北师大版（2024）八年级上册（2024）第七章 命题与证明1 为什么要证明教案设计

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）第七章 命题与证明1 为什么要证明教案设计，共6页。教案主要包含了学习任务分析，学生起点分析，教学目标，教学过程，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、学习任务分析
本章是学生正式学习证明的起点。在此之前，学生已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论，也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但这些并非严格的证明。因此，本章首先让学生明确认识到：通过探究发现的结论需要经过严谨的证明才能真正确立其可靠性。同时，证明需要一个话语体系，为此就引入了定义、命题等基本概念。其次，证明必须从一些公认的起点出发，为此需要梳理已有的结论，选择其中最基本的、无需证明的结论作为证明的出发点（实际上这就是构建局部的公理体系）。有了这些证明的出发点，就能依次证明先前探究得到的定理。在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据地进行推理，从而发展学生的推理能力。
本章共分为3节：第1节“为什么要证明”（1个课时），旨在说明要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行证明，强调证明的必要性；第2节“认识证明”（2个课时），指出定义、命题、基本事实、定理的含义，为后面的证明奠定基础，并简要介绍欧几里得的《原本》；第3节“平行线的证明”（2个课时），分别完成平行线的判定定理和性质定理的证明。
本节课是第七章“证明”的第1节，核心任务是要让学生认识到基于观察和直觉，通过归纳和测量得到的结论未必可靠，从而认识到证明的必要性。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在学习本节课之前，已经学习了代数方面的一些基础知识，掌握了三角形、四边形、圆等简单几何图形的一些常规结论，为本节课的学习做好了必要的知识储备。学生在之前的数学学习过程中，主要是通过直观的方式得出正确结论，合情推理能力得到了很大的发展，为本章将学生从合情推理逐步过渡到演绎推理打下了基础。
学生的活动经验基础：学生在学习代数和几何知识的过程中，积累了一定的小组合作经验，经历了观察、测量、实验、操作、归纳、猜测等数学活动，为本节课的教学提供了活动经验基础。
三、教学目标
1.经历观察、实验、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，认识到这些方法的局限性。
2.初步感受证明的必要性，发展推理能力。
教学重点：经历用不同方法得到数学结论的过程，感受证明的必要性。
教学难点：经历用不同方法得到数学结论的过程，感受证明的必要性。
四、教学过程
【第一环节】章前导入
1.活动内容
教师谈话导入：通过观察、测量、猜测等方式得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明这些结论的正确性呢？在证明一个观点、结论正确时，人们常常说“因为A正确，所以B正确”，但你是否想过：A正确又是因为什么呢？如此下去，源头在哪里？如何确定证明的起点呢？这些都是本章我们要解决的问题，通过本章的学习我们将明白，在什么情况下需要证明？证明有什么意义？怎样才能保证证明是严谨的？
2.活动目的
本节课是本章的起始课，通过教师的谈话导入，结合本章内容，帮助学生了解本章内容的核心主题与学习脉络。
3.注意事项
这里提出了本章需要持续思考的大问题，不需要学生现在给出答案，两个可持续思考的问题分别指向证明的意义、证明的过程与方法。
【第二环节】猜测验证
1.活动内容
（1）图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。
（2）如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
2.活动目的
学生经历通过观察和直观感受得出的结论，与验证的结论发生冲突的过程，让学生感受证明的必要性。
3.注意事项
对于两个活动内容，都要求学生先观察、猜测结果，然后再验证。对于第2个活动内容，可以要求学生先不计算，仅仅凭直觉估计进行猜测，然后再验算。验算时，学生可能会有一定的困难，教师可以用实物模型结合画图的方式，引导学生理解“间隙”实际上就是大圆半径与小圆半径之差，从而让学生去表示大圆和小圆的半径，并求差。
【第三环节】知识研究
1.活动内容
尝试·思考
（1）对于自然数n，代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数”？
（2）如图4，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜测。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
2.活动目的
对归纳、猜测的结论进行验证，让学生再次感受到无论是在代数领域还是在几何领域，都需要用证明来确定结论的正确与否。值得注意的是，在问题（2）中学生得到的数量关系和位置关系的猜想，在现有的知识下，难以完成证明。这反而可以激发学生的求知欲，为后面学习平行线的证明和三角形中位线定理埋下伏笔。
3.注意事项
（1）在问题（1）中，学生根据自己以往的经验进行判断，可能认为n2－n＋11一定是一个质数。此时，教师需要有意识地引导学生选取更多的n值进行验证，不难发现，当n＝11时，n2－n＋11＝11²，不是质数，所以这个结论不成立。找到了一个反例，从而说明归纳出的结论未必正确。
（2）在问题（2）中，教师应鼓励学生动手测量，大胆猜测。同时，通过变换三角形的形状，进行多次测量、猜测，使探索的结果更可靠。通过反复的实践活动，学生会更加坚信其猜测的正确性。然而，根据前面的经验，学生已明确意识到，猜测的结论还需要证明。但具体怎么证明，学生尚不清楚。这时教师可以引导学生将这个问题留存，在后续学习相关知识后再行证明。通过这个活动，学生进一步感受到证明的必要性。同时，也引导学生认识到，虽然猜测结果有可能不正确，但是合理的猜测，仍然是我们探索数学结论的重要方法，只不过所猜测的结论，要通过证明来验证它的正确性。
【第四环节】交流小结
1.活动内容
思考·交流
观察、实验、归纳等是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳等方式得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。
2.活动目的
本环节主要让学生通过反思以上教学活动，总结归纳出：观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。从而让学生感悟证明的必要性。
3.注意事项
本环节教师要鼓励学生大胆交流，充分表达自己的想法。通过本节课的教学活动，让学生体会到数学是一门严谨的学科，需要通过逻辑推理来达到对真理的有效认识。通过证明，帮助学生建立正确的数学思维方式，促进逻辑推理能力的发展。在证明中让学生发现问题、提出问题，进而学会分析和解决问题。学生在经历这样一个过程后，数学素养得到了发展，从而能更好地应对现实生活中的各种复杂问题。
【第五环节】课堂练习
1.活动内容
（1）图5中有三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证。图6中两条线段a与b的长度相等吗？
（2）当n为正整数时，n2＋3n＋1的值一定是质数吗？
2.活动目的
巩固学生对证明必要性的感悟，发展学生推理能力。
3.注意事项
要求学生独立完成，然后再进行交流点评。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
布置作业
（1）必做：①习题7.1第3题。
②阅读拓展材料“费马的失误”。
（2）选做：习题7.1第4题。
2.活动目的
巩固本节课所学内容，通过设置不同层次的作业，让不同学生都得到发展。
3.注意事项
学生在完成选做题后需要在全班进行分享。
五、教学反思
在实际教学中，需考虑到学生可能对质数、圆的周长公式等知识有所遗忘。针对此情况，在具体的教学环节中可以适当地安排一些复习内容，然后再进行相关的活动。同时，本教学设计侧重于让学生通过观察、测量、实验、操作、归纳、猜测等方法得出结论之后，对结论进行验证，从而重新审视结论的正确性。需要明确的是，这样的教学过程并不是否定学生用合情推理进行探索。相反，教师应该大胆地鼓励学生去进行合理的猜测，用合情推理的方式探索得到结论，然后再有理有据地证明结论，从而使学生感悟数学思考过程的严谨性。