辽宁省阜新市重点高中2026届高三上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省阜新市重点高中2026届高三上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．设全集且，集合，则真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．15D．16
2．若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
4．若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知非零向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．9D．8
8．在棱长为1的正方体中，点在正方形内，且不在棱上，又，则下列结论中错误的是（ ）
A．四棱锥的体积不变
B．总有
C．点在一条定线段（不含端点）上
D．记直线分别与平面和平面所成角为，则可以为
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）
A．的图象关于点对称B．
C．的最小正周期为6D．在上至少有9个零点
10．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的最小值为
C．当取最小值时，的最大值为
D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
11．已知边长为2的菱形，且，沿对角线折起，使点不在平面内，为的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面平面
B．当时，直线与平面所成角的余弦值为
C．当二面角的大小为时，点在三棱锥的表面上运动，且，则点运动轨迹长度为
D．当二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
13．已知正方体的棱长为2，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为 ．
14．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合.
16．已知，，函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求.
17．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上.
(1)过A作，H为垂足，证明：面PCD；
(2)若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值.
18．已知函数，，
(1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值；
(2)当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在
(3)当时，求关于的不等式的解集.
19．已知椭圆的离心率为，是上的点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点.
（i）求面积的最大值；
（ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点.
参考答案
1．C
【详解】全集且，
则，共4个元素，
所以真子集的个数为.
故选：C
2．A
【详解】当时，不等式，
由不等式在区间上有解，得不等式在上有解.
而，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
所以a的取值范围是.
故选：A
3．B
【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
中，，，不相等，所以C选项错误；
中，，，不相等，所以D选项错误；
对于，当时，，与图象不符，故排除A.
故选：B
4．B
【详解】由，可得，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
5．D
【详解】，
所以，不妨设，则，，
所以，故，
又，故与的夹角为.
故选：D
6．D
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：
7．A
【详解】易知椭圆中，即可得，
又圆的圆心为，半径，
易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：

易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为，
因此可将的最小值转化为求的最小值，
由椭圆定义可得；
此时点在处，使得的最小值为6.
故选：A
8．D
【详解】根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中，
因为点在正方形内，且不在棱上，故设，
对于C，因为，故，故，
故，取的中点为，的中点为，
则的轨迹为（不含两点），故C正确；
对于A，因为，故到平面的距离为1，
而正方形的面积为定值，故四棱锥的体积为为定值，
故A正确；
对于B，又，
故，故B正确；
对于D，，设平面的法向量为，
则，取，
而，故.
而，设平面的法向量为，
则，取，
故.
因为，故，，
故，
令，整理得，
故，而，故，
而，故在无解，故D错误，
故选：D.
9．ABD
【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确；
对于B，由，令可得，得，故B正确；
对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误；
对于D，，，
，，
在上至少有9个零点，故D正确．
故选：ABD.
10．ABD
【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得.
又因为函数的最大值为3，最小值为，所以
当时，取得最小值，即，解得.
.
A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为，
当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。
B：因为是的两个零点，令，则，
所以或，解得，或，
根据题意，取，，所以，
当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确.
C：当取最小值时，，
不妨设，所以，则=
所以的最大值为，故C错误.
D：令，则，
所以或，解得，或，
所以在上的10个零点依次为：，，，，.
由在区间上至少有10个零点，则
故的最小值为，故D正确；
故选：ABD.
11．ABD
【详解】由题可知，，所以.
由，得，
所以，所以.
折起如图2.
对于选项A，由图1知，菱形中，
图2中平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.所以选项A正确；
对于选项B，由题可知，是等边三角形，
取的中点E，连接，则，且.
因为平面，
所以平面，
又平面，所以.
所以.
因为，所以，
所以.
所以.
所以.
因为，
所以点A到平面的距离为.
所以直线与平面所成角的正弦值为，
所以直线与平面所成角的余弦值为.故选项B正确.
对于选项C，当二面角的大小为时，由选项A可知，.
因为，所以.
因为，
所以点C到平面的距离为，所以中，点运动轨迹为一个点；
点在三棱锥的侧面上运动，且时，
点运动轨迹分别为三棱锥的三个侧面上的三段圆弧.
中，，所以点运动轨迹长度为；
中，.所以，
所以，所以点运动轨迹长度大于；
同理中，，
所以，所以点运动轨迹长度大于；
所以点运动轨迹长度大于；所以选项C错误.
对于选项D，当二面角的余弦值为时，由选项A可知，.
所以，所以，
记棱的中点为F，则.
记三棱锥的外接球球心为T，因为O为的中点，且平面，
所以T在等腰三角形的中线上.
设三棱锥的外接球的半径为R，
则，解得.
所以三棱锥的外接球的表面积为.所以选项D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】令，在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，所以在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以，即，
故实数的取值范围是.
故答案为：
13．
【详解】
在正方体中，，且平面，
平面，所以平面，平面.
因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，平面ACD1，所以平面，
所以点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为.
如图，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以球心到平面的距离.
如图，因为正方体的内切球半径，所以圆的半径.
因为，所以，即，
所以，
所以的最小值为.
故答案为：.
14．/0.5
【详解】由题， ，设.
则，又点P在双曲线上，则.
，又点M在椭圆上，则.
注意到，则.
即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故.
设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得.
则，又，则.
则.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设，则，
从而，故.
（2）由（1）可知，则.
当，即时，在上单调递增，
则，解得；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，解得（舍去）；
当，即时，在上单调递减，
则，则.
综上，的取值集合是.
16．(1)
(2)
【详解】（1），
由，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由（1），
所以，即，
所以，
故.
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析，；
【详解】（1）连接，平面，所以.
在中，.
同理，在中，有.
又因为，所以，
所以，，故，即.
又因为，，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
因为，平面，则平面，又因为平面，
所以平面，
又因为平面平面，，平面平面，
所以平面.
（2）连接，因为平面，面，
所以，由勾股定理得，
同理可得，即，
因为，所以，
故为的交点，且由平行线性质得，
得到，故，
过作直线的平行线，则两两垂直，
如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
得到，，
，
设平面的法向量为，
则，令，
解得，，故，
设平面的法向量为，
则，令，
解得，，故，
设平面与平面所成角为，
则，
故平面与平面所成角的余弦值为．
18．(1)，；
(2)；
(3)答案见解析
【详解】（1），可化为，
移项整理得，不等式的解集为或，
或是方程的两个跟，且.
将代入方程，可得，解得.
把代入方程，得到，因式分解为，
即，故，.
（2）由（1）知，，则，，，，
当且仅当时，即时，等号成立，
，恒成立，
，，，
，，
故的取值范围是.
（3）不等式，即，因式分解为，
，的两根为，，
①当，即时，不等式，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当，即时，不等式的解集为.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）已知椭圆的离心率为，是上的点.
则，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）（i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补，
设DE的方程为：，设，
联立,消x得：，
所以，，
则，
所以，
代入得：，
所以，即直线DE过定点.
所以，，
所以，
又T到DE的距离为，
所以，当时取等号.
即面积的最大值为；
（ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，，
联立，
得，
由相切得，化简得，
所以，，
设，联立，解得，
联立，解得，
则，化简得：，
所以直线MN过定点.