山东省潍坊市2022-2023学年高一数学上学期期末考试试题（Word版附解析）

高一数学

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则集合A，B的关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】计算得到，据此得到集合的关系.

【详解】，，故错误；

集合中元素都是集合元素，故正确；

是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；

集合中元素存在不属于集合的元素，故错误.

故选：A

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据对数型函数的定义域运算求解.

【详解】令，解得，

故函数的定义域为.

故选：C.

3. 命题“，”的否定形式是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.

【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，.

故选：C.

4. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.

【详解】，.

故选：B.

5. 某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别为（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.

【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；

区抽取的食品摊位数为.

故选：D.

6. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，并利用D，E，F构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.

【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，

且.

恰好能答对两道题为事件，且两两互斥，

所以

，

整理得，他三道题都答错为事件，

故.

故选：C.

7. 定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式的解集.

【详解】对任意的，，有，

在上单调递增，又定义域为，，

在上单调递增，且，；

则当或时，，

即不等式的解集为.

故选：B.

8. 已知函数，若函数有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象分析求解.

【详解】令，解得或，

作出函数的图象，如图所示，

与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，

由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点，

故实数t的取值范围是.

故选：D.

【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法

（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解．

（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为 B. 无最小值

C. 的最大值为 D. 无最大值

【答案】BC

【解析】

【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.

【详解】对于AB，当时，（当且仅当时取等号）；

当时，（当且仅当时取等号），

的值域为，无最小值，A错误，B正确；

对于CD，，

当时，取得最大值，最大值为，C正确，D错误.

故选：BC.

10. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项不满足单调性；D不满足奇偶性，B、C选项均为偶函数且在上单调递减正确.

【详解】在上单调递增，A选项错误；

，故为偶函数，当时为单调递减函数，B选项正确；

，故为偶函数，当时为单调递减函数，C选项正确；

奇函数，D选项错误.

故选：BC

11. 如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 点Q移动4次后恰好位于点的概率为0

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分析计算确定各选项的正误.

【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.

所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：，

在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，

所以，故A选项正确；

对于B：，故B选项正确；

对于C：，故C选项错误；

对于D：点由点移动到点处至少需要3次，

任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能

到达点，所以点Q移动4次后恰好位于点的概率为0.

故D选项正确；

故选：ABD.

12. 已知实数a，b满足，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互化结合不等式性质、函数单调性分析判断.

【详解】对B：∵，则，

构建，则在上单调递增，且，

故在上有且仅有一个零点，B错误；

对A：∵，则，

令，则，即，

∴，即，故，A正确；

对D：∵，则，D正确；

对C：∵，且在上单调递增，

∴，C正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：

（1）直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．

（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．

（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知一元二次方程的两根分别为和，则______．

【答案】##

【解析】

【分析】利用韦达定理可直接求得结果.

【详解】由韦达定理知：，，.

故答案为：.

14. 已知函数（且）的图象恒过定点M，则点M的坐标为______．

【答案】

【解析】

【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标．

【详解】令，解得，此时，故定点坐标为．

故答案为：

15. 将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.

【详解】由题意得，

，

代入数据得，，

解得

故答案为：

16. 已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交于点A，B，点A，B在x轴上的投影分别为C，D，当m变化时，的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求最值.

【详解】由与函数相交得，解得，所以，同理可得，

所以，

令，

因为， 所以,当且仅当时取最小值.

所以

所以的最小值为.

故答案为:

【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.

四、解答题：本大题共6道小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集，已知集合，．

（1）若，求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由已知解出集合A，B，根据并集的运算即可得出答案；

（2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a的取值范围.

【小问1详解】

当，，

由得，所以或，

或；

【小问2详解】

已知，

由（1）知或，

因为，且，

∴且，

解得，

所以实数a的取值范围为.

18. 已知函数．

（1）若的解集为，求实数的取值范围；

（2）当时，解关于的不等式．

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；

（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可.

【小问1详解】

由题意知：在上恒成立，，解得：，

即实数的取值范围为.

【小问2详解】

由得：；

当时，的解为或；

当时，的解为或；

综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

19. 受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生上课注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：

，其中，且．已知在区间上的最大值为，最小值为，且的图象过点．

（1）试求的函数关系式；

（2）若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听课效果最佳？请说明理由．

【答案】（1）   

（2）教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳

【解析】

【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得；

（2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.

【小问1详解】

当时，，

，解得：；

又，，解得：，

.

【小问2详解】

当时，令，解得：；

当时，令，解得：；

教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.

20. 已知函数，函数．

（1）求函数的最小值；

（2）若存在实数，使不等式成立，求实数x的取值范围．

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；

（2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.

【小问1详解】

，

∴显然当即时, ，

∴的最小值为.

【小问2详解】

因为存在实数，使不等式成立，

所以， 又，

所以，

又，显然当时，，

所以有，即，可得，

所以或，解得 或.

故实数x的取值范围为或.

21. 某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．

（1）求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；

（2）若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x，y，从下面两个条件中选一个，求事件E的概率．

①事件E：；

②事件E：．

注：如果①②都做，只按第①个计分．

【答案】（1）0.08；   

（2）选①：；选②：

【解析】

【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.

（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.

【小问1详解】

第七组的频率为，

所以第六组的频率为，

第八组的频率为0.04，

第七、八两组频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，

设优秀等级的最低分数为，则，

由，解得，

故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.

【小问2详解】

第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为，

随机抽取两名学生，则有共15种情况，

选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，

所以事件包含的基本事件为共7种情况，

故.

选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，

所以事件包含的基本事件为共8种情况，

故.

22. 已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”．

（1）判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）

（2）证明：函数存在“2倍值区间”；

（3）设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值．

【答案】（1）是，理由见详解   

（2）证明见详解    （3）

【解析】

【分析】（1）取，结合题意分析说明；

（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明；

（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.

【小问1详解】

取，

∵在上单调递增，

∴在上的最小值为，最大值为，且，

故函数是“倍缩函数”.

【小问2详解】

取，

∵函数在上单调递增，

若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立，

等价于至少有两个不相等的实根，

等价于至少有两个零点，

∵，且在定义内连续不断，

∴在区间内均存在零点，

故函数存在“2倍值区间”.

【小问3详解】

对，且，则，

∵，则，

∴，即，

故函数在上单调递增，

若函数存“k倍值区间”，即存在，使得成立，

即在内至少有两个不相等的实根，

∵是方程的根，则在内有实根，

若，则，即，且，

∴，即.

【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．

（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．