2025-2026学年人教版八年级数学上册期末专题： 大题分类提升训练之全等三角形几何压轴（含答案）

这是一份2025-2026学年人教版八年级数学上册期末专题： 大题分类提升训练之全等三角形几何压轴（含答案），共47页。试卷主要包含了已知，综合与探究等内容，欢迎下载使用。

1．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．
【模型呈现】
（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，猜想AD、BE与DE之间满足的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，过点A作AD⊥CE于点D，过点B作BE⊥CE于点E，AD＝10，BE＝4，则DE的长为 ．
【深入探究】
（3）如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC＝21，AF＝12，求△ADG的面积．
2．已知：△ABC是等边三角形，点D，E分别在边AB，BC上，CD，AE交于点F，BD＝CE．
（1）如图1，求∠AFC的度数；
（2）如图2，FG为∠AFC的角平分线，交AC于点G，求证：CE＝CG；
（3）如图3，延长FG至点H，使HG＝CD，连接HA、HC，试判断△ACH的形状并说明理由．
3．△ABC是等边三角形，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，点D为射线AC上一点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转120°至BE，∠DBE＝120°，BD＝BE．
（1）如图1，过点E作EF∥AC交边AB于点F，求证：CD＝FB；
（2）如图2，点D在边AC上时，连接CE交边AB于点G，若BG＝1，AG＝3，求AD的长；
（3）当点D在AC的延长线上时，连接CE与射线BA交于点G，若ACCD=k(k≠1)，试探究BGAG的值（用含k的代数式表示）．
4．综合与探究
在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF．
[发现问题]
如图1，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 ；∠BDC的度数为 ；
[类比探究]
如图2，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由．
[拓展延伸]
如图3，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请直接写出BF，CF，AM之间的数量关系．
5．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个图形：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成，一个等腰三角形绕着公共顶点旋转过程中，兴趣小组进行了如下探究：
如图，△AOB与△COD的顶点O重合，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，连接AD、BC，将△COD绕点O旋转．
（1）活动探究一：如图1，将△COD绕点O旋转的过程中，探究BC和AD的数量关系为 ．
（2）活动探究二：如图2，将△COD绕点O转动至如图所示位置时，连接AC、BD，探究△AOC与△BOD面积的数量关系，并说明理由．
（3）活动探究三：如图3，在（2）的条件下，当∠CAO＝90°时，延长AO交BD于点E，若AE＝10，△AOD的面积为32，求AC的长度．
6．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：
（1）如图1，△ABC、△ADB和△ACE都是直角三角形，其中AC＝AB，且直角顶点都在直线l上，探索AD、BD、DE之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作直线AE，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD＝12，DE＝7，请直接写出△ACE的面积 ；
（3）如图3，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，且点E在BC上，连接BD，试猜想线段AB与线段BD的位置关系，并证明你的结论．
7．已知，AO⊥BC于点O，CD平分∠ACB，交AO于点D．
（1）如图1，若AC＝BC，∠CAO＝50°，则∠DBC＝ °；
（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE，AC+CE＝10，AD＝DE，求CO的长；
（3）如图3，过点D作DF⊥AC于点F，点H在FC上，点G在OC上，FH+OG＝GH．试判断∠ODG，∠FDH，∠GDH这三个角之间的数量关系，并说明理由．
8．已知线段AB与点C，AC＝AD，BC＝BE，点D，E在直线AB的同侧，点F为DE的中点，连接AF，BF．
（1）如图1，若点C在AB上，∠CAD＝∠CBE＝90°，则∠AFB＝ °；
（2）如图2，若点C在AB外，∠CAD＝α（90°＜α＜180°）．写出一个∠CBE的度数（用含α的式子表示），使得对于任意的点C总有∠FAB+∠FBA＝90°，并证明．
9．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，可证△ACD≌△MBD，从而把AB，AC，2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围．
【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中．我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”．
【问题解决】
（1）直接写出图1中AD的取值范围： ；
