湖南省常德市五校联盟2022-2023学年高三数学上学期第一次考试试题（Word版附答案）

2022-2023学年湖南省常德市五校联盟高三第一次考试(数学)

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     已知集合，，则(    )

A.  B.
C.  D.

2.     已知，且，则下列命题正确的是(    )

A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么

3.     下列结论不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.     不等式成立的一个必要不充分条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5.     若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.     设函数，若，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.     “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，(    )

A.  B.  C.  D.

8.     已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.     下列选项中，与的值相等的是(    )

A. ； B. ；
C. ； D. ．

10. 若函数且为上的单调函数，则的值可以是       (    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数的定义域为，值域为，则的值不可能是     (    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数则下列说法正确的是(    )

A. 当时，
B.  当时，直线与函数的图象相切
C. 若函数在区间上单调递增，则
D. 若在区间上恒成立，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在范围内，与终边相同的角是          ．
14. 已知正数满足，则的最小值为          ．
15. 若函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围为          ．
16. 设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”，若函数为“倍胀函数”，则实数的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知．

求的值；
求的值．

18. 本小题分

已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．

求数列，的通项公式
设，求数列的前项和．

19. 本小题分
    如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，平面，，、分别是、的中点．
      

求证：平面平面；

若，求锐二面角的余弦值．

20. 本小题分

已知函数．

当时，求曲线在点处的切线方程；

求函数在的最小值．

21. 本小题分

在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．

求证：

求的取值范围．

22. 本小题分

设函数．

试讨论函数的单调性；

如果且关于的方程有两解，，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

解：集合，，
，故A错误，D正确；
，故B，C错误．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查不等式的性质，属于基础题．
当时，选项A，D错误；取特殊值判断；由不等式的性质判断．

【解答】

解：当时，选项A，D错误
例如，满足，但是，故C错误
若，则，由不等式的性质可得，故 B正确．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

解：，为第二象限角，，故A正确
，
为第三象限角，，故B正确
，为第三象限角，，故C正确；
，为第三象限角，，故D错误．
故选D．

4.【答案】 

【解析】

解：，
不等式的解集是，
观察四个选项发现，
故是不等式的一个必要不充分条件．
故选C．

5.【答案】 

【解析】

解：由题意，函数且在上为减函数，
可得，

又由函数的定义域为或，

当时，函数，

将函数的图象向右平移个单位，
即可得到函数的图象，
又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，可知选项符合．
故选B．

6.【答案】 

【解析】

解：因为为周期为的偶函数，
所以，，
因为在上关于直线对称，
所以，
由于，，，
所以，即，
因为在上单调递增，
且，
所以，
即．
故选A．

7.【答案】 

【解析】

解：过滤一次污染物的含量都会减少，则为；
过滤两次污染物的含量都会减少，则为；
过滤三次污染物的含量都会减少，则为；

过滤次污染物的含量都会减少，则为；
要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，
两边取以为底的对数可得，

即，

所以，

因为，
所以，
所以，又，所以，
故排放前需要过滤的次数至少为次．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

解：已知，
令，
则，
所以在上单调递减，
又因为为偶函数，所以，所以，
，
所以不等式等价于，
则，解得，
所以不等式的解集为
故选A．

9.【答案】 

【解析】

解：由，
，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选BC．

10.【答案】 

【解析】

解：当时，由于为增函数，则需，此时在上单调递增；
当时，由于为减函数，则需故，此时在上单调递减；
故的取值范围为：．
故选ABCD．

11.【答案】 

【解析】

解：函数

，
定义域为，即，，
又值域为，即，
，
在正弦函数的一个周期内，要满足上式，结合正弦函数性质：
所以
，
，

，
，
即，
的值不可能为和和．
故选BCD．

12.【答案】 

【解析】

解：对于，当时，，，
当时，，
当时，，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
，故选项A正确；
对于，当时，，，，
函数在处的切线方程为，故选项B正确；
对于，，若函数在区间上单调递增，
则在上恒成立，则在上恒成立，
令，，则，
函数在上单调递减，
，故选项C错误；
对于，当时，恒成立，此时；
当时，恒成立等价于恒成立，
即，即恒成立，
设，，则在上恒成立，
在上单调递减，
，故选项D错误．
故选AB．

13.【答案】 

【解析】

解：与角终边相同的角是，，
 当时为，
在范围内，与角终边相同的角是．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

解：因为正数，满足，
所以
，
当且仅当，时等号成立，即的最小值为．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

解：函数在区间上恰有一个极值点，

在区间上恰有一个变号零点，
即在区间上恰有一个变号零点，
令，
则有，即，
，
当时，令，得到或，
在两侧异号，是极值点，不是极值点，
即在区间上有变号零点，在区间上恰有一个极值点；
当时，得到，或，
故在上没有极值点．
故实数的取值范围是．
故答案为 ．

16.【答案】 

【解析】

解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，
所以存在，使在上的值域为，
因为为增函数，所以
即方程有两个不等的实数根．
令，则，
令，解得，
当时，，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
易知当时，，当时，，
所以要使方程有两个不等的实数根，
只需，得，
所以的取值范围为．
故答案为．

17.【答案】解：，
，
，
两边平方得，
，解得，



． 

18.【答案】解：因为数列满足，，，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，
即数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，
即数列的通项公式为
由可知，
所以数列的前项和


，
即． 

19.【答案】解：证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．
为的中点，，
又，因此，
平面，平面，
，
而平面，平面，且，
平面，
又平面，
平面平面；
由知、、两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，
设平面的法向量为，
则，因此，取，则，
连接，平面，平面，．
，，、平面，
平面，
故为平面的法向量．
又，
．
二面角为锐二面角，
所求二面角的余弦值为． 

20.【答案】解：当时，，，
又得切点，切线的斜率，
所求切线方程为，即
，，，
令，，
由，得，所以在上为单调增函数，
又，，所以在上恒成立，
即在恒成立，
当时，，知在上单调递减，从而
当时，，知在上单调递增，从而；
综上，当时，
当时． 

21.【答案】证明：在中，由已知及余弦定理得到：
，又，所以C.
由正弦定理得到，
又，则，
故
，
因为，则，
所以或应舍去，
所以；
解：由得，所以，，
由，得
，令，，设，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，当时，，
当时，，
所以取值范围是． 

22.【答案】解：由，
可知．
函数的定义域为，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增；
若，则当在内恒成立，函数单调递增；
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增

综上：当时，在上单调递减，在上单调递增

当时，在上单调递增

当时，在上单调递减，在上单调递增

要证，只需证．
设，
因为，
所以为单调递增函数．
所以只需证，
即证，
只需证，
又，，
所以两式相减，并整理得．
把代入式，
得只需证，
可化为．
令，得只需证．
令，
则，
所以在其定义域上为增函数，
所以．
综上得原不等式成立．