4.4.3利用两个一次函数的图象解决问题 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：4.4.3 利用两个一次函数的图象解决问题副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：上节课我们学会了利用单个一次函数图象解决实际问题，今天我们将升级难度 —— 面对两个一次函数的图象（如两人的行程图象、两种计费方案的图象），如何通过分析它们的交点、增减趋势和位置关系，解决 “相遇”“比较优劣” 等更复杂的实际问题？幻灯片 2：学习目标掌握从两个一次函数图象中提取关键信息的方法（如各自的表达式、交点坐标、图象的上下位置关系）。理解两个一次函数图象交点的实际意义（如行程中的相遇点、计费方案的费用相等点），能通过交点解决相关问题。能根据两个一次函数图象的位置关系，比较不同区间内函数值的大小（如选择更优惠的计费方案），深化数形结合思想，提升综合分析能力。幻灯片 3：知识回顾与双图象信息提取要点1. 知识回顾单个一次函数：图象为直线，表达式\(y = kx + b\)，k 决定增减性，b 决定与 y 轴交点；关键信息：单个图象的起点、终点、与坐标轴交点，可解决 “求函数值、求自变量” 问题。2. 双图象信息提取 “四关注”一关注坐标轴：明确横、纵坐标的共同实际意义（如 x 均表示时间，y 均表示路程），确保单位统一；二关注单个图象特征：分别确定两个函数的表达式（通过各自的关键点），明确 k 和 b 的实际意义（如速度、基础费用）；三关注交点：找到两图象的交点坐标，该点坐标同时满足两个函数表达式，对应 “两个变量关系相等” 的状态（如相遇、费用相等）；四关注位置关系：同一 x 值下，哪个图象的 y 值更高（或更低），对应 “哪个函数值更大（或更小）” 的实际意义（如谁走得更远、哪种方案更便宜）。幻灯片 4：类型一：利用双图象解决行程相遇问题例题 1：两人相向而行相遇问题题目：A、B 两人分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人的路程 y（km）与出发时间 x（h）的关系如图所示（A 的图象过 (0, 0) 和 (2, 40)，B 的图象过 (0, 60) 和 (3, 0)）。说明：A 从甲地出发（起点 y=0），B 从乙地出发（起点 y=60，乙地距甲地 60km），y 表示两人与甲地的距离。问题：（1）求 A、B 两人的路程 y 与时间 x 的函数表达式；（2）出发多长时间后，A、B 两人相遇？相遇时距离甲地多远？（3）出发 1.5h 后，谁离甲地更远？远多少 km？解答过程：求表达式（关注单个图象）：A 的表达式：过 (0,0)（b=0）和 (2,40)，设\(y_A = k_Ax\)，代入得 40=2k_A ⇒ k_A=20，故\(y_A = 20x\)（A 的速度为 20km/h，向乙地前进）；B 的表达式：过 (0,60)（b=60）和 (3,0)，设\(y_B = k_Bx + 60\)，代入得 0=3k_B + 60 ⇒ k_B=-20，故\(y_B = -20x + 60\)（B 的速度为 20km/h，向甲地前进）。求相遇时间与地点（关注交点）：相遇时，两人与甲地的距离相等（\(y_A = y_B\)），列方程：20x = -20x + 60；解方程：40x=60 ⇒ x=1.5（h），代入\(y_A = 20×1.5=30\)（km）；结论：出发 1.5h 后相遇，相遇时距离甲地 30km（交点坐标为 (1.5, 30)）。比较 1.5h 后距离（关注位置关系）：出发 1.5h 后，x>1.5，取 x=2，\(y_A=40\)，\(y_B=-40 + 60=20\)；因\(y_A > y_B\)，A 离甲地更远，远 40-20=20（km）（或直接根据交点后 A 的图象在 B 上方，判断 A 更远）。总结：行程相遇问题中，两图象交点的横坐标为相遇时间，纵坐标为相遇时的位置（如距离起点的距离）；交点前后的图象位置关系，对应 “谁在前、谁在后”。幻灯片 5：类型二：利用双图象解决计费方案比较问题例题 2：两种手机套餐选择问题题目：某通讯公司推出两种手机套餐，套餐 A：月租 30 元，通话费 0.2 元 / 分钟；套餐 B：月租 50 元，通话费 0.1 元 / 分钟。两种套餐的每月总费用 y（元）与通话时间 x（分钟）的关系如图所示（A 过 (0,30) 和 (100,50)，B 过 (0,50) 和 (100,60)）。问题：（1）求两种套餐的总费用 y 与通话时间 x 的函数表达式；（2）通话多长时间时，两种套餐的费用相等？（3）若每月通话时间为 300 分钟，选择哪种套餐更划算？解答过程：求表达式（关注单个图象）：套餐 A：过 (0,30)（b=30，月租）和 (100,50)，设\(y_A = k_Ax + 30\)，代入得 50=100k_A + 30 ⇒ k_A=0.2，故\(y_A = 0.2x + 30\)（通话费 0.2 元 / 分钟）；套餐 B：过 (0,50)（b=50，月租）和 (100,60)，设\(y_B = k_Bx + 50\)，代入得 60=100k_B + 50 ⇒ k_B=0.1，故\(y_B = 0.1x + 50\)（通话费 0.1 元 / 分钟）。求费用相等的通话时间（关注交点）：费用相等时\(y_A = y_B\)，列方程：0.2x + 30 = 0.1x + 50；解方程：0.1x=20 ⇒ x=200（分钟），此时费用 y=0.2×200 + 30=70（元）；结论：通话 200 分钟时，两种套餐费用相等（交点坐标 (200, 70)）。