故C符合题意;
对于D,,的坐标都不满足圆的方程,
即圆不可能过四个点中的三个点,故D不符合题意.
故选:C.
3.【答案】B
4.【答案】D
【分析】先将圆的一般化为标准方程,再结合点在圆外,得到关于的不等式组,解之即可得解.
【详解】由题意得,圆的标准方程为,
故,,
又点在圆外,所以,
,或,
所以m的取值范围为.
故选:D.
5.【答案】A
【分析】求得直线的斜率为,且恒过定点,求得,结合题意,求得或,即可求解.
【详解】由直线,可得,
可得直线的斜率为,且恒过定点,则,
如图所示,要使得直线与线段有交点,则或,
可得或,即实数的取值范围为.
故选:A.
6.【答案】D
【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点,直线恒过定点,且,根据交点得到点在以为直径的圆上,再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知:直线恒过定点.
直线化简为:,当时,x=6,直线恒过点.
当时,直线的斜率不存在,直线的斜率,则.
当时,,,,则
综上:直线恒过定点,直线恒过定点,且.
因为直线与直线交于点,
所以点在以为直径的圆上,线段的中点坐标为,
且,则其轨迹方程为(除点外),圆的半径,
因为表示圆上的点到原点距离的平方,设,
则,所以的最大值为64.
故选:D.
7.【答案】C
【分析】设中点为C,由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可.
【详解】设中点为C,则,
∵,
∴,∴,
∵,即,
又∵直线与圆交于不同的两点,
∴,故,
则,
.
故选:C.
8.【答案】B
【分析】①根据曲线特征,分别令,,分x轴上方,x轴下方,转化为与矩形和等腰三角形的面积比较;②将x换成-x,由方程不变,得到图形关于y轴对称,先得到,时,曲线经过的点即可;③由时,利用基本不等式求解.
【详解】①由方程,令,得,令,得,
如图所示:
由图象可知:x轴上方,曲线C所围成的面积大于矩形ABCD的面积,,
x轴下方,曲线C所围成的面积大于等腰三角形ABE的面积,,
所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于2+2=3,故正确;
②由方程,将x换成-x,方程不变,所以图形关于y轴对称,
令,得,即曲线C经过,
当时,方程变为,由,解得,
所以,此时,解得或,则曲线经过,
再由对称性知,曲线经过,所以曲线一共经过6个整点,故错误;
③当时,方程为,则,即(当且仅当时等号成立),
所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过,故正确.故选:B
二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.【答案】BD
【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时,两直线斜率之积是否为-1,判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大,并求出最大值,可判断D.
【详解】当时,解得或,
当时,两直线为,符合题意;
当时,两直线为,符合题意,故A错误;
当时,两直线为,,
所以,故B正确;
直线即直线,故直线过定点,C错误;
因为直线过定点,当直线与点和的连线垂直时,到直线的距离最大,最大值为,
故D正确,
故选:BD.
10.【答案】ABD
【分析】根据切线长公式即可求解A,B,C,设出点的坐标,求出以PC为直径的圆的方程,利用两圆的方程相减得到公共弦的方程,将代入直线的方程恒成立,可得答案.
【详解】圆心到直线的距离为,
所以,因为圆的半径为,根据切线长公式可得,
当时取等号,所以的取值范围为,所以A正确;
因为,所以四边形面积等于,四边形面积的最小值为,故B正确;
因为,所以,在直角三角形中,,所以,设,因为,整理得,方程无解,所以不存在点使,故C不正确;
对于D,设,则,,以为直径的圆的圆心为,半径为,所以以为直径的圆的方程为,化简得,所以为圆与以为直径的圆的公共弦,
联立可得,两式相减可得:,即直线的方程为,即,故直线过定点,故D正确;
故选:ABD
11.【答案】ACD
【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD;结合绝对值的意义判断B;作出图形,借助几何意义求解判断C.
【详解】对于A,由曼哈顿距离的定义知,A正确;
对于B,设,则,B错误;
对于C,作轴,交直线于,过作,垂足为,如图①所示:
由曼哈顿距离的定义可知,而点,
当不与重合时,由直线的斜率为,得,
则;当与重合时,,
于是,因此,C正确.
对于D,如图②所示,取,,则,D正确.
故选:ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.【答案】外离
13.经过两条直线与的交点,且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为___________.
【答案】或
14.【答案】①③④
【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①;根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②;求出公共弦所在直线方程,结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③;根据的值求出圆的半径,利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④.
【详解】对于①,圆的圆心坐标为,在直线上,①正确;
对于②,若圆O与圆有公共点,则,即,解得或,②错误;
对于③,将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为,
则圆心O到该直线的距离,则,解得或,③正确;
对于④,当时,圆心距为3,圆O与圆外切,半径差为1,则外公切线长为,④正确.
故答案为:①③④
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【详解】(1)易知到直线的距离为圆A半径r,
所以,则圆A方程为,
过A做,由垂径定理可知,且,
在中由勾股定理易知.
当动直线斜率不存在时,设直线的方程为,
经检验圆心到直线的距离为,且根据勾股定理可知,
显然合题意,
当动直线斜率存在时,过点,设方程为:,
由到距离为知得,
代入解之可得,
所以或为所求方程.
(2)两圆的圆心之间的距离为.
当两圆外切时,圆的半径为;
当两圆内切时,圆的半径为.
∴圆的方程为或.
故答案为:或.
16.【详解】(1)由,即,
则,解得,
所以直线过定点;
(2)
如图所示,结合图像可知,
当时,直线斜率不存在,方程为,不经过第二象限,成立;
当时,直线斜率存在,方程为,
又直线不经过第二象限,则,解得;
综上所述;
(3)已知直线,且由题意知,
令,得,得,
令,得,得,
则,
所以当时,取最小值,
此时直线的方程为,即.
17.【详解】(1)由题意可得圆的方程为:,
化简可得,
与坐标轴的交点分别为:,,
为定值.
(2)如图所示,
,
原点在线段的垂直平分线上,
设线段的中点为,则,,三点共线,
又的斜率,
,
解得,
又,所以,
可得圆心,
圆的方程为:;
(3)如图所示,
由(2)可知:圆心,半径,,
设点关于直线的对称点为,
则中点为,
且,解得,即,
则,
又点到圆上点的最短距离为,
则的最小值为,
此时直线的方程为:,
点为直线与直线的交点,
则,解得,即点.
18.【详解】(1)由题可得圆圆心为,设圆心,则,解得
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为
,又两半径之和为,圆与圆外切.
(2)方法一:令、即,为过点的两条弦,
设、被圆所截得弦的中点分别为、,弦长分别为,,因为四边形是矩形,
所以,即,化简得
从而,时取等号,此时直线,必有一条斜率不存在)
综上:、被圆所截得弦长之和的最大值为
方法二:若直线与中有一条直线的斜率不存在,
则,此时
若直线与斜率都存在,且互为负倒数,故可设,即,,
点到的距离为,同理可得点到的距离为,
,
,
综上:、被圆所截得弦长之和的最大值为
②直线和平行,理由如下:
由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,
由,得,
因为的横坐标一定是该方程的解,故可得,
同理,所以,
,
所以,直线和一定平行.
19.【详解】(1)解:根据题意,在中,可得,
由正弦定理得:,
可得,因为为锐角,所以,
所以应在矩形区域内,按照与夹角为30°的向量方向释放机器人乙,才能挑战成功.
(2)
解:以所在直线为轴,中垂线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
设,根据题意,可得,所以,
所以,
即点的轨迹是以为圆心,为半径的上半圆在矩形区域内的部分,
所以,当米时,能确保无论的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲.
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