24.3.2圆内接四边形 课件-2025-2026学年沪科版（2012）数学九年级下册

第 1 页：封面页标题：24.3.2 圆内接四边形副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定义・性质・判定・应用配图：左侧为 “圆内接四边形核心图形”（四边形 ABCD 内接于⊙O，标注对角∠A 与∠C、外角∠DCE 与内对角∠A），右侧为 “性质验证图示”（标注∠A+∠C=180°、∠B+∠D=180°）落款：授课教师 / 日期第 2 页：学习目标知识目标：理解圆内接四边形的定义，掌握其核心性质（对角互补、外角等于内对角），了解简单判定方法（对角互补的四边形内接于圆），能结合圆周角定理应用性质解决问题。能力目标：能在图形中识别圆内接四边形，通过逻辑推理证明其性质，运用性质解决 “角度计算”“四点共圆判定” 等问题，提升几何综合分析与推理能力。素养目标：体会 “四边形与圆的位置关联”，感受几何性质的严谨性，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。第 3 页：情境导入・圆内接四边形的现实原型生活情境（配图）：古建筑窗格：圆形窗格内的矩形窗框，四个顶点均在圆上，形成圆内接四边形；自行车轮：轮圈（圆）上的四个辐条固定点，连接后形成的四边形内接于轮圈；测量工具：用圆形量角器测量四边形的内角，发现对角之和接近 180°。思考提问：什么样的四边形能内接于圆（四个顶点在同一个圆上）？圆内接四边形的内角有什么特殊关系？外角与内角又有什么关联？第 4 页：核心概念・圆内接四边形的定义1. 定义如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。示例：矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点都在同一个圆上，它们都是圆内接四边形；普通平行四边形（非矩形）的四个顶点不在同一个圆上，不是圆内接四边形。反例辨析：图 1：平行四边形（非矩形）→ 四个顶点不共圆→ 不是圆内接四边形；图 2：等腰梯形→ 四个顶点共圆→ 是圆内接四边形；图 3：任意四边形（内角和 360°，但对角不互补）→ 四个顶点不共圆→ 不是圆内接四边形。2. 相关概念关联圆内接四边形与三角形外接圆的联系：两者均为 “多边形的顶点在圆上”，三角形一定有外接圆（不在同一直线上的三点确定一个圆），但四边形不一定有外接圆（需满足特定条件）。第 5 页：核心性质・圆内接四边形的性质推导与证明1. 性质 1：对角互补（核心性质）圆内接四边形的对角之和为 180°。符号语言：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。证明（基于圆周角定理）：连接 OA、OC（半径）；∠A 是圆周角，所对的弧为⌒BCD，故∠A = 1/2 ⌒BCD 的度数；∠C 是圆周角，所对的弧为⌒BAD，故∠C = 1/2 ⌒BAD 的度数；∵ ⌒BCD + ⌒BAD = 360°（整个圆周的度数），∴ ∠A + ∠C = 1/2 (⌒BCD + ⌒BAD) = 1/2 × 360° = 180°；同理可证：∠B + ∠D = 180°（∠B 对⌒ACD，∠D 对⌒ABC，两者之和为 360°）。2. 性质 2：外角等于内对角（重要推论）圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（内对角指与外角不相邻的对角）。符号语言：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AB 至 E，∠CBE 是外角，则∠CBE = ∠D。证明：∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°（平角定义）；由性质 1 知：∠D + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）；∴ ∠CBE = ∠D（同角的补角相等）。3. 性质 3：对角的正弦值相等（拓展性质，为高中三角函数铺垫）由∠A + ∠C = 180°，得 sin∠A = sin (180° - ∠C) = sin∠C；同理 sin∠B = sin∠D。第 6 页：典例精讲・圆内接四边形性质的应用例题 1：角度计算（基础应用）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，已知∠A = 110°，∠B = 80°，求∠C 和∠D 的度数。解答：由 “对角互补” 得：∠C = 180° - ∠A = 180° - 110° = 70°；∠D = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。思路提炼：直接应用 “对角互补” 性质，将已知角代入计算未知角，注意角度和为 180° 的验证。例题 2：外角与内对角的应用如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AD 至 E，若∠CDE = 120°，∠B = 70°，求∠A 和∠C 的度数。解答步骤：∠CDE 是圆内接四边形的外角，其对应内对角为∠B（不相邻的对角），由 “外角等于内对角” 得：∠CDE = ∠B？ 修正：∠CDE 的内对角是∠B 吗？ 重新分析：延长 AD 至 E，∠CDE 是∠ADC 的邻补角，故∠ADC = 180° - 120° = 60°；由 “对角互补” 得：∠B + ∠ADC = 180°？ 不对，∠B 的对角是∠ADC，故∠B + ∠ADC = 180°→ 70° + 60° = 130°≠180°，说明内对角判断错误。 正确：∠CDE 的内对角是∠B（延长 AD 至 E，∠CDE 与∠CAB 是内对角？ 重新梳理：圆内接四边形的外角是指 “一边延长后与另一边形成的角”，如延长 AB 至 E，∠CBE 是外角，对应内对角∠D；本题延长 AD 至 E，∠CDE 是外角，对应内对角是∠B（因∠CDE 与∠B 不相邻，且∠CDE + ∠CDA = 180°，∠B + ∠CDA = 180°，故∠CDE = ∠B）；故∠B = ∠CDE = 120°？ 题目中∠B=70°，矛盾，说明题目条件需调整：若∠CDE=110°，则∠B=110°，∠ADC=180°-110°=70°，∠A=180°-∠C，∠C=180°-∠A，需补充条件。 修正题目：四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AB 至 E，∠CBE=50°，∠D=130°，求∠A 的度数。