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判断线段AD和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明．
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE．
（1）如图1，当点D在△ABC的内部时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，∠BAC＝∠DAE＝120°，BC＝10，且点E落在BC边上．若M为BC上的一点，且∠BAM+∠CAE＝60°，求△BDM的周长；
（3）如图3，∠BAC＝∠DAE＝120°，点H为底边BC的中点，过点H作DH的垂线HF（点F在直线BC下方），连接CF．当∠ACF＝∠CBD时，求∠EAF的度数．
11．学完“探索三角形全等的条件”后，小轩同学对“SSA”的探究很感兴趣，他查阅资料，发现“等边对等角”的知识（例如在△ABC中，如果AB＝AC，那∠ABC＝∠ACB），这让小轩想到：在△ABC与△DEF中，如果AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E，虽然不能直接判定△ABC≌△DEF，但∠C与∠F的数量关系是可以确定的．
（1）请你通过特殊化策略，猜想并填空：
①当∠B＜90°时，∠C与∠F的数量关系是 ；
②当∠B≥90°时，∠C与∠F的数量关系是 ．
请直接运用上述知识及猜想，解决以下问题：
（2）如图，已知△ABC与△CDE是两个大小不一样的等边三角形，连接AD交CE于点G，连接BE交AC于点H，且CH＝CG，请判定B，C，D三点是否在同一条直线上？并说明理由．
（3）已知△ACB（0°＜∠ACB＜180°），点D与点E分别在△ACB两边CA与CB上，延长DC至点G，使得DG＝BE，连接BG．过D，E的直线交BG于点F，且∠BFE＝∠GCB．根据上述信息作草图（不要求准确）并证明：DF＝BF．
12．【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，对此数学兴趣小组展开探究．
【发现】（1）如图1，在△ABE和△DCE中，点E为AC与BD的交点．
①若∠A+∠B＝100°，则∠C+∠D＝ ；
②若∠B＝∠C，则∠A与∠D之间的数量关系是 ；
【应用】
（2）如图2，B、A、E在同一直线上，DA⊥BE，BF⊥DE交AD于点C，BC＝DE．
求证：△ABC≌△ADE；
（3）如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D是BC边上一点，将△ABD沿AD折叠至△ADE，AB的对应边AE与BC交于点F，当△ADF为等腰三角形时，直接写出∠CDE的度数；
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AD＝2，E是△ABC外一点且满足∠EDC＝∠EBC，BA＝BE，DE=35BD．记BD＝x，y＝S△ABD﹣S△BDE，求y与x的关系式．
13．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
14．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型．
【探究问题】
（1）如图2，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C正好落在直线l上，分别作BF⊥l于点F，AE⊥l于点E，则线段BF、EF、AE之间的数量关系为 ．
（2）如图3，将（1）中的直线l绕点C转动到与AB相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
【解决问题】
（3）如图4，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC＝12cm，BC＝16cm，设运动时间为t，当以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等时，求此时t的值．
15．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动的时间为ts．
（1）如图1，若点Q的速度与点P的速度相同，则当t＝1s时，△ACP与△BPQ是否全等？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，判断此时PC和PQ之间的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，将原题中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠A＝∠B＝60°”，其他条件不变．设点Q的速度为xcm/s，则是否存在满足题意的x，使得以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
16．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的平分线交AB边于点D，边D作BC的平行线交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC边于点G．
（1）求证：DE＝EC；
（2）当AB＝BC时，试判断AE与CG的大小关系，并说明理由；
（3）如图2，过点G作线段DE的垂线，垂足为H．若HEHD=25，GE=92，求EC的长．
17．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，E是AC延长线上一点，连接DE，过点D作DE的垂线交射线BA于点F．
（1）证明：AF＝CE；
（2）如图2，取AF的中点G，连接DG，BE．
i）证明：BE＝2DG；
ii）连接EG，当AE平分∠BEG时，DG＝5，且点A到直线EG的距离为3，求△ABC的面积．
18．如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边中点，E为AB边上点，DE平分∠ADB，F为AC边上点、EF与AD交于点G，EF⊥AC．