选择划算套餐（关注位置关系）：通话 300 分钟（x=300>200），计算费用：\(y_A = 0.2×300 + 30=90\)（元）；\(y_B = 0.1×300 + 50=80\)（元）；因\(y_B < y_A\)，选择套餐 B 更划算（或观察 x>200 时，B 的图象在 A 下方，费用更低）；补充：x y_甲\)，列方程（先求相等点）：4x - 8 = 2x ⇒ x=4（甲队开工 4 天）；乙队开工时间 = 4-2=2（天），故乙队开工 2 天后，路程超过甲队（x>4 时，\(y_乙 > y_甲\)）。求甲队开工 6 天后的路程差：x=6 时，\(y_甲=12\)，\(y_乙=24 - 8=16\)；相差 16-12=4（km），乙队比甲队多修 4km。总结：工程进度问题中，需注意 “开工时间差”（如乙队晚开工），表达式需结合实际时间范围；两图象交点对应 “进度相等点”，交点后 y 值高的队伍进度更快。幻灯片 7：学生活动：分析双图象解决实际问题活动任务：如图，是 A、B 两种商品的销量 y（件）与销售时间 x（周）的关系图象（A 过 (0, 50) 和 (4, 130)，B 过 (0, 100) 和 (4, 120)）。完成下列问题：（1）求 A、B 两种商品的销量 y 与销售时间 x 的函数表达式；（2）销售多少周后，A 商品的销量超过 B 商品？（3）销售 6 周后，两种商品的销量相差多少件？参考解答：（1）A：\(y_A = 20x + 50\)（k=(130-50)/4=20，b=50）；B：\(y_B = 5x + 100\)（k=(120-100)/4=5，b=100）；（2）相等时 20x+50=5x+100 ⇒ x=10/3≈3.33（周），故销售超过 10/3 周后，A 销量超过 B；（3）x=6 时，\(y_A=170\)，\(y_B=130\)，相差 40 件。教师指导：引导学生先分别确定两函数表达式，再通过解方程找 “相等点”，最后根据 x 与相等点的大小关系，判断销量高低，培养 “先找交点、再分区间” 的分析思路。幻灯片 8：随堂练习甲、乙两车从同一地点出发，甲车匀速行驶，乙车先静止 1 小时后再匀速追赶，两车路程 y（km）与时间 x（h）的图象如图（甲过 (0,0) 和 (3,120)，乙过 (1,0) 和 (3,120)）。（1）求甲、乙两车的路程函数表达式；（2）乙车的速度比甲车快多少 km/h？（3）乙车出发后多长时间追上甲车？解答：（1）甲：\(y_甲 = 40x\)（k=40）；乙：\(y_乙 = 60x - 60\)（过 (1,0) 和 (3,120)，k=60，b=-60）；（2）乙速度 60km/h，甲 40km/h，快 20km/h；（3）交点 x=3（甲开工 3h），乙出发时间 = 3-1=2（h）。两种水票方案：方案 A：10 元办卡，每瓶水 1.5 元；方案 B：无卡，每瓶水 2 元。总费用 y（元）与购水量 x（瓶）的图象如图。（1）求两种方案的函数表达式；（2）购多少瓶水时，两种方案费用相等？解答：（1）A：\(y_A = 1.5x + 10\)；B：\(y_B = 2x\)；（2）1.5x+10=2x ⇒ x=20（瓶）。幻灯片 9：课堂小结核心思路：利用两个一次函数图象解决问题的 “五步流程”：识背景：明确两函数的实际意义（如行程、计费），统一横纵坐标含义；建模型：分别求两函数表达式（通过各自关键点）；找交点：解方程求两函数相等时的 x 和 y，理解交点的实际意义（相遇、费用相等）；分区间：根据交点横坐标，将 x 分为 “小于交点”“等于交点”“大于交点” 三个区间，分析各区间内两图象的位置关系（y 值大小）；解问题：根据问题需求，选择对应区间计算或比较，验证结果合理性。常见题型与技巧：相遇问题：交点 = 相遇点，关注时间和位置；方案比较：交点 = 优劣平衡点，根据 x 区间选择最优方案；进度比较：交点 = 进度相等点，交点后 y 高的进度更快。数学思想：数形结合：将双图象的位置关系转化为函数值大小，用方程求交点；分类讨论：根据交点分区间讨论，避免漏解（如不同通话时间选不同套餐）。幻灯片 10：课后作业基础题：（1）A、B 两商店销售同一种商品，A 店原价 50 元，每月降价 2 元；B 店原价 45 元，每月降价 1 元，售价 y（元）与时间 x（月）的图象如图，求两店售价相等的时间及此时的售价；（2）两自行车手同时从 A 地出发，甲速度 15km/h，乙速度 12km/h，甲到达 B 地后立即返回，路程 y（km）与时间 x（h）的图象过 (2,30) 和 (3【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 复习导入 情境导入如图， l₁反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l₂反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：(1)当销售量为2吨时，销售收入= _______元，销售成本= _____元；(2)当销售量为6吨时，销售收入= _____元，销售成本= _____元；(3)当销售量为_____时，销售收入等于销售成本；(4)当销售量_____ 时，该公司赢利；当销售量____ 时，该公司亏损. (5)l₁对应的函数表达式是_____； l₂对应的函数表达式是_____ . 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水."告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.10 cm9 cm 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口？