修正解答：∠CBE 是外角，对应内对角∠D，故∠CBE=∠D=50°（题目中∠D=130°，矛盾，重新设定：∠CBE=50°，则∠D=50°）；由 “对角互补” 得：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°→ ∠B = 180° - 50° = 130°；∠CBE 是∠B 的邻补角，故∠CBE + ∠B = 180°→ 50° + 130° = 180°，验证正确；若已知∠A=100°，则∠C=180°-100°=80°。例题 3：综合应用（结合圆周角定理）如图，AB 是⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD=130°，求∠ABD 的度数。解答步骤：∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）；由 “圆内接四边形对角互补” 得：∠A + ∠BCD = 180°→ ∠A = 180° - 130° = 50°；在 Rt△ABD 中，∠ABD = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°。思路提炼：融合 “直径所对圆周角为直角” 与 “圆内接四边形对角互补”，先求∠A，再利用直角三角形内角和求目标角，体现知识的综合关联。第 7 页：拓展内容・圆内接四边形的判定（基础方法）1. 判定方法 1：定义法若四边形的四个顶点都在同一个圆上，则该四边形是圆内接四边形（需证明四点共圆，可通过 “不在同一直线上的三点确定一个圆，再证明第四点在圆上”）。2. 判定方法 2：对角互补法（重要判定定理）若一个四边形的对角互补（即一组对角之和为 180°），则该四边形内接于圆（四点共圆）。证明思路：反证法，假设四边形不内接于圆，推出与 “对角互补” 矛盾的结论，故假设不成立，四边形内接于圆。3. 判定方法 3：外角等于内对角法若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则该四边形内接于圆。推导：由外角等于内对角，可推出对角互补，进而用 “判定方法 2” 证明四点共圆。第 8 页：易错警示与避坑指南常见易错点：对角判断错误：误将 “邻角互补” 当作圆内接四边形的性质（实际是对角互补，邻角不一定互补，如矩形邻角互补，但普通圆内接四边形邻角可能不互补）；外角对应内对角混淆：误将 “外角的邻补角” 当作内对角（如延长 AB 至 E，∠CBE 的内对角是∠D，不是∠A）；判定条件滥用：误将 “任意四边形都有外接圆” 当作真命题（实际只有对角互补的四边形才有外接圆）。避坑技巧：记忆性质时，用 “对角标序号”（如∠1 与∠3、∠2 与∠4 为对角），直观区分对角与邻角；判断外角的内对角时，遵循 “外角不相邻的对角” 原则（延长某边后，与外角没有公共顶点的对角）；判定四边形是否为圆内接四边形时，优先验证 “对角之和是否为 180°”，避免主观臆断。第 9 页：课堂练习・分层巩固基础题：（1）圆内接四边形 ABCD 中，∠A=85°，则∠C=°；若∠B=100°，则∠D=°。（答案：95，80）（2）四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 BC 至 E，若∠DCE=75°，则∠A=°，理由是。（答案：75，圆内接四边形的外角等于内对角）中档题：如图，圆内接四边形 ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数。（答案：90°，提示：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，由∠A+∠C=180° 得 2x+4x=180°→x=30°，∠B=90°，∠D=180°-∠B=90°）提升题：如图，在△ABC 中，∠A=60°，以 BC 为直径作⊙O，若 AB、AC 分别交⊙O 于 D、E 两点，求证：四边形 BCED 是圆内接四边形，并求∠DOE 的度数。（答案：∠DOE=120°，提示：BC 为直径，∠BDC=∠BEC=90°，∠A+∠BDC+∠BEC+∠DCE=360°→∠DCE=120°，∠DOE=2∠DCE=240°？ 修正：∠DOE 是圆心角，对⌒DE，∠DCE 是圆周角，对⌒DE，故∠DOE=2∠DCE，∠DCE=180°-∠A=120°，故∠DOE=240°，或∠DOE=360°-240°=120°，需结合图形判断）第 10 页：课堂小结与作业布置小结：核心定义：圆内接四边形是 “四个顶点共圆” 的四边形，需与 “三角形外接圆” 区分（三角形必共圆，四边形不一定）；关键性质：对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）、外角等于内对角（外角 = 不相邻的对角）；应用技巧：角度计算直接用 “对角互补”，外角问题优先找 “对应内对角”，综合题结合圆周角定理、直径性质等。作业：基础作业：教材习题 24.3 第 4、5、6 题（角度计算、性质证明）；拓展作业：如图，圆内接四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=60°，求∠BCD 的度数（答案：120°，提示：△ABD 为等边三角形，∠ABD=∠ADB=60°，∠BCD=180°-∠BAD=120°）；实践作业：用圆形纸片剪出一个圆内接四边形，测量四个内角的度数，验证 “对角互补” 性质，并记录测量结果。2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1. 什么是圆周角？ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.复习引入2. 什么是圆周角定理？ 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆内接四边形及其性质观察图中的四边形，它有什么特点？观察与思考 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆. ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间有什么关系？问题1猜想： ∠A +∠C = 180º，∠B +∠D = 180º.如何证明你的猜想？证明：由于 和 所对的圆心角之和是周角为 360°，故∠A＋∠C＝180°.同理，得∠B＋∠D＝180°. 如图，延长 DC 到 E，∠A 与∠BCE 有什么关系？问题2E 解：∠A =∠BCE，理由如下：∵∠A＋∠BCD = 180°，∠BCE＋∠BCD = 180°，∴∠A =∠BCE.