（1）证明：DG＝CD；
（2）证明：FD平分∠EFC；
（3）如图2．延长EF至M，连接DM，DM与AC交于点N，若∠M＝∠BAD，MN＝DN，证明：CN＝2NF．
参考答案
1．解：（1）AD、BE与DE之间满足的数量关系是：AD+BE＝DE，理由如下：
如图1所示：
在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠1+∠3＝90°，
∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，
∴∠D＝∠E＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△ACD和△CBE中，
∠D=∠E=90°∠2=∠3AC=BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴AD+BE＝CE+CD＝DE；
（2）如图2所示：
在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠1，
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠E=90°AC=BC∠3=∠1，
∴△ACD≌△CBE（ASA），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE，
∵AD＝10，BE＝4，
∴DE＝6，
故答案为：6；
（3）过点D作DP⊥直线FG于点P，过点E作EQ⊥直线FG于点Q，如图3所示：
同（1）证明：△ABF≌△DAP，△ACF≌△EAQ，
∴BF＝AP，AF＝DP，CF＝AQ，AF＝EQ，
∴BC＝BF+CF＝AP+AQ＝AP+AP+PQ＝2AP+PQ，AF＝DP＝EQ，
∵BC＝21，AF＝12，
∴2AP+PQ＝21，DP＝EQ＝12，
∵DP⊥直线FG，EQ⊥直线FG于点Q，
∴∠DPG＝∠EQG＝90°，
在△DPG和△EQG中，
∠DPG=∠EQG=90°∠DGP=∠EGQDP=EQ，
∴△DPG≌△EQG（AAS），
∴PG＝QG，
∴PQ＝2PG，
∴2AP+2PG＝21，
∴AG＝AP+PG=212，
∴△ADG的面积为：12AG•DP=12×212×12=63．
2．（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝CA，∠B＝∠ACE＝∠BAC＝60°，
在△BCD和△CAE中，
BC=CA∠B=∠ACEBD=CE，
∴△BCD≌△CAE（SAS），
∴∠BCD＝∠CAE，
∵∠AFD是△CAF的外角，
∴∠AFD＝∠CAE+∠ACF＝∠BCD+∠ACF＝∠ACE＝60°，
∴∠AFC＝180°﹣∠AFD＝120°；
（2）证明：过点C作CH⊥FG于点H，CP⊥AE，交AE的延长线于点P，如图2所示：
由（1）可知：∠AFC＝120°，
∵FG为∠AFC的角平分线，
∴∠AFG＝∠CFG=12∠AFC＝60°，
∵∠CFP＝∠AFD＝60°，
∴∠CFG＝∠CFP＝60°，
∴CF是∠GFP的平分线，
又∵CH⊥FG于点H，CP⊥AE，
∴CH＝CP，∠CHG＝∠P＝90°，
∵∠CGH是△AFG的外角，∠CEP是△CEF的外角，
∴∠CGH＝∠CAE+∠AFG＝∠CAE+60°，∠CEP＝∠CFP+∠BCD＝60°+∠BCD，
由（1）可知：∠BCD＝∠CAE，
∴∠CGH＝∠CEP，
在△CHG和△CPE中，
∠CHG=∠P=90°∠CGH=∠CEPCH=CP，
∴△CHG≌△CPE（AAS），
∴CG＝CE，
即CE＝CG；
（3）解：△ACH是等边三角形，证明如下：
由（2）可知：∠AFG＝∠CFG＝60°，CE＝CG，
∵BD＝CE，
∴CG＝BD，
∵∠CGH是△CGF的外角，∠BDC是△ADC的外角，
∴∠CGH＝∠CFG+∠ACD＝60°+∠ACD，∠BDC＝∠BAC+∠ACD＝60°+∠ACD，
∴∠CGH＝∠BDC，
在△BCD和△CHG中，
HG=CD∠CGH=∠BDCCG=BD，
∴△BCD≌△CHG（SAS），
∴BC＝CH，∠B＝∠HCA＝60°，
∵BC＝AC，
∴CH＝AC，
又∵∠HCA＝60°，
∴△ACH是等边三角形．
3．（1）证明：如图1所示：

∵∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BCA＝120°，
∵∠DBE＝120°，
∴BE∥AD，
∴∠EFA＝∠A＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣∠EFA＝120°，
∴∠EFB＝∠BCD＝120°，
∵∠DBE＝120°，∠ABC＝60°，
∴∠EBF+∠CBD＝∠DBE﹣∠ABC＝60°，
在△BCD中，∠BCD＝120°，
∴∠D+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝60°，
∴∠EBF＝∠D，
在△BEF和△DBC中，
∠EBF=∠D∠EFB=∠BCDBD=BE，
∴△BEF≌△DBC（AAS），
∴FB＝CD，
即CD＝FB；
（2）解：过点E作EF∥AC，交AB的延长线于点F，如图2所示：
∴∠F＝∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠DBE＝120°，
∴∠EBF+∠CBD＝360°﹣∠DBE﹣∠CBF＝120°，
在△BCD中，∠CBD+∠BDC＝180°﹣∠BCA＝120°，
∴∠EBF＝∠BDC，
在△EBF和△BDC中，
∠F=∠BCA∠EBF=∠BDCBD=BE，
∴△EBF≌△BDC（AAS），
∴BF＝CD，EF＝BC＝AC，
在△EGF和△CGA中，
∠F=∠A∠EGF=∠CGAEF=AC，
∴△EGF≌△CGA（AAS），
∴FG＝AG＝3，
∵BG＝1，
∴BF＝FG﹣BG＝3﹣1＝2，AB＝AC＝AG+BG＝3+1＝4，
∴BF＝CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝4﹣2＝2；
（3）解：设CD＝x，
∵ACCD=k（k≠1），