说说你的做法！ 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空：（1）当销售量为2吨时，销售收入=　　元，销售成本=____元,20003000两个一次函数图象解答实际问题（2）当销售量为6吨时，销售收入=　　　元，销售成本＝　　元；60005000（3）当销售量为　　时，销售收入等于销售成本；4吨（4）当销售量　 　　　时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量　 　　时，该公司亏损（收入小于成本） ；大于4吨小于4吨（5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　．分析：这样的给图解关系式题，尤其是两个图一定分析清楚，看图知道l1的图过原点，关系式设为y=kx,解这个关系式只需要一个点的坐标.因为只有一个未知系数k.而l2的图不过原点，关系式设为y=k1x+b,解这个关系式需要两个点的坐标.因为有两个未知系数k1,b.k为什么带下标,因为同一个题出现两个.从图上可知所需点的坐标.（2，2000）解：设l1关系式是y=kx由图可知，图像过（2，2000）得2000=2k,解得k=1000，所以表达式y=1000x.这里不能出现k，如果出现就代错值.（2，3000）（0，2000）设l2关系式是y=k1x+b由图可知，图像过（0，2000）（2，3000）得2000=b3000=2k1+b解得b=2000，k1=500所以表达式y=500x+2000.这里不能出现k1，b两个字母，如果出现就代错值.（5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　．y=1000xy=500x+2000l1 ：y=1000x和l2 ：y=500x+2000中的k和b的实际意义各是什么？l2l1k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量；b的实际意义是表示变化的起始值.如k1表示销售每吨产品可收入1000元,b2表示销售成本从2000元开始逐步增加.b1表示收入从零到有.如k2表示销售每吨产品成本为500元, 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图）.海岸公海BA例 下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题:（1） l1 ，l2哪条直线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？解：观察图象，得当t＝0时，B距海岸0海里，即s＝0，故 l1 表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系.246810O2468t /分s /海里l1l2BA（2）A、B 哪个速度快？解： t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5.246810O2468t /分s /海里l1l2BA即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快.75解：当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方, 这表明，15分钟时 B尚未追上A.246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214（3）15分钟内B能否追上 A？15246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214（4）如果一直追下去，那么B能否追上 A？　　解：如图延伸l1 、l2 相交于点P. 因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A.P246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214P（5）照此速度，A逃到离海岸12海里前,B能否追上A？解：从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于12. 这说明在A逃到离海岸12海里前，我边防快艇 B能够追上A.10解： k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分. 246810O2468t /分s /海里l1l2BA1214（6）l1与l2对应的两个一次函数y=k1x +b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4.故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米． 一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．2200知识点 两个一次函数图象的应用（第1题） 销售收入等于销售成本 返回  （第2题） 返回（第3题） C  返回（第4题）      返回（第5题） 12 返回（第6题） CA.5 B.7 C.6 D.8  返回      返回       （3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算。  返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！