归纳总结圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠A = 110°，∠B = 80°，则∠BCD = °，∠D = °，∠DCE = °.70100练一练AE CDB110O解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别等于 2x，3x，6x.例1 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比是 2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数.∵ 四边形 ABCD 内接于圆，∴∠A +∠C =∠B +∠D = 180°，∵ 2x + 6x = 180°，∴ x = 22.5°.∴∠A = 45°，∠B = 67.5°，∠C = 135°， ∠D = 180° - 67.5° = 112.5°.典例精析解析：∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵ 四边形 OABC 为平行四边形，∴∠AOC＝∠B. 又由题意可知∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADC＝180°÷3＝60°. 连接 OD，则 AO＝OD＝CO. ∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC. ∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.例2 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，点 O 在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD = _____度．60 如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD＝ (　　)A．120° B．100°C．80° D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°.∴∠C＝180°－60°＝120°.练一练A例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E. 若 BC＝BE. 求证：△ADE 是等腰三角形．证明：∵ BC＝BE，∴∠BCE＝∠E.∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE. ∴∠A＝∠E.∴ AD＝DE.∴△ADE 是等腰三角形.1. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B = 70°， 则∠D 的度数是 ( ) A. 110° B. 90° C. 70° D. 50°A2. 若 ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立 ( )A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1B4. 若⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 ，则∠D = °. 901205. 在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A.解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，∴∠C = 180°－∠CBD－∠BDC = 130°.∴∠A = 180°－∠C = 50°.6. 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于 D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB，∴ AB 垂直平分 CD.∴ AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.∴∠FGD＝∠ADC.7. 如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分 别交于点 E，F． (1) 若∠E +∠F = α，求∠A 的度数(用含 α 的式子表示)；∵∠E +∠F = α，解：∵ 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠A =∠BCF .∴∠A +∠E =∠EBF = 180°－∠BCF－∠F，= 180°－∠A－∠F，即 2∠A =180°－(∠E +∠F).(2) 若∠E +∠F = 60°，求∠A 的度数．解：当 α = 60° 时， 返回1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，顺次连接AB，BC，CD，DA，若∠C＝120°，则∠A的度数为(　　)A．30° B. 60° C．90° D．120°BA 返回 返回C3．[2024·吉林]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)A．50° B. 100° C. 130° D. 150°A 返回5．[2024·盐城一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是(　　)A．25° B．55° C．45° D．35° 返回【答案】 D6．[2024·青岛一模]如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为________．【点拨】如图所示，连接OB，OC，∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5°，∴∠ACB＝180°－∠D＝180°－112.5°＝67.5°. 返回7．[2024·广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上的一点，∠AOC＝128°，则∠CDE＝(　　)A．64° B. 60° C. 54° D. 52°A 返回一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.圆内接四边形定义定理必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！