∴AC＝BC＝AC＝kx，
依题意有以下两种情况：
①当点G在BA的延长线上时，过点E作EF∥AC，交AG延长线于点F，如图3①所示：
同（2）可证明：△EFB≌△BDC（AAS），
∴BF＝CD＝x，EF＝BC＝AC＝kx，
∴AF＝BF﹣AB＝x﹣kx，
同（2）可证明：△EGF≌△CGA（AAS），
∴FG＝AG=12AF=x−kx2，
∴BG＝AB+AG=kx+x−kx2=kx+x2，
∴BGAG=kx+x2x−kx2=k+11−k；
②当点G在线段AB上时，过点E作EF∥AC，交AB于点F，如图3②所示：
同（2）可证明：△EFB≌△BDC（AAS），
∴BF＝CD＝x，EF＝BC＝AC＝kx，
∴AF＝AB﹣BF＝kx﹣x，
同（2）可证明：△EGF≌△CGA（AAS），
∴FG＝AG=12AF=kx−x2，
∴BG＝BF+FG=x+kx−x2=kx+x2，
∴BGAG=kx+x2kx−x2=k+1k−1．
综上所述：BGAG的值为k+11−k或k+1k−1．
4．解：（1）∵∠BAC＝∠EAF＝30°，
∴∠BAE＝∠CAF，
又∵AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF，
如图，设AC，BD交于点O，
∵∠AOD＝∠ACF+∠BDC＝∠ABE+∠BAO，
∴∠BDC＝∠BAO＝∠BAC＝30°，
故答案为：BE＝CF；30°．
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+∠AEF﹣（∠AFC﹣∠AFE）＝2∠AEF＝60°．
（3）BF＝CF+2AM．
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
AB=AC∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF，
∵AE＝AF，AM⊥EF，
∴点M是EF的中点，
又∵∠EAF＝90°，
∴EF＝2AM，
∴BF＝BE+EF＝CF+2AM．
5．解：（1）BC和AD的数量关系为：BC＝AD，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOC＝∠COD+∠AOC，
即∠BOC＝∠AOD，
在△BOC和△AOD中，
OB=OA∠AOD=∠BOCOD=OC，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴BC＝AD；
（2）△AOC与△BOD面积的数量关系是：S△AOC＝S△BOD，理由如下：
过点C作CE⊥OA，过点D作DF⊥BO交BO的延长线于点F，如图2所示：

∴∠CEO＝∠DFO＝90°，S△AOC=12OA•CE，S△BOD=12OB•DF，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOF＝∠COD＝90°，
∴∠EOC+∠COF＝∠COF+∠FOD，
∴∠EOC＝∠FOD，
在△EOC和△FOD中，
∠CEO=∠DFO=90°∠EOC=∠FODOC=OD，
∴△EOC≌△FOD（AAS），
∴CE＝DF，
又∵OA＝OB，
∴12OA•CE=12OB•DF，
∴S△AOC＝S△BOD；
（3）过点D作DH⊥AE交AE的延长线于点H，如图3所示：
∵∠H＝90°，
∴∠DOH+∠ODH＝90°，
∵∠COD＝90°，∠CAO＝90°，
∴∠AOC+∠DOH＝90°，
∴∠AOC＝∠ODH，
又∵∠CAO＝90°，
∴∠CAO＝∠H＝90°，
在△CAO和△OHD中，
∠CAO=∠H=90°∠AOC=∠ODHOC=OD，
∴△CAO≌△OHD（AAS），
∴OA＝DH，AC＝OH，
∵△AOD的面积为32，
∴12OA•DH＝32，
∴OA2＝64，
∴OA＝8，OA＝﹣8（不合题意，舍去），
∵AE＝10，
∴OE＝AE﹣OA＝2，
∵OA＝OB，OA＝DH，
∴OB＝DH，
∵∠AOB＝90°，∠H＝90°，
∴∠BOE＝∠H＝90°，
在△BOE和△DHE中，
∠BOE=∠H=90°∠BEO=∠DEHOB=DH，
∴OE＝EH＝2，
∴OH＝2OE＝4，
∴AC＝OH＝4．
6．解：（1）AD、BD、DE之间的数量关系是：AD+BD＝DE，证明如下：
如图1所示：

∵△ABC是直角三角形，且AC＝AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵△ADB和△ACE都是直角三角形，且直角顶点都在直线l上，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠2＝∠3，
在△AEC和△BDA中，
∠AEC=∠BDA=90°∠2=∠3AC=AB，
∴△AEC≌△BDA（AAS），
∴AE＝BD，
∴AD+BD＝AD+AE＝DE；
（2）如图2所示：
在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠E＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠1，
在△BDA和△AEC中，
∠BDA=∠E=90°∠3=∠1AB=AC，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵DE＝AE﹣AD＝BD﹣EC，
∵BD＝12，DE＝7，
∴BD＝AE＝12，7＝12﹣EC，
∴EC＝12﹣7＝5，
∴△ACE的面积为：12CE•AE=12×5×12＝30，
故答案为：30；
（3）线段AB与线段BD的位置关系是：AB⊥BD，证明如下：
在CA上截取CF＝CE，连接EF，如图3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，
∴AC＝BC，∠ABC＝45°，AE＝DE，∠1+∠AEC＝90°，∠2+∠AEC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵CF＝CE，∠ACB＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴∠3＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣∠3＝135°，
