4.3.1正比例函数的图象与性质 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：4.3.1 正比例函数的图象与性质副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们知道正比例函数是特殊的一次函数（\(y = kx\)，\(k ≠ 0\)），今天我们将通过 “画图” 的方式直观认识它 —— 探索正比例函数的图象形状、绘制方法，以及图象背后反映的函数性质（如 y 随 x 的变化规律）！幻灯片 2：学习目标掌握正比例函数图象的绘制方法（列表、描点、连线），明确其图象为过原点的直线。探索并掌握正比例函数的性质（增减性、对称性），能根据比例系数 k 的符号判断函数的增减趋势。能结合正比例函数的图象与性质解决简单问题（如比较函数值大小），体会 “数形结合” 思想，提升图象分析能力。幻灯片 3：知识回顾与情境导入1. 知识回顾正比例函数定义：形如\(y = kx\)（k 为常数，\(k ≠ 0\)）的函数，是特殊的一次函数（常数项 b=0）；实例：\(y = 2x\)、\(s = 60t\)、\(y = -3x\)均为正比例函数。2. 情境导入：正比例函数的图象是什么样的？我们知道函数图象是 “自变量为横坐标、因变量为纵坐标的点的集合”。例如：对于\(y = 2x\)，当 x=0 时，y=0（点 (0,0)）；x=1 时，y=2（点 (1,2)）；x=-1 时，y=-2（点 (-1,-2)）……提出问题：将这些点在坐标系中描出并连接，会形成什么形状的图形？不同 k 值（如 k=2、k=-3）的正比例函数，图象形状和位置有什么差异？幻灯片 4：探究活动 1：绘制正比例函数的图象（以\(y = 2x\)和\(y = -2x\)为例）1. 绘制\(y = 2x\)的图象（三步法：列表、描点、连线）步骤 1：列表（取若干自变量 x 的值，计算对应 y 值）选择 x 的取值时，优先取整数（包括正、负、0），使计算和描点更简便：x-2-1012y = 2x-4-2024步骤 2：描点（在平面直角坐标系中描出对应点）在坐标系中找到点 (-2,-4)、(-1,-2)、(0,0)、(1,2)、(2,4)，用 “・” 标出。步骤 3：连线（将描出的点用平滑的线连接）观察这些点的分布：所有点在同一条直线上，且经过原点 (0,0)，因此连接后得到一条过原点的直线。2. 绘制\(y = -2x\)的图象（同样用三步法）步骤 1：列表x-2-1012y = -2x420-2-4步骤 2：描点描出点 (-2,4)、(-1,2)、(0,0)、(1,-2)、(2,-4)。步骤 3：连线这些点也在同一条过原点的直线上，与\(y = 2x\)的图象关于 x 轴（或 y 轴）对称。3. 规律总结：正比例函数图象的形状无论是\(y = 2x\)还是\(y = -2x\)，图象均为过原点 (0,0) 的直线；推广到一般正比例函数\(y = kx\)（\(k ≠ 0\)）：其图象是经过原点的一条直线，因此正比例函数的图象也称为 “直线\(y = kx\)”。4. 简便绘制技巧由于 “两点确定一条直线”，绘制正比例函数图象时，无需列表多个点，只需找到两个特殊点即可：必过点：原点 (0,0)；另一点：取 x=1，得 y=k，即点 (1,k)（或 x=k，得 y=k²，选择易计算的点）。例如：绘制\(y = 3x\)，只需描 (0,0) 和 (1,3)，连线即可。幻灯片 5：探究活动 2：正比例函数的性质（与 k 的符号关系）1. 分析 k>0 的情况（以\(y = 2x\)、\(y = 0.5x\)为例）图象特征：直线经过第一、三象限，从左到右呈 “上升” 趋势；增减性：y 随 x 的增大而增大（即 x 越大，y 越大；x 越小，y 越小）；实例：对于\(y = 2x\)，x₁=1 时 y₁=2，x₂=3 时 y₂=6，因 1 0\) ⇨ \(m > 3\)；（2）y 随 x 的增大而减小 ⇨ k < 0，即\(m - 3 < 0\) ⇨ \(m < 3\)；此时 k y₂\)（计算验证：\(y₁ = -2×(-1) = 2\)，\(y₂ = -2×2 = -4\)，2 > -4）；比较\(x₃\)与\(x₄\)：由\(y = -2x\)得\(x = -\frac{1}{2}y\)；k y₄ = -6\)，故\(x₃ < x₄\)（计算验证：\(x₃ = -4/2 = -2\)，\(x₄ = -(-6)/2 = 3\)，-2 < 3）。幻灯片 7：学生活动：绘制并分析正比例函数图象活动任务：自主绘制正比例函数\(y = 3x\)和\(y = -x\)的图象（用 “两点确定一条直线” 的简便方法）；观察图象，回答下列问题：（1）\(y = 3x\)的图象经过哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？（2）\(y = -x\)的图象经过哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？（3）在\(y = 3x\)中，当 x=-2 时，y 的值是多少？该点是否在图象上？参考解答：绘制\(y = 3x\)：描 (0,0) 和 (1,3)，连线；图象过第一、三象限，y 随 x 增大而增大；绘制\(y = -x\)：描 (0,0) 和 (1,-1)，连线；图象过第二、四象限，y 随 x 增大而减小；x=-2 时，y=3×(-2)=-6，点 (-2,-6) 在\(y = 3x\)的图象上（代入验证：-6 = 3×(-2)，等式成立）。幻灯片 8：随堂练习下列关于正比例函数\(y = kx\)（\(k ≠ 0\)）的说法正确的是（ ）A. 当 k>0 时，图象经过第二、四象限B. 图象一定经过点 (0,0) 和 (1,k)C. 当 k0 过一、三象限；C 中 k0 ⇨ 2k - 5 > 0 ⇨ k > 2.5；符合条件的表达式如\(y = 3x\)（k=3>2.5）。已知正比例函数\(y = -4x\)，若\(x₁ = 3\)，\(x₂ = -1\)，比较\(y₁\)与\(y₂\)的大小；若\(y₁ = -8\)，\(y₂ = 4\)，求\(x₁ + x₂\)的值。解答：k=-4 x₂=-1 ⇒ y₁ < y₂；由 y=-4x 得 x=-y/4，x₁=-(-8)/4=2，x₂=-4/4=-1，x₁+x₂=1。幻灯片 9：课堂小结核心知识：正比例函数图象：\(y = kx\)（\(k ≠ 0\)）的图象是过原点 (0,0) 的直线，绘制时可用 “两点法”（描 (0,0) 和 (1,k)）；正比例函数性质：象限：k>0 过一、三象限，k0 时 y 随 x 增大而增大，k0 递增，k0，解得k>3.（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k-3)·2，解得k=5.=5（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_______.已知正比例函数y=(k+5)x.k