∵AC﹣CF＝BC﹣CE，
∴AF＝EB，
在△AFE和△EBD中，
AF=EB∠1=∠2AE=DE，
∴△AFE≌△EBD（SAS），
∴∠AFE＝∠EBD＝135°，
∴∠ABD＝∠EBD﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°，
∴AB⊥BD．
7．解：（1）∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△ACD和△BCD中，
AC=BC∠ACD=∠BCDCD=CD，
∴△ACD≌△BCD（SAS），
∴∠CAO＝∠DBC，
∵∠CAO＝50°，
∴∠DBC＝50°，
故答案为：50；
（2）过点D作DN⊥AC于点N，如图2所示：
∵AD＝DE，
∴AN＝EN，
∴AE＝AN+EN＝2EN，
∴AC＝CE+AE＝CE+2EN，
∴AC+CE＝CE+2EN+CE＝2（CE+EN）＝2CN，
又∵AC+CE＝10，
∴2CN＝10，
∴CN＝5，
∵CD平分∠ACB，AO⊥BC于点O，DN⊥AC于点N，
∴∠COD＝∠CND＝90°，DO＝DN，
在Rt△CDO和Rt△CDN中，
DO=DNCD=CD，
∴Rt△CDN≌Rt△CDO（HL），
∴CO＝CN＝5；
（3）∠ODG，∠FDH，∠GDH这三个角之间的数量关系是：∠ODG+∠FDH＝∠GDH，理由如下：
在OB上截取OM＝FH，连接DM，如图2所示：
∵FH+OG＝GH，
∴OM+OG＝GH，
即GM＝GH，
∵CD平分∠ACB，AO⊥BC于点O，DF⊥AC于点F，
∴DO＝DF，∠DOM＝∠DFH＝90°，
在△DOM和△DFH中，
OM=FH∠DOM=∠DFH=90°DO=DF，
∴△DOM≌△DFH（SAS），
∴∠ODM＝∠FDH，DM＝DH，
∴∠ODG+∠FDH＝∠ODG+∠ODM＝∠GDM，
在△GDM和△GDH中，
DM=DHGM=GHDG=DG，
∴△GDM≌△GDH（SSS），
∴∠GDM＝∠GDH，
∴∠ODG+∠FDH＝∠GDH．
8．解：（1）延长AF，BE交于点H，如图1所示：
∵∠CAD＝∠CBE＝90°，
∴∠CAD+∠CBE＝180°，
∴AD∥BE，
∴∠D＝∠1，∠2＝∠H，
∵点F为DE的中点，
∴DF＝EF，
在△ADF和△HEF中，
∠D=∠1∠2=∠HDF=EF，
∴△ADF≌△HEF（AAS），
∴AD＝EH，AF＝HF，
∵AC＝AD，
∴AC＝EH，
∵BC＝BE，
∴AB＝AC+BC＝EH+BE＝BH，
又∵AF＝HF，
∴BF⊥AH，
∴∠AFB＝90°，
故答案为：90；
（2）当∠CBE＝180°﹣α时，使得对于任意的点C总有∠FAB+∠FBA＝90°，证明如下：
延长AF到G，使FG＝FA，连接GE，GB，如图2所示：
∵点F为DE的中点，
∴EF＝DF，
在△GEF和△ADF中，
EF=DF∠GFE=∠AFDFG=FA，
∴△GEF≌△ADF（SAS），
∴∠1＝∠D，GE＝AD，
∵AC＝AD，
∴AC＝GE，
∵∠CAD＝α，∠CBE＝180°﹣α，
∴∠CAD+∠CBE＝180°，
在五边形ADEBC中，∠D+∠CAD+∠C+∠CBE+∠2＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠C+∠2＝360°，
又∵∠1+∠2+∠GEB＝360°，
∴∠C＝∠GEB，
在△ACB和△GEB中，
AC=GE∠C=∠GEBBC=BE，
∴△ACB≌△GEB（SAS），
∴AB＝GB，
又∵FG＝FA，
∴BF⊥AG，
∴∠AFB＝90°，
∴∠FAB+∠FBA＝90°．
9．解：（1）延长AD到点M，使DM＝AD，连接BM，如图2所示：
∴AM＝DM+AD＝2AD，
在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDM和△ADC中，
DM=AD∠BDM=∠CDABD=CD，
∴△BDM≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，由三角形三边之间关系得：AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴10﹣6＜2AD＜10+6，
∴2＜AD＜8，
∴BC边上的中线AD的取值范围是：2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8；
（2）猜想图2中AC与BM的数量关系是：AC＝BM，位置关系是：AC∥BM，证明如下：
由（1）可知：△BDM≌△ADC，
∴BM＝AC，∠M＝∠CDA，
∴AC∥BM，
即AC与BM的数量关系是：AC＝BM；位置关系是：AC∥BM；
（3）线段AD和线段EF的数量关系是：AD=12EF，位置关系是：AD⊥EF，证明如下：
延长AD到N，使DN＝DA，连接BN，延长DA交EF于点H，如图3所示：
∴AN＝DN+AD＝2AD，
同（1）证明：△BDN≌△CDA（SAS），
∴BN＝AC，∠N＝∠CAD，
∵AC＝AF，
∴BN＝AF，
∵∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∵∠N＝∠CAD，
∴BN∥AC，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝∠EAF，
在△ABN和△EAF中，
AB=AE∠ABN=∠EAFBN=AF，
∴△ABN≌△EAF（SAS），
∴AN＝EF，∠BAN＝∠E，
∴2AD＝EF，
即AD=12EF；
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAN+∠EAH＝90°，
∴∠E+∠EAH＝90°，
在△AEH中，∠AHE＝180°﹣（∠E+∠EAH）＝90°，
∴AH⊥EF，
即AD⊥EF，
故线段AD和线段EF的数量关系是：AD=12EF，位置关系是：AD⊥EF．
10．（1）证明：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠C＝∠ABD＝30°，∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∠BAM+∠CAE＝60°，
∴∠BAM+∠BAD＝∠DAM＝60°＝∠EAM，
∵AD＝AE，AM＝AM，
∴△ADM≌△AEM（SAS），
∴DM＝EM，
∴△BDM的周长＝BM+DM+BD＝BM+EM+CE＝BC＝10；
（3）解：如图，延长DH到点I，使IH＝DH，连接FD，FI，FE，CI，
由（2）知△ABD≌△ACE，∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABD＝∠ACE，CE＝BD，
∵点H为底边BC的中点，FH⊥DH，
∴BH＝CH，FD＝FI，
∵∠BHD＝∠CHI，
∴△BHD≌△CHI（SAS），
∴BD＝Cl，∠HBD＝∠HCI，
∵∠ACF＝∠CBD，∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACF＝∠HCI，∠ACF﹣∠ACE＝∠CBD﹣∠ABD，
即∠ECF＝∠CBA＝30°，
∴∠ACF﹣∠HCF＝∠HCl﹣∠HCF，
∴∠ACB＝∠FCI＝30°，
∴∠ECF＝∠ICF＝30°，
∵BD＝CI，BD＝CE，
∴CE＝CI，
∵CF＝CF，
∴△CEF≌△CIF（SAS），
∴FI＝FE＝FD，
∵AF＝AF，AD＝AE，
∴△AFD≌△AFE（SSS），
∴∠EAF=∠DAF=12∠DAE=12×120°=60°．
11．解：（1）①如图，当∠B＜90°时，在△ABC中，截取BK＝EF，
∵∠B＝∠E，AB＝DE，
∴△ABK≌△DEF（SAS），
∴DF＝AK，∠F＝∠BKA，
∵DF＝AC，
∴AC＝AK，
∴∠C＝∠AKC，
∵∠AKC+∠AKB＝180°，
∴∠C+∠F＝180°；
当△ABC≌△DEF时，∠C＝∠F；
综上，∠B＜90°时，∠C+∠F＝180°或∠C＝∠F；
故答案为：∠C+∠F＝180°或∠C＝∠F；
②当∠B＝90°时，如图，
∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠C＝∠F；
当∠B＞90°时，如图，过A作AS⊥CB延长线于S，过D作DT⊥FE延长线于T，
∴∠S＝∠T＝90°，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴∠ABS＝∠DET，
∵AB＝DE，
∴△ABS≌△DET（AAS），
∴AS＝DT，BS＝ET，
∵AC＝DF，
∴△CAS≌△FDT（SSS），
∴∠C＝∠F；
综上，当∠B≥90°时，∠C＝∠F；
故答案为：∠C＝∠F；
（2）B，C，D三点在同一条直线上，理由如下：
∵△ABC与△CDE是两个大小不一样的等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CE＝CD，∠DCE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD，
如图，过C作CK⊥BE于K，过C作CT⊥AD于T，
∴CK＝CT，
记AD，BE交于点Q，连接CQ，
∴∠DQC＝∠BQC，
如图，在QD上截取QM＝QH，
∵CQ＝CQ，
∴△QHC≌△QMC（SAS），
∴∠QHC＝∠QMC，CH＝CM，
∵CH＝CG，
∴CG＝CM，
∴∠CGM＝∠CMG＝∠CHQ，
∴∠BHC＝∠AGC，
∵∠CBH＝∠CAQ，AC＝BC，
∴△CBH≌△CAG（AAS），
∴BCH＝∠ACG＝60°，
∴∠BCH+∠HCG+∠GCD＝180°，
∴B，C，D三点共线．
（3）如图，在DE上截取EH＝GF，
∵∠BFE＝∠GCB，∠EBF＝∠CBG，
∴∠1＝∠2，
∵BE＝GD，
∴△BEH≌△DGF（SAS），
∴DF＝BH，∠DFG＝∠BHE，
∵∠DFG＝∠BFH，
∴∠BFH＝∠BHF，
∴BF＝BH，
∴BF＝DF．
12．（1）解：①在△ABE和△DCE中，∠A+∠B+∠AEB＝180°，∠C+∠D+∠CED＝180°，
∵∠AEB＝∠CED，∠A+∠B＝100°，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝100°，
故答案为：100°；
②∵∠A+∠B＝∠C+∠D，∠B＝∠C，
∴∠A＝∠D，
故答案为：∠A＝∠D．
（2）证明：∵DA⊥BE，BF⊥DE，
∴∠BAC＝∠DFC＝∠DAE＝90°，
∵∠BCA＝∠DCF，
∴∠B＝∠D，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠B=∠DBC=DE，
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
（3）解：∵将△ABD沿AD折叠至△ADE，
∴∠BAD＝∠DAF，
设∠BAD＝α，则∠DAF＝α，
∴∠FAC＝120°﹣2α，∠ADF＝30°+α，∠AFD＝30°+（120°﹣2α）＝150°﹣2α，
∵△ADF为等腰三角形，分两种情况：
①∠ADF＝∠AFD，
即30°+α＝150°﹣2α，
解得α＝40°，
∴∠ADE＝180°﹣30°﹣40°＝110°，∠ADC＝30°+40°＝70°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝110°﹣70°＝40°．
②∠DAF＝∠AFD，
即α＝150°﹣2α，
解得α＝20°，
∴∠ADE＝180°﹣30°﹣20°＝130°，∠ADC＝30°+20°＝50°，
∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝130°﹣50°＝20°，
∴∠CDE的度数为20°或40°．
（4）根据题意得S△ABD=12BD⋅AD=12⋅x⋅2=x，
如图，在BD上截BM＝DE，连接AM，
同（1）知，由∠EDC＝∠CBE得∠E＝∠C，
∵∠ABD+∠CBD＝∠C+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠C＝∠E，
在△ABM和△BED中，
BA=BE∠ABD=∠EBM=DE，
∴△ABM≌△BED（SAS），
∴S△ABM=S△BED=12⋅35x−2=35x，
∴y=S△ABD−S△BDE=x−35x=25x．
13．解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；
故答案为 90．
（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
（3）作出图形，
∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴α＝β．
14．解：（1）∵∠ACB＝90°，BF⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
∠EAC=∠FCB∠AEC=∠CFBAC=BC，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∴EF＝EC+CF＝BF+AE，即EF＝AE+BF，
故答案为：EF＝AE+BF；
（2）结论仍然成立，
∵∠ACB＝90°，BF⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠EAC+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
∵AC＝BC，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，EC＝BF，
∴EF＝EC+CF＝BF+AE；
（3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，
∴CD＝CE，
分情况讨论：
①当E在BC上，D在AC上时，即0＜t≤163，
CE＝（16﹣3t）cm，CD＝（12﹣2t）cm，
∵CD＝CE，
∴16﹣3t＝12﹣2t，
∴t＝4；
②当E在AC上，D在AC上时，即163＜t＜6，
CE＝（3t﹣16）cm，CD＝（12﹣2t）cm，
∵CD＝CE，
∴3t﹣16＝12﹣2t，
∴t=285；
③当E在AC上，D在BC上时，即6≤t＜283，
CE＝（3t﹣16）cm，CD＝（2t﹣12）cm，
∵CD＝CE，
∴3t﹣16＝2t﹣12，
∴t＝4（不符合，舍去）；
④当E到达A，D在BC上时，即283≤t≤14，
CE＝12cm，CD＝（2t﹣12）cm，
∵CD＝CE，
∴12＝2t﹣12，
∴t＝12．
综上所述，当t＝4s或285s或12s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．
15．解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下：
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
当t＝1s时，AP＝2t＝2cm，BQ＝2t＝2cm，
∴AP＝BQ＝2cm，
∵AB＝8cm，
∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm，
又∵AC＝6cm，
∴AC＝BP＝6cm，
在△ACP与△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠B=90°AC=BP，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
（2）PC和PQ之间的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下：
∵△ACP≌△BPQ
∴∠C＝∠BPQ，
在△ACP中，∠C+∠APC＝90°，
∴∠BPQ+∠APC＝90°，
由邻补角定义得：∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°，
∴PC⊥PQ；
（3）存在．
依题意得：AP＝2tcm，BQ＝xtcm，
∵AB＝8cm，AC＝BD＝6cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（8﹣2t）cm，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴当以点A，C，P为顶点的三角形与以点B，P，Q为顶点的三角形全等时，
有以下两种情况：
①当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌BPQ（SAS），
由AC＝BP，得：6＝8﹣2t，
解得：t＝1，
由AP＝BQ，得：2t＝xt，
解得：x＝2，
此时相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s；
②当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP（SAS），
由AP＝BP，得：2t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
由AC＝BQ，得：6＝xt，
将t＝2代入6＝xt，得：x＝3，
此时相应的x，t的值为x＝3cm/s，t＝2s，
综上所述：出相应的x，t的值为x＝2cm/s，t＝1s或x＝3cm/s，t＝2s．
16．（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，∠ACB＝2∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，∠AED＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE＝EC；
（2）解：AE与CG的大小关系是：AE＝CG，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∴当AB＝BC时，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∵∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD=12∠ACB＝22.5°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠ACD＝22.5°，∠AED＝∠ACB＝45°，
∴∠A＝∠AED＝45°，DE＝EC，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DA＝DE，
由折叠的性质得：∠FDE＝∠EDC＝22.5°，
∴∠CDG＝∠FDE+∠EDC＝45°，
∴∠AGD是△GDC的外角，
∴∠AGD＝∠CDG+∠ACD＝45°+22.5°＝67.5°，
在△ADG中，∠ADG＝180°﹣（∠A+∠AGD）＝180°﹣（45°+67.5°）＝67.5°，
∴∠ADG＝∠AGD＝67.5°，
∴DA＝AG，
又∵DA＝DE，DE＝EC，
∴AG＝EC，
∴AG+EG＝EC+EG，
即AE＝CG；
（3）解：在HD上截取HM＝HE，连接GM，如图所示：
∵HEHD=25，GE=92，
∴设HE＝2a，HD＝5a，
∴HM＝HE＝2a，DE＝HE+HD＝7a，
∴DM＝HD﹣HM＝5a﹣2a＝3a，
∵GH⊥DE，
∠GHM＝∠GHE＝90°，
在△GHM和△GHE中，
HM=HE∠GHM=∠GHE=90°GH=GH，
∴△GHM≌△GHE（SAS），
∴GM＝GE=92，
∴∠AED＝∠GME，
由（1）可知：∠ACD＝∠BCD＝∠EDC，∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠ACD，
∴∠AED＝2∠EDC，EC＝DE，
由折叠的性质得：∠GDE＝∠EDC，
∴∠AED＝2∠GDE，
∴∠GME＝2∠GDE，
∵∠GME是△DMG的外角，
∴∠GME＝∠GDE+∠MGD＝2∠GDE，
∴∠MGD＝∠GDE，
∴DM＝GM=92，
∴3a=92，
解得：a=32，
∴DE＝7a=212，
∴EC＝DE=212．
17．（1）证明：连接AD，如图：
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴BD＝AD＝CD，AD⊥CD，∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴∠DAF＝135°，∠DCE＝135°，
∴∠DAF＝∠DCE，
又∵DF⊥DE，
∴∠FDE＝90°，
∴∠ADF＝∠CDE，
在△ADF和△CDE中，
∠ADF=∠CDEAD=CE∠DAF=∠DCE，
∴△ADF≌△CDE（ASA），
∴AF＝CE；
（2）i）证明：延长DG到H，使得DG＝GH，连接FH，如图：
∵G是AF中点，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FHG中，
AG=GF∠AGD=∠FGHDG=GH，
∴△ADG≌△FGH（SAS），
∴FH＝AD＝BD，∠HFG＝∠GAD＝135°，
∵△ADF≌△CDE，
∴DF＝DE，∠AFD＝∠CED，
∴∠DFH＝135°+∠AFD，∠BDE＝180°﹣∠CDE，
∵∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠CED，
∴∠BDE＝∠DCE+∠CED＝135°+∠CED＝∠DFH，
在△DFH和△EDB中，
DF=DE∠DFH=∠BDEFH=BD，
∴△DFH≌△EDB（SAS），
∴BE＝DH＝2DG；
ii）解：如图：
∵AE平分∠BEG，
∴∠AEB＝∠AEG，
∵AE⊥BG，
∴∠BAE＝∠GAE，
在△ABE和△AGE中，
∠AEB=∠AEGAE=AE∠BAE=∠GAE，
∴△ABE≌△AGE（ASA），
∴BG＝EG，AG＝AB，
∵G是AF中点，
∴AF＝2AB，CE＝2AC，
∴AE＝3AC，
∵DG＝5，
∴BE＝EG＝10，
∵A到EG的距离为4，
∴S△AEG=12×3×10＝15，
∴12AG•AE=32AC2＝15，
∴S△ABC=12AC2＝5．
18．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC边中点，
∴DB＝CD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，90°﹣∠BAD＝90°﹣∠CAD，
∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE＝∠CFE＝90°，
∵∠B＝90°﹣∠BAD，∠DGE＝∠AGF＝90°﹣∠CAD，
∴∠B＝∠DGE，
∵DE平分∠ADB，
∴∠BDE＝∠GDE，
在△BDE和△GDE中，
∠B=∠DGEDE=DE∠BDE=∠GDE，
∴△BDE≌△GDE（ASA），
∴DB＝DG，
∴DG＝CD．
（2）如图1，作DP⊥DF交AC的延长线于点P，则∠FDP＝∠ADC＝∠AFE＝90°，
∴∠PDC＝∠FDG＝90°﹣∠CDF，∠ACD＝∠AGF＝90°﹣∠CAD，
∴∠PCD＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠AGF＝∠FGD，
在△PCD和△FGD中，
∠PCD=∠FGDCD=GD∠PDC=∠FDG，
∴△PCD≌△FGD（ASA），
∴PD＝FD，
∴∠DFC＝∠P＝45°，
∴∠DFE＝90°﹣∠DFC＝45°，
∴∠DFE＝∠DFC，
∴FD平分∠EFC．
（3）如图2，作DH⊥CN于点H，则∠DHN＝∠MFN＝90°，
在△DHN和△MFN中，
∠DHN=∠MFN∠DNH=∠MNFDN=MN，
∴△DHN≌△MFN（AAS），
∴NH＝NF，
∵∠M＝∠BAD，∠BAD＝∠FAG，
∴∠M＝∠FAG，
∵∠MFN＝∠AFG，
∴∠DNF＝∠M+∠MFN＝∠FAG+∠AFG＝∠DGF，
在△DNF和△DGF中，
∠DNF=∠DGF∠DFN=∠DFGDF=DF，
∴△DNF≌△DGF（AAS），
∴DN＝DG，
∴DN＝CD，
∴NH＝CH，
∴CN＝2NH，
∴CN＝